Espectro cruzado

En el análisis de series de tiempo , el espectro cruzado se utiliza como parte de un análisis del dominio de frecuencia de la correlación cruzada o covarianza cruzada entre dos series de tiempo.

Definición

Sea un par de procesos estocásticos que son estacionarios en sentido amplio y en conjunto con funciones de autocovarianza y y función de covarianza cruzada . Entonces el espectro cruzado se define como la transformada de Fourier de ^[1] ${\displaystyle (X_{t},Y_{t})}$ ${\displaystyle \gamma _{xx}}$ ${\displaystyle \gamma _{yy}}$ ${\displaystyle \gamma _{xy}}$ ${\displaystyle \Gamma _{xy}}$ ${\displaystyle \gamma _{xy}}$

${\displaystyle \Gamma _{xy}(f)={\mathcal {F}}\{\gamma _{xy}\}(f)=\sum _{\tau =-\infty }^{\infty }\,\gamma _{xy}(\tau )\,e^{-2\,\pi \,i\,\tau \,f},}$

dónde

${\displaystyle \gamma _{xy}(\tau )=\operatorname {E} [(x_{t}-\mu _{x})(y_{t+\tau }-\mu _{y})]}$.

El espectro cruzado tiene representaciones como una descomposición en (i) su parte real (coespectro) y (ii) su parte imaginaria (espectro en cuadratura)

${\displaystyle \Gamma _{xy}(f)=\Lambda _{xy}(f)-i\Psi _{xy}(f),}$

y (ii) en coordenadas polares

${\displaystyle \Gamma _{xy}(f)=A_{xy}(f)\,e^{i\phi _{xy}(f)}.}$

Aquí, el espectro de amplitud viene dado por ${\displaystyle A_{xy}}$

${\displaystyle A_{xy}(f)=(\Lambda _{xy}(f)^{2}+\Psi _{xy}(f)^{2})^{\frac {1}{2}},}$

y el espectro de fase está dado por ${\displaystyle \Phi _{xy}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\tan ^{-1}(\Psi _{xy}(f)/\Lambda _{xy}(f))&{\text{if }}\Psi _{xy}(f)\neq 0{\text{ and }}\Lambda _{xy}(f)\neq 0\\0&{\text{if }}\Psi _{xy}(f)=0{\text{ and }}\Lambda _{xy}(f)>0\\\pm \pi &{\text{if }}\Psi _{xy}(f)=0{\text{ and }}\Lambda _{xy}(f)<0\\\pi /2&{\text{if }}\Psi _{xy}(f)>0{\text{ and }}\Lambda _{xy}(f)=0\\-\pi /2&{\text{if }}\Psi _{xy}(f)<0{\text{ and }}\Lambda _{xy}(f)=0\\\end{cases}}}$

Espectro de coherencia al cuadrado

El espectro de coherencia al cuadrado viene dado por

${\displaystyle \kappa _{xy}(f)={\frac {A_{xy}^{2}}{\Gamma _{xx}(f)\Gamma _{yy}(f)}},}$

que expresa el espectro de amplitud en unidades adimensionales.

Véase también

• Correlación cruzada
• Espectro de potencia
• Correlación escalada

Referencias

1. von Storch, H.; FW Zwiers (2001). Análisis estadístico en la investigación climática . Universidad de Cambridge Pr. ISBN 0-521-01230-9.