Espejo de Jade de los Cuatro Desconocidos

1303 monografía matemática de Zhu Shijie

Ilustraciones en El espejo de jade de los cuatro desconocidos

Triángulo de Jia Xian

El Espejo de Jade de los Cuatro Desconocidos , ^[1] Siyuan yujian ( chino simplificado :四元玉鉴; chino tradicional :四元玉鑒), también conocido como el Espejo de Jade de los Cuatro Orígenes , ^[2] es una monografía matemática de 1303 del matemático de la dinastía Yuan Zhu Shijie . ^[3] Zhu avanzó en el álgebra china con esta obra maestra .

El libro consta de una introducción y tres libros, con un total de 288 problemas. Los primeros cuatro problemas de la introducción ilustran su método de las cuatro incógnitas. Mostró cómo convertir un problema enunciado verbalmente en un sistema de ecuaciones polinómicas (hasta el orden 14), utilizando hasta cuatro incógnitas: 天 Cielo, 地 Tierra, 人 Hombre, 物 Materia, y luego cómo reducir el sistema a una sola ecuación polinómica en una incógnita mediante la eliminación sucesiva de incógnitas. Luego resolvió la ecuación de alto orden mediante el método "Ling long kai fang" del matemático de la dinastía Song del Sur Qin Jiushao publicado en Shùshū Jiǔzhāng (" Tratado matemático en nueve secciones ") en 1247 (más de 570 años antes del método del matemático inglés William Horner utilizando la división sintética). Para ello, utiliza el triángulo de Pascal , al que denomina como el diagrama de un antiguo método descubierto por primera vez por Jia Xian antes de 1050.

Zhu también resolvió problemas de raíces cuadradas y cúbicas mediante la resolución de ecuaciones cuadráticas y cúbicas, y contribuyó a la comprensión de las series y progresiones, clasificándolas según los coeficientes del triángulo de Pascal. También mostró cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales reduciendo la matriz de sus coeficientes a la forma diagonal . Sus métodos son anteriores a los de Blaise Pascal , William Horner y los métodos matriciales modernos en muchos siglos. El prefacio del libro describe cómo Zhu viajó por China durante 20 años como profesor de matemáticas.

El Espejo de Jade de las Cuatro Incógnitas consta de cuatro libros, con 24 clases y 288 problemas, en los cuales 232 problemas tratan sobre Tian yuan shu , 36 problemas tratan sobre variables de dos variables, 13 problemas de tres variables y 7 problemas de cuatro variables.

Introducción

El cuadrado de la suma de las cuatro cantidades de un triángulo rectángulo

Las cuatro cantidades x , y , z , w se pueden representar con el siguiente diagrama

incógnita

yu w ​

el

El cuadrado del cual es:

a: "go" base b "gu" vertical c "Xian" hipotenusa

Las Nebulosas Unitarias

Esta sección trata sobre Tian Yuan Shu o problemas de uno desconocido.

Pregunta: Dado que el producto de huangfan y zhi ji es igual a 24 pasos, y la suma de la vertical y la hipotenusa es igual a 9 pasos, ¿cuál es el valor de la base?

Respuesta: 3 pasos

Establezca tian unitario como base (es decir, deje que la base sea la cantidad desconocida x )

Dado que el producto de huangfang y zhi ji = 24

En el cual

Huangfan se define como: ^[4] ${\displaystyle (a+b-c)}$

¿Quién es ?: ${\displaystyle ab}$

por lo tanto ${\displaystyle (a+b-c)ab=24}$

Además, la suma de la vertical y la hipotenusa es

${\displaystyle b+c=9}$

Establezca el tian unitario desconocido como el vertical

${\displaystyle x=a}$

Obtenemos la siguiente ecuación

（） ${\displaystyle x^{5}-9x^{4}-81x^{3}+729x^{2}=3888}$

Yo

Resuélvelo y obtén x=3

El misterio de las dos naturalezas

Unitario

ecuación: ; ${\displaystyle -2y^{2}-xy^{2}+2xy+2x^{2}y+x^{3}=0}$

de lo dado

Yo

ecuación: ; ${\displaystyle 2y^{2}-xy^{2}+2xy+x^{3}=0}$

obtenemos:

Yo

${\displaystyle 8x+4x^{2}=0}$

y

Yo

${\displaystyle 2x^{2}+x^{3}=0}$

Por el método de eliminación obtenemos una ecuación cuadrática

${\displaystyle x^{2}-2x-8=0}$

solución: . ${\displaystyle x=4}$

La evolución de los tres talentos

Plantilla para la solución de un problema de tres incógnitas

Zhu Shijie explicó el método de eliminación en detalle. Su ejemplo ha sido citado con frecuencia en la literatura científica. ^{[5] [6] [7]}

Planteamos tres ecuaciones de la siguiente manera

Yo

${\displaystyle -y-z-y^{2}x-x+xyz=0}$.... I

${\displaystyle -y-z+x-x^{2}+xz=0}$.....II

Yo

${\displaystyle y^{2}-z^{2}+x^{2}=0;}$....III

Eliminación de incógnitas entre II y III

mediante manipulación de intercambio de variables

Nosotros obtenemos

Yo

${\displaystyle -x-2x^{2}+y+y^{2}+xy-xy^{2}+x^{2}y}$...IV

y

Yo

${\displaystyle -2x-2x^{2}+2y-2y^{2}+y^{3}+4xy-2xy^{2}+xy^{2}}$....V

Eliminando la incógnita entre IV y V obtenemos una ecuación de 3er orden

${\displaystyle x^{4}-6x^{3}+4x^{2}+6x-5=0}$

Resuelva esta ecuación de tercer orden para obtener ; ${\displaystyle x=5}$

Cambie nuevamente las variables

Obtenemos la hipotenusa = 5 pasos

Simultáneo de los Cuatro Elementos

Esta sección trata de ecuaciones simultáneas de cuatro incógnitas.

Ecuaciones de cuatro elementos

${\displaystyle {\begin{cases}-2y+x+z=0\\-y^{2}x+4y+2x-x^{2}+4z+xz=0\\x^{2}+y^{2}-z^{2}=0\\2y-w+2x=0\end{cases}}}$

Eliminación sucesiva de incógnitas para obtener

${\displaystyle 4x^{2}-7x-686=0}$

Resuelve esto y obtén 14 pasos.

Libro I

Problemas de triángulos y rectángulos en ángulo recto

Hay 18 problemas en esta sección.

Problema 18

Obtenga una ecuación polinomial de décimo orden:

${\displaystyle 16x^{10}-64x^{9}+160x^{8}-384x^{7}+512x^{6}-544x^{5}+456x^{4}+126x^{3}+3x^{2}-4x-177162=0}$

La raíz de la cual es x = 3, se multiplica por 4, obteniendo 12. Esa es la respuesta final.

Problemas de figuras planas

Hay 18 problemas en esta sección.

Problemas de las mercancías por pieza

Hay 9 problemas en esta sección

Problemas en el almacenamiento de granos

Hay 6 problemas en esta sección

Problemas en el trabajo

Hay 7 problemas en esta sección

Problemas de ecuaciones para raíces fraccionarias

Hay 13 problemas en esta sección

Libro II

Problemas mixtos

Contención de círculos y cuadrados

Problemas en las áreas

Topografía con triángulos rectángulos

Hay ocho problemas en esta sección

Problema 1

Pregunta: Hay una ciudad rectangular de dimensiones desconocidas que tiene una puerta en cada lado. Hay una pagoda ubicada a 240 pasos de la puerta sur. Un hombre que camina 180 pasos desde la puerta oeste puede ver la pagoda, luego camina hacia la esquina sureste durante 240 pasos y llega a la pagoda; ¿cuál es la longitud y el ancho de la ciudad rectangular? Respuesta: 120 pasos de largo y ancho de un li

Sea tian yuan unitario como la mitad de la longitud, obtenemos una ecuación de cuarto orden

${\displaystyle x^{4}+480x^{3}-270000x^{2}[phone]x+1866240000=0}$^[8]

Resuélvelo y obtén x = 240 pasos, por lo tanto longitud = 2x = 480 pasos = 1 li y 120 pasos.

Similitud, sea tian yuan unitario (x) igual a la mitad del ancho

obtenemos la ecuación:

${\displaystyle x^{4}+360x^{3}-270000x^{2}[phone]x+1866240000=0}$^[9]

Resuélvelo para obtener x = 180 pasos, longitud = 360 pasos = un li.

Problema 7

Idéntico a La profundidad de un barranco (usando de ahora en adelante barras transversales) en Haidao Suanjing .

Problema 8

Idéntico a La profundidad de una piscina transparente en Haidao Suanjing .

Pilas de heno

Paquetes de flechas

Medición de terrenos

Convocar a los hombres según la necesidad

El problema n.° 5 es la fórmula de interpolación de cuarto orden más antigua del mundo.

Hombres convocados: ^[10] ${\displaystyle na+{\tfrac {1}{2!}}n(n-1)b+{\tfrac {1}{3!}}n(n-1)(n-2)c+{\tfrac {1}{4!}}n(n-1)(n-2)(n-3)d}$

En el cual

• a = diferencia de 1er orden
• b = diferencia de segundo orden
• c = diferencia de tercer orden
• d = diferencia de 4to orden

Libro III

Pila de frutas

Esta sección contiene 20 problemas que tratan con pilotes triangulares y rectangulares.

Problema 1

Encuentra la suma de la pila triangular

${\displaystyle 1+3+6+10+...+{\frac {1}{2}}n(n+1)}$

y el valor de la pila de frutas es:

${\displaystyle v=2+9+24+50+90+147+224+\cdots +{\frac {1}{2}}n(n+1)^{2}}$

Zhu Shijie usa Tian yuan shu para resolver este problema dejando x=n

y obtuvo el formulario

${\displaystyle v={\frac {1}{2\cdot 3\cdot 4}}(3x+5)x(x+1)(x+2)}$

De la condición dada , por lo tanto ${\displaystyle v=1320}$

${\displaystyle 3x^{4}+14x^{3}+21x^{2}+10x-31680=0}$^[11]

Resuélvelo para obtener . ${\displaystyle x=n=9}$

Por lo tanto,

${\displaystyle v=2+9+24+50+90+147+224+324+450=1320}$。

Figuras dentro de la figura

Ecuaciones simultáneas

Ecuación de dos incógnitas

Izquierda y derecha

Ecuación de tres incógnitas

Ecuación de cuatro incógnitas

Seis problemas de cuatro incógnitas.

Pregunta 2

Producir un conjunto de ecuaciones con cuatro incógnitas: . ^[12]

${\displaystyle {\begin{cases}-3y^{2}+8y-8x+8z=0\\4y^{2}-8xy+3x^{2}-8yz+6xz+3z^{2}=0\\y^{2}+x^{2}-z^{2}=0\\2y+4x+2z-w=0\end{cases}}}$

Referencias

1. Hoe, John (1978) El espejo de jade de los cuatro desconocidos. Algunas reflexiones. Math. Chronicle 7, pág. 125-156.
2. Hart, Roger (2013). Civilizaciones imaginadas: China, Occidente y su primer encuentro. Baltimore, MD: Johns Hopkins Univ Pr. p. 82. ISBN 978-1421406060.
3. Elman, Benjamin A. (2005). La ciencia en China, 1550-1900, en sus propios términos. Cambridge, Mass.: Harvard University Press. p. 252. ISBN 0674036476.
4. Zhu Sijie Siyuan yujian Science Press p. 148 2007 ISBN 978-7-03-020112-6 
5. Wu Wenjun Mecanización de las matemáticas (吴文俊 数学机械化 《朱世杰的一个例子》) págs. 18-19 Science Press ISBN 7-03-010764-0 
6. Zhu Shijie Siyuan yujian , anotado por Li Zhaohua (朱世杰原著 李兆华校正 《四元玉鉴》) p. 149-153 Prensa científica, 2007 ISBN 978-7-03-020112-6 
7. J. Hoe Les Systèmes d'Equations Polynômes dans le Siyuan Yujian (1303), París: Institut des Hautes Etudes Chinoises, 1977
8. 万有文库第二集 朱世杰撰 罗士琳草 （中） 卷下之五 四一0-四一一。
9. 万有文库第二集 朱世杰撰 罗士琳草 （中） 卷下之五 四一一页。
10. Resumen del artículo 440-441.
11. Zhu Shijie Siyuan yujian, con los procedimientos de Luo Shilin. (万有文库第二集 朱世杰撰 罗士琳草 （中） 卷下之一 六四六-六四八)
12. Zhu Shijie, Siyuan yujian, anotado por Li Zhaohua, Science Press pp246-249 2007 ISBN 978-7-03-020112-6 

Fuentes

• Espejo de jade de los cuatro desconocidos, trad. al inglés por el profesor Chen Zhaixin, exdirector del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Yenching (en 1925), traducido al chino moderno por Guo Shuchun, volúmenes I y II, Biblioteca de Clásicos Chinos, chino-inglés, Liaoning Education Press 2006 ISBN 7-5382-6923-1 https://www.scribd.com/document/357204551/Siyuan-yujian-2, https://www.scribd.com/document/357204728/Siyuan-yujian-1 
• Obras completas de historia de las ciencias de Li Yan y Qian Baocong, volumen 1 《李俨钱宝琮科学史全集》 第一卷 钱宝琮 《中国算学史 上编》
• Zhu Shijie Siyuan yujian Libro 1–4, anotado por el matemático de la dinastía Qin Luo Shilin, Commercial Press
• J. Hoe, Les systèmes d'équations polynômes dans le Siyuan yujian (1303), Institut des Hautes Études Chinoises, París, 1977
• J. Hoe, Un estudio del manual del siglo XIV sobre ecuaciones polinómicas "El espejo de jade de las cuatro incógnitas" de Zhu Shijie, Mingming Bookroom, PO Box 29-316, Christchurch, Nueva Zelanda, 2007