Polinomio estable

En el contexto del polinomio característico de una ecuación diferencial o ecuación en diferencias , se dice que un polinomio es estable si:

• todas sus raíces se encuentran en el semiplano izquierdo abierto , o
• Todas sus raíces se encuentran en el disco unitario abierto .

La primera condición proporciona estabilidad para sistemas lineales de tiempo continuo , y el segundo caso se relaciona con la estabilidad de sistemas lineales de tiempo discreto . Un polinomio con la primera propiedad se llama a veces polinomio de Hurwitz y con la segunda propiedad polinomio de Schur. Los polinomios estables surgen en la teoría de control y en la teoría matemática de ecuaciones diferenciales y en diferencias. Se dice que un sistema lineal invariante en el tiempo (ver teoría de sistemas LTI ) es estable BIBO si cada entrada acotada produce una salida acotada. Un sistema lineal es estable BIBO si su polinomio característico es estable. Se requiere que el denominador sea estable de Hurwitz si el sistema está en tiempo continuo y estable de Schur si está en tiempo discreto. En la práctica, la estabilidad se determina aplicando cualquiera de varios criterios de estabilidad .

Propiedades

• El teorema de Routh-Hurwitz proporciona un algoritmo para determinar si un polinomio dado es estable según Hurwitz, que se implementa en las pruebas de Routh-Hurwitz y Liénard-Chipart .
• Para comprobar si un polinomio dado P (de grado d ) es estable según Schur, basta con aplicar este teorema al polinomio transformado

${\displaystyle Q(z)=(z-1)^{d}P\left({{z+1} \over {z-1}}\right)}$

obtenido después de la transformación de Möbius que asigna el semiplano izquierdo al disco unitario abierto: P es estable según Schur si y solo si Q es estable según Hurwitz y . Para polinomios de grado superior, el cálculo adicional involucrado en esta asignación se puede evitar probando la estabilidad de Schur mediante la prueba de Schur-Cohn, la prueba de Jury o la prueba de Bistritz . ${\displaystyle z\mapsto {{z+1} \over {z-1}}}$ ${\displaystyle P(1)\neq 0}$

• Condición necesaria: un polinomio estable de Hurwitz (con coeficientes reales ) tiene coeficientes del mismo signo (todos positivos o todos negativos).
• Condición suficiente: un polinomio con coeficientes (reales) tales que ${\displaystyle f(z)=a_{0}+a_{1}z+\cdots +a_{n}z^{n}}$

${\displaystyle a_{n}>a_{n-1}>\cdots >a_{0}>0,}$

¿Es Schur estable?

• Regla del producto: Dos polinomios f y g son estables (del mismo tipo) si y sólo si el producto fg es estable.
• Producto de Hadamard: el producto de Hadamard (coeficiente por coeficiente) de dos polinomios estables de Hurwitz es nuevamente estable de Hurwitz. ^[1]

Ejemplos

• ${\displaystyle 4z^{3}+3z^{2}+2z+1}$¿Es Schur estable porque satisface la condición suficiente?
• ${\displaystyle z^{10}}$es Schur estable (porque todas sus raíces son iguales a 0) pero no satisface la condición suficiente;
• ${\displaystyle z^{2}-z-2}$no es estable según Hurwitz (sus raíces son −1 y 2) porque viola la condición necesaria;
• ${\displaystyle z^{2}+3z+2}$es Hurwitz estable (sus raíces son −1 y −2).
• El polinomio (con coeficientes positivos) no es estable según Hurwitz ni según Schur. Sus raíces son las cuatro raíces quintas primitivas de la unidad. ${\displaystyle z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1}$

${\displaystyle z_{k}=\cos \left({{2\pi k} \over 5}\right)+i\sin \left({{2\pi k} \over 5}\right),\,k=1,\ldots ,4\,.}$

Tenga en cuenta aquí que

${\displaystyle \cos({{2\pi }/5})={{{\sqrt {5}}-1} \over 4}>0.}$

Se trata de un "caso límite" para la estabilidad de Schur porque sus raíces se encuentran en el círculo unitario. El ejemplo también muestra que las condiciones necesarias (de positividad) mencionadas anteriormente para la estabilidad de Hurwitz no son suficientes.

Matrices estables

Así como los polinomios estables son cruciales para evaluar la estabilidad de los sistemas descritos por polinomios, las matrices de estabilidad juegan un papel vital en la evaluación de la estabilidad de los sistemas representados por matrices .

Matriz de Hurwitz

Una matriz cuadrada A se denomina matriz de Hurwitz si cada valor propio de A tiene una parte real estrictamente negativa .

Matriz de Schur

Las matrices de Schur son análogas a las matrices de Hurwitz para sistemas de tiempo discreto. Una matriz A es una matriz de Schur (estable) si sus valores propios se encuentran en el disco unitario abierto en el plano complejo .

Véase también

• Región de Kharitonov
• Criterio de estabilidad
• Radio de estabilidad

Referencias

1. Garloff, Jürgen; Wagner, David G. (1996). "Los productos Hadamard de polinomios estables son estables". Revista de análisis matemático y aplicaciones . 202 (3): 797–809. doi : 10.1006/jmaa.1996.0348 .

Enlaces externos

• Página de Mathworld