Espiral hiperbólica

Espiral asintótica a una línea

Una escalera de caracol en la Catedral de San Juan el Divino . Varias curvas helicoidales en la escalera se proyectan en espirales hiperbólicas en su fotografía.

Una espiral hiperbólica es un tipo de espiral con un ángulo de inclinación que aumenta con la distancia desde su centro, a diferencia de los ángulos constantes de las espirales logarítmicas o los ángulos decrecientes de las espirales de Arquímedes . A medida que esta curva se ensancha, se acerca a una línea asintótica . Se puede encontrar en la vista de una escalera de caracol y en la disposición de partida de ciertas carreras a pie, y se utiliza para modelar galaxias espirales y volutas arquitectónicas .

Como una curva plana , una espiral hiperbólica se puede describir en coordenadas polares mediante la ecuación para una elección arbitraria del factor de escala. ${\displaystyle (r,\varphi )}$ $${\displaystyle r={\frac {a}{\varphi }},}$$ ${\displaystyle a.}$

Debido a la relación recíproca entre y también se le llama espiral recíproca . ^[1] La misma relación entre las coordenadas cartesianas describiría una hipérbola , y la espiral hiperbólica se descubrió por primera vez aplicando la ecuación de una hipérbola a las coordenadas polares. ^[2] Las espirales hiperbólicas también se pueden generar como las curvas inversas de las espirales de Arquímedes, ^{[3] [4]} o como las proyecciones centrales de las hélices . ^[5] ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \varphi }$

Las espirales hiperbólicas son patrones en el plano euclidiano y no deben confundirse con otros tipos de espirales dibujadas en el plano hiperbólico . En los casos en que el nombre de estas espirales pueda resultar ambiguo, se puede utilizar su nombre alternativo, espirales recíprocas. ^[6]

Historia y aplicaciones

Pierre Varignon estudió por primera vez la espiral hiperbólica en 1704, ^{[7] [8]} como un ejemplo de la curva polar obtenida a partir de otra curva (en este caso la hipérbola ) al reinterpretar las coordenadas cartesianas de los puntos de la curva dada como coordenadas polares de los puntos de la curva polar. Varignon y más tarde James Clerk Maxwell estaban interesados ​​en las ruletas obtenidas al trazar un punto en esta curva a medida que rueda a lo largo de otra curva; por ejemplo, cuando una espiral hiperbólica rueda a lo largo de una línea recta, su centro traza una tractriz . ^[2]

Johann Bernoulli ^[9] y Roger Cotes también escribieron sobre esta curva, en relación con el descubrimiento de Isaac Newton de que los cuerpos que siguen trayectorias de sección cónica deben estar sujetos a una ley del cuadrado inverso , como la de la ley de gravitación universal de Newton . Newton afirmó que lo contrario era cierto: que las secciones cónicas eran las únicas trayectorias posibles bajo una ley del cuadrado inverso. Bernoulli criticó este paso, observando que en el caso de una ley del cubo inverso, eran posibles múltiples trayectorias, incluyendo tanto una espiral logarítmica (cuya conexión con la ley del cubo inverso ya fue observada por Newton) como una espiral hiperbólica. Cotes encontró una familia de espirales, las espirales de Cotes , que incluían las espirales logarítmicas e hiperbólicas, que requerían todas una ley del cubo inverso. En 1720, Newton había resuelto la controversia al demostrar que las leyes del cuadrado inverso siempre producen trayectorias de sección cónica. ^{[10] [11] [12] [13]}

En el caso de una espiral hiperbólica con ecuación , ${\displaystyle r={\tfrac {a}{\varphi }}}$ un arco circular centrado en el origen, que continúa en el sentido de las agujas del reloj desde ${\displaystyle a}$ cualquiera de sus puntos, terminará en el eje -. ^[3] Debido a esta propiedad de igual longitud, las marcas de partida de las carreras a pie de 200 m y 400 m se colocan en posiciones escalonadas a lo largo de una espiral hiperbólica. Esto garantiza que los corredores, restringidos a sus carriles concéntricos, tengan todos caminos de igual longitud hasta la línea de meta. Para carreras más largas en las que los corredores se mueven al carril interior después de la salida, se utiliza en su lugar una espiral diferente (la involuta de un círculo). ^[14] ${\displaystyle x}$

El ángulo de paso creciente de la espiral hiperbólica, en función de la distancia desde su centro, ha llevado al uso de estas espirales para modelar las formas de algunas galaxias espirales , que en algunos casos tienen un ángulo de paso creciente similar. Sin embargo, este modelo no proporciona un buen ajuste a las formas de todas las galaxias espirales. ^{[16] [17]} En arquitectura , se ha sugerido que las espirales hiperbólicas son una buena opción para el diseño de volutas a partir de columnas del orden corintio . ^[18] También describe la vista en perspectiva hacia arriba del eje de una escalera de caracol u otra estructura helicoidal . ^[5]

Junto con la espiral de Arquímedes y la espiral logarítmica, la espiral hiperbólica se ha utilizado en experimentos psicológicos sobre la percepción de la rotación. ^[19]

Construcciones

Ecuaciones de coordenadas

La espiral hiperbólica tiene la ecuación para coordenadas polares y coeficiente de escala . Se puede representar en coordenadas cartesianas aplicando las conversiones estándar de polar a cartesiana y , obteniendo una ecuación paramétrica para las coordenadas cartesianas de esta curva que trata a como un parámetro en lugar de como una coordenada: ^[20] Al relajar la restricción de que a y usar las mismas ecuaciones se produce una copia reflejada de la espiral, y algunas fuentes tratan estas dos copias como ramas de una sola curva. ^{[4] [21]} $${\displaystyle r={\frac {a}{\varphi }},\quad \varphi >0}$$ ${\displaystyle (r,\varphi )}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x=r\cos \varphi }$ ${\displaystyle y=r\sin \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle x=a{\frac {\cos \varphi }{\varphi }},\qquad y=a{\frac {\sin \varphi }{\varphi }},\quad \varphi >0.}$$ ${\displaystyle \varphi >0}$ ${\displaystyle \varphi \neq 0}$

La espiral hiperbólica es una curva trascendental , lo que significa que no se puede definir a partir de una ecuación polinómica de sus coordenadas cartesianas. ^[20] Sin embargo, se puede obtener una ecuación trigonométrica en estas coordenadas comenzando con su ecuación definitoria polar en la forma y reemplazando sus variables de acuerdo con las conversiones cartesianas a polares y , dando: ^[22] ${\displaystyle r\varphi =a}$ ${\displaystyle \varphi =\tan ^{-1}{\tfrac {y}{x}}}$ ${\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ $${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\tan ^{-1}{\frac {y}{x}}=a.}$$

También es posible utilizar la ecuación polar para definir una curva espiral en el plano hiperbólico , pero esto difiere en algunos aspectos importantes de la forma habitual de la espiral hiperbólica en el plano euclidiano. En particular, la curva correspondiente en el plano hiperbólico no tiene una línea asintótica. ^[6]

Inversión

Espiral hiperbólica (azul) como imagen de una espiral de Arquímedes (verde) por inversión a través de un círculo (rojo)

La inversión del círculo a través del círculo unitario es una transformación del plano que, en coordenadas polares, asigna el punto (excluyendo el origen) a y viceversa. ^[23] La imagen de una espiral de Arquímedes bajo esta transformación (su curva inversa ) es la espiral hiperbólica con ecuación . ^[8] ${\displaystyle (r,\varphi )}$ ${\displaystyle ({\tfrac {1}{r}},\varphi )}$ ${\displaystyle r={\tfrac {\varphi }{a}}}$ ${\displaystyle r={\tfrac {a}{\varphi }}}$

Proyección central de una hélice

Espiral hiperbólica como proyección central de una hélice

La proyección central de una hélice sobre un plano perpendicular al eje de la hélice describe la vista que se tendría de la barandilla de una escalera de caracol , mirando hacia arriba o hacia abajo desde un punto de vista en el eje de la escalera. ^[5] Para modelar matemáticamente esta proyección, considere la proyección central desde el punto sobre el plano de la imagen . Esto asignará un punto al punto . ^[24] ${\displaystyle (0,0,d)}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle {\tfrac {d}{d-z}}(x,y)}$

La imagen bajo esta proyección de la hélice con representación paramétrica es la curva con la ecuación polar que describe una espiral hiperbólica. ^[24] $${\displaystyle (r\cos t,r\sin t,ct),\quad c\neq 0,}$$ $${\displaystyle {\frac {dr}{d-ct}}(\cos t,\sin t)}$$ $${\displaystyle \rho ={\frac {dr}{d-ct}},}$$

Propiedades

Asíntotas

La espiral hiperbólica se aproxima al origen como un punto asintótico. ^[22] Porque la curva tiene una línea asintótica con ecuación . ^[20] $${\displaystyle \lim _{\varphi \to 0}x=a\lim _{\varphi \to 0}{\frac {\cos \varphi }{\varphi }}=\infty ,\qquad \lim _{\varphi \to 0}y=a\lim _{\varphi \to 0}{\frac {\sin \varphi }{\varphi }}=a,}$$ ${\displaystyle y=a}$

Ángulo de inclinación

Definición de sector (azul claro) y ángulo de inclinación α

A partir del cálculo vectorial en coordenadas polares se obtiene la fórmula para el ángulo de inclinación entre la tangente de cualquier curva y la tangente de su círculo polar correspondiente. ^[25] Para la espiral hiperbólica, el ángulo de inclinación es ^[19] ${\displaystyle \tan \alpha ={\tfrac {r'}{r}}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle r={\tfrac {a}{\varphi }}}$ $${\displaystyle \alpha =\tan ^{-1}\left(-{\frac {1}{\varphi }}\right).}$$

Curvatura

La curvatura de cualquier curva con ecuación polar es ^[26] De la ecuación y sus derivadas se obtiene la curvatura de una espiral hiperbólica, en términos del radio o del ángulo de cualquiera de sus puntos: ^[27] ${\displaystyle r=r(\varphi )}$ $${\displaystyle \kappa ={\frac {r^{2}+2(r')^{2}-r\,r''}{\left(r^{2}+(r')^{2}\right)^{3/2}}}.}$$ ${\displaystyle r=a/\varphi }$ ${\displaystyle r'=-a/\varphi ^{2}}$ ${\displaystyle r''=2a/\varphi ^{3}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle \kappa ={\frac {\varphi ^{4}}{a\left(\varphi ^{2}+1\right)^{3/2}}}={\frac {a^{3}}{r(a^{2}+r^{2})^{3/2}}}.}$$

Longitud del arco

La longitud del arco de una espiral hiperbólica entre los puntos y se puede calcular mediante la integral: ^[20] Aquí, la notación entre corchetes significa calcular la fórmula dentro de los corchetes para y , y restar el resultado para del resultado para . ${\displaystyle r=a/\varphi }$ ${\displaystyle (r(\varphi _{1}),\varphi _{1})}$ ${\displaystyle (r(\varphi _{2}),\varphi _{2})}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}L&=a\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\frac {\sqrt {1+\varphi ^{2}}}{\varphi ^{2}}}\,d\varphi \\&=a\left[-{\frac {\sqrt {1+\varphi ^{2}}}{\varphi }}+\ln \left(\varphi +{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}\right)\right]_{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \varphi _{1}}$ ${\displaystyle \varphi _{2}}$ ${\displaystyle \varphi _{1}}$ ${\displaystyle \varphi _{2}}$

Área sectorial

El área de un sector (ver diagrama arriba) de una espiral hiperbólica con ecuación es: ^[20] Es decir, el área es proporcional a la diferencia de radios, con constante de proporcionalidad . ^{[13] [20]} ${\displaystyle r=a/\varphi }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}r(\varphi )^{2}\,d\varphi \\&={\frac {a}{2}}{\bigl (}r(\varphi _{1})-r(\varphi _{2}){\bigr )}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle a/2}$

Referencias

1. Waud, Samuel Wilkes (1835), Tratado de geometría algebraica, Baldwin y Cradock, pág. 194
2. Maxwell, James Clerk (1849), "XXXV.—Sobre la teoría de las curvas rodantes", Transactions of the Royal Society of Edinburgh , 16 (5): 519–540, doi :10.1017/s008045680002247x, Zenodo :  2250749
3. Bowser, Edward Albert (1882), "La espiral recíproca o hiperbólica", Tratado elemental de geometría analítica: abarcando la geometría plana y una introducción a la geometría de tres dimensiones (4.ª ed.), D. Van Nostrand, pág. 232
4. Drábek, Karel (1994), "Curvas planas y construcciones", en Rektorys, Karel (ed.), Encuesta de matemáticas aplicables , Matemáticas y sus aplicaciones, vol. 280-281, Springer Países Bajos, págs. 112-166, doi :10.1007/978-94-015-8308-4_4, ISBN 9789401583084; ver pág. 138
5. Hammer, Øyvind (2016), "15: El caso de la escalera", The Perfect Shape: Spiral Stories , Springer International Publishing, págs. 65-68, doi :10.1007/978-3-319-47373-4_15
6. Dunham, Douglas (2003), "Espirales hiperbólicas y patrones espirales", en Barrallo, Javier; Friedman, Nathaniel; Maldonado, Juan Antonio; Martínez-Aroza, José; Sarhangi, Reza; Séquin, Carlo (eds.), Meeting Alhambra, Actas de la conferencia ISAMA-BRIDGES , Granada, España: Universidad de Granada, págs. 521–528, ISBN 84-930669-1-5
7. Varignon, Pierre (1704), "Nouvelleformation de Spirales - ejemplo II", Mémoires de l'Académie des sciences de l'Institut de France : 94-103
8. "Curvas: espiral hiperbólica", Archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor , Universidad de St Andrews
9. Johann Bernoulli no debe confundirse con su hermano mayor Jacob Bernoulli , quien realizó amplios estudios sobre la espiral logarítmica .
10. Hammer (2016), págs. 119-120.
11. Guicciardini, Niccolò (1995), "Johann Bernoulli, John Keill y el problema inverso de las fuerzas centrales", Annals of Science , 52 (6): 537–575, doi :10.1080/00033799500200401
12. Bernoulli, Johann (1710), "Extrait de la Réponse de M. Bernoulli à M. Herman, fechada de Basilea el 7 de octubre de 1710", Mémoires de l'Académie des Sciences : 521–33. Como cita Guicciardini (1995), nota 47, pág. 554.
13. Cotesium, Rogerum (1722), Smith, Robertus (ed.), Harmonia Mensurarum, Sive Analysis & Synthesis per Rationum & Angulorum Mensuras (en latín), Cambridge. Para las espirales de Cotes, véanse las págs. 30-35; la espiral hiperbólica es el caso 4, pág. 34. Hammer fecha este material en 1714, pero no se publicó hasta después de la muerte de Cotes.
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16. Kennicutt, RC Jr. (diciembre de 1981), "Las formas de los brazos espirales a lo largo de la secuencia de Hubble", The Astronomical Journal , 86 , American Astronomical Society: 1847, Bibcode :1981AJ.....86.1847K, doi :10.1086/113064
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25. Kepr, Bořivoj (1994), "Geometría diferencial", en Rektorys, Karel (ed.), Encuesta de matemáticas aplicables , Matemáticas y sus aplicaciones, vol. 280-281, Springer Países Bajos, págs. 260-335, doi :10.1007/978-94-015-8308-4_9, ISBN 9789401583084Para una fórmula equivalente para el ángulo de dirección (el ángulo complementario al ángulo de inclinación), consulte la Sección 9.9, Teorema 1, pág. 300.
26. Rutter, JW (2018), "Teorema 7.11", Geometría de curvas , CRC Press, pág. 143, ISBN 9781482285673
27. Ganguli, Surendramohan (1926), "289: La espiral hiperbólica", La teoría de las curvas planas , vol. II (2.ª ed.), Universidad de Calcuta, págs. 364-365

Enlaces externos

• Exploración en línea mediante JSXGraph (JavaScript)