Espectro esencial

En matemáticas , el espectro esencial de un operador acotado (o, más generalmente, de un operador lineal cerrado densamente definido ) es un cierto subconjunto de su espectro , definido por una condición del tipo que dice, en términos generales, "falla estrepitosamente en ser invertible".

El espectro esencial de operadores autoadjuntos

En términos formales, sea X un espacio de Hilbert y sea T un operador autoadjunto en X.

Definición

El espectro esencial de T , usualmente denotado σ _ess ( T ), es el conjunto de todos los números complejos λ tales que

${\displaystyle T-\lambda I_{X}}$

no es un operador de Fredholm , donde denota el operador identidad en X , de modo que para todo x en X. (Un operador es de Fredholm si su núcleo y conúcleo son de dimensión finita). ${\displaystyle I_{X}}$ ${\displaystyle I_{X}(x)=x}$

Propiedades

El espectro esencial siempre es cerrado y es un subconjunto del espectro . Como T es autoadjunto, el espectro está contenido en el eje real.

El espectro esencial es invariante bajo perturbaciones compactas. Es decir, si K es un operador autoadjunto compacto en X , entonces los espectros esenciales de T y el de coinciden. Esto explica por qué se lo llama espectro esencial : Weyl (1910) definió originalmente el espectro esencial de un determinado operador diferencial como el espectro independiente de las condiciones de contorno. ${\displaystyle T+K}$

El criterio de Weyl es el siguiente: primero, un número λ está en el espectro de T si y sólo si existe una sucesión {ψ _k } en el espacio X tal que y ${\displaystyle \Vert \psi _{k}\Vert =1}$

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left\|T\psi _{k}-\lambda \psi _{k}\right\|=0.}$

Además, λ está en el espectro esencial si hay una secuencia que satisface esta condición, pero tal que no contiene ninguna subsecuencia convergente (este es el caso si, por ejemplo, es una secuencia ortonormal ); dicha secuencia se denomina secuencia singular . ${\displaystyle \{\psi _{k}\}}$

El espectro discreto

El espectro esencial es un subconjunto del espectro σ, y su complemento se llama espectro discreto , por lo que

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {disc} }(T)=\sigma (T)\setminus \sigma _{\mathrm {ess} }(T).}$

Si T es autoadjunto, entonces, por definición, un número λ está en el espectro discreto de T si es un valor propio aislado de multiplicidad finita, lo que significa que la dimensión del espacio

${\displaystyle \{\psi \in X:T\psi =\lambda \psi \}}$

tiene dimensión finita pero distinta de cero y que existe un ε > 0 tal que μ ∈ σ( T ) y |μ−λ| < ε implica que μ y λ son iguales. (Para operadores generales no autoadjuntos en espacios de Banach , por definición, un número está en el espectro discreto si es un valor propio normal ; o, equivalentemente, si es un punto aislado del espectro y el rango del proyector de Riesz correspondiente es finito). ${\displaystyle \lambda }$

El espectro esencial de operadores cerrados en espacios de Banach

Sea X un espacio de Banach y sea un operador lineal cerrado en X con dominio denso . Existen varias definiciones del espectro esencial, que no son equivalentes. ^[1] ${\displaystyle T:\,X\to X}$ ${\displaystyle D(T)}$

1. El espectro esencial es el conjunto de todos los λ tales que no son semi-Fredholm (un operador es semi-Fredholm si su rango es cerrado y su núcleo o su co-núcleo es de dimensión finita). ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)}$ ${\displaystyle T-\lambda I_{X}}$
2. El espectro esencial es el conjunto de todos los λ tales que el rango de no es cerrado o el núcleo de es de dimensión infinita. ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(T)}$ ${\displaystyle T-\lambda I_{X}}$ ${\displaystyle T-\lambda I_{X}}$
3. El espectro esencial es el conjunto de todos los λ tales que no son Fredholm (un operador es Fredholm si su rango es cerrado y tanto su núcleo como su conúcleo son de dimensión finita). ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(T)}$ ${\displaystyle T-\lambda I_{X}}$
4. El espectro esencial es el conjunto de todos los λ tales que no sean Fredholm con índice cero (el índice de un operador de Fredholm es la diferencia entre la dimensión del núcleo y la dimensión del conúcleo). ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(T)}$ ${\displaystyle T-\lambda I_{X}}$
5. El espectro esencial es la unión de σ _ess,1 ( T ) con todos los componentes de que no se intersecan con el conjunto resolvente . ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(T)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \sigma (T)}$

Cada uno de los espectros esenciales definidos anteriormente , , es cerrado. Además, ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(T)}$ ${\displaystyle 1\leq k\leq 5}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(T)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(T)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(T)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(T)\subset \sigma (T)\subset \mathbb {C} ,}$

y cualquiera de estas inclusiones puede ser estricta. Para los operadores autoadjuntos, todas las definiciones anteriores del espectro esencial coinciden.

Definir el radio del espectro esencial por

${\displaystyle r_{\mathrm {ess} ,k}(T)=\max\{|\lambda |:\lambda \in \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(T)\}.}$

Aunque los espectros pueden ser diferentes, el radio es el mismo para todos los k .

La definición del conjunto es equivalente al criterio de Weyl: es el conjunto de todos los λ para los cuales existe una sucesión singular. ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(T)}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(T)}$

El espectro esencial es invariante bajo perturbaciones compactas para k = 1,2,3,4, pero no para k = 5. El conjunto da la parte del espectro que es independiente de las perturbaciones compactas, es decir, ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(T)}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(T)}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(T)=\bigcap _{K\in B_{0}(X)}\sigma (T+K),}$

donde denota el conjunto de operadores compactos en X (DE Edmunds y WD Evans, 1987). ${\displaystyle B_{0}(X)}$

El espectro de un operador T cerrado y densamente definido se puede descomponer en una unión disjunta

${\displaystyle \sigma (T)=\sigma _{\mathrm {ess} ,5}(T)\bigsqcup \sigma _{\mathrm {d} }(T)}$,

donde es el espectro discreto de T . ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {d} }(T)}$

Véase también

• Espectro (análisis funcional)
• Formalismo resolutivo
• Descomposición del espectro (análisis funcional)
• Espectro discreto (matemáticas)
• Espectro de un operador
• Teoría de operadores
• Teoría de Fredholm

Referencias

1. Gustafson, Karl (1969). "Sobre el espectro esencial" (PDF) . Revista de análisis matemático y aplicaciones . 25 (1): 121–127.

El caso autoadjunto se analiza en

• Reed, Michael C. ; Simon, Barry (1980), Métodos de la física matemática moderna: análisis funcional , vol. 1, San Diego: Academic Press, ISBN 0-12-585050-6
• Teschl, Gerald (2009). Métodos matemáticos en mecánica cuántica; con aplicaciones a los operadores de Schrödinger. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4660-5.

Se puede encontrar una discusión del espectro para operadores generales en

• DE Edmunds y WD Evans (1987), Teoría espectral y operadores diferenciales, Oxford University Press. ISBN 0-19-853542-2 . 

La definición original del espectro esencial se remonta a

• H. Weyl (1910), Über gewöhnliche Differentialgleichungen mit Singularitäten und die zugehörigen Entwicklungen willkürlicher Funktionen, Mathematische Annalen 68 , 220–269.