Espectro de Hilbert

Herramienta estadística utilizada para distinguir entre una mezcla de señales en movimiento.

Hilbert Espectro de una forma de onda de frecuencia modulada en la forma dada por . ${\displaystyle x(t)=(c_{1}-c_{2}t)\cdot \cos {\big (}\omega t+\epsilon \sin(2\omega t){\big )}}$

El espectro de Hilbert (a veces denominado espectro de amplitud de Hilbert ), llamado así en honor a David Hilbert , es una herramienta estadística que puede ayudar a distinguir entre una mezcla de señales en movimiento. El espectro en sí se descompone en las fuentes que lo componen mediante análisis de componentes independientes . La separación de los efectos combinados de fuentes no identificadas ( separación de señales ciegas ) tiene aplicaciones en climatología , sismología e imágenes biomédicas .

Resumen conceptual

El espectro de Hilbert se calcula mediante un proceso de 2 pasos que consta de:

• El preprocesamiento de una señal la separa en funciones de modo intrínseco utilizando una descomposición matemática como la descomposición en valor singular (SVD) o la descomposición en modo empírico (EMD);
• Aplicando la transformada de Hilbert a los resultados del paso anterior para obtener el espectro de frecuencia instantáneo de cada uno de los componentes.

La transformada de Hilbert define la parte imaginaria de la función para convertirla en una función analítica (a veces denominada función progresiva ), es decir, una función cuya intensidad de señal es cero para todos los componentes de frecuencia menores que cero.

Con la transformada de Hilbert, los vectores singulares dan frecuencias instantáneas que son funciones del tiempo, de modo que el resultado es una distribución de energía en el tiempo y la frecuencia .

El resultado es la capacidad de capturar la localización tiempo-frecuencia para hacer que el concepto de frecuencia instantánea y tiempo sea relevante (el concepto de frecuencia instantánea es, por lo demás, abstracto o difícil de definir para todas las señales excepto las monocomponentes).

Definición

Para una señal determinada descompuesta (con, por ejemplo, descomposición en modo empírico ) en ${\displaystyle x(t)}$

${\displaystyle x(t)=r(t)+\sum _{j=1}^{k}c_{j}(t)}$

¿Dónde es el número de funciones en modo intrínseco que consta de y ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x(t)}$

${\displaystyle c_{j}(t)=\mathbb {R} {\big \{}a_{j}(t)e^{-i\theta _{j}(t)}{\big \}}=a_{j}(t)\cos {\big (}\theta _{j}(t){\big )}}$

La frecuencia angular instantánea se define entonces como

${\displaystyle \omega _{j}(t)={\frac {d\theta _{j}(t)}{dt}}}$

A partir de esto , podemos definir el espectro de Hilbert ^[1] como ${\displaystyle c_{j}(t)}$

${\displaystyle H_{j}(\omega ,t)={\begin{cases}a_{j}(t),&\omega =\omega _{j}(t)\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

El espectro de Hilbert de viene dado entonces por ${\displaystyle x(t)}$

${\displaystyle H(\omega ,t)=\sum _{j=1}^{k}H_{j}(\omega ,t)}$

Espectro marginal de Hilbert

Una representación bidimensional de un espectro de Hilbert, llamada espectro marginal de Hilbert, se define como

${\displaystyle h(\omega )={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}H(\omega ,t)dt}$

¿Dónde está la longitud de la señal muestreada ? El Espectro Marginal de Hilbert muestra la energía total con la que contribuye cada valor de frecuencia. ^[1] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x(t)}$

Aplicaciones

El espectro de Hilbert tiene muchas aplicaciones prácticas. Un ejemplo de aplicación iniciada por el profesor Richard Cobbold es el uso del espectro de Hilbert para el análisis del flujo sanguíneo mediante ecografía Doppler pulsada . Otras aplicaciones del espectro de Hilbert incluyen el análisis de características climáticas , ondas de agua y similares.

Ver también

• Transformada de Hilbert-Huang

Referencias

1. Norden E Huang, Samuel SP Shen, Hilbert-Huang Transform y sus aplicaciones, segunda edición

• Huang, et al., "La descomposición del modo empírico y el espectro de Hilbert para el análisis de series temporales no lineales y no estacionarias" Proc. R. Soc. Londres. (A) 1998
• Huang, NE; et al. (2016). "Sobre el análisis espectral de Holo-Hilbert: una representación espectral informativa completa para datos no lineales y no estacionarios". Fil. Trans. R. Soc. Londres. A . 374 (2065): 20150206. Código bibliográfico : 2016RSPTA.37450206H. doi :10.1098/rsta.2015.0206. PMC  4792412 . PMID  26953180.