Espacio de bucle

Espacio topológico

En topología , una rama de las matemáticas , el espacio de bucles Ω X de un espacio topológico puntiagudo X es el espacio de bucles (basados ​​en) X , es decir, aplicaciones puntiagudas continuas del círculo puntiagudo S ¹ a X , dotadas de la topología compacta-abierta . Dos bucles se pueden multiplicar por concatenación . Con esta operación, el espacio de bucles es un A ∞ -espacio . Es decir, la multiplicación es asociativa homotópicamente coherente .

El conjunto de componentes de trayectoria de Ω X , es decir, el conjunto de clases de equivalencia de homotopía basada de bucles basados ​​en X , es un grupo , el grupo fundamental π ₁ ( X ).

Los espacios de bucle iterados de X se forman aplicando Ω varias veces.

Existe una construcción análoga para espacios topológicos sin punto base. El espacio de bucles libres de un espacio topológico X es el espacio de funciones del círculo S ¹ a X con la topología compacta-abierta. El espacio de bucles libres de X se denota a menudo por . ${\displaystyle {\mathcal {L}}X}$

Como funtor , la construcción del espacio de bucle libre es adjunta derecha al producto cartesiano con el círculo, mientras que la construcción del espacio de bucle es adjunta derecha a la suspensión reducida . Esta adjuntación explica gran parte de la importancia de los espacios de bucle en la teoría de homotopía estable . (Un fenómeno relacionado en la ciencia informática es el currying , donde el producto cartesiano es adjunto al funtor hom ). De manera informal, esto se conoce como dualidad de Eckmann-Hilton .

Dualidad de Eckmann-Hilton

El espacio de bucles es dual con respecto a la suspensión del mismo espacio; esta dualidad a veces se denomina dualidad de Eckmann-Hilton . La observación básica es que

${\displaystyle [\Sigma Z,X]\approxeq [Z,\Omega X]}$

donde es el conjunto de clases de homotopía de los mapas , y es la suspensión de A, y denota el homeomorfismo natural . Este homeomorfismo es esencialmente el de currificar , módulo los cocientes necesarios para convertir los productos en productos reducidos. ${\displaystyle [A,B]}$ ${\displaystyle A\rightarrow B}$ ${\displaystyle \Sigma A}$ ${\displaystyle \approxeq }$

En general, no tiene una estructura de grupo para espacios arbitrarios y . Sin embargo, se puede demostrar que y tienen estructuras de grupo naturales cuando y apuntan , y el isomorfismo mencionado anteriormente es de esos grupos. ^[1] Por lo tanto, establecer (la esfera) da la relación ${\displaystyle [A,B]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle [\Sigma Z,X]}$ ${\displaystyle [Z,\Omega X]}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z=S^{k-1}}$ ${\displaystyle k-1}$

${\displaystyle \pi _{k}(X)\approxeq \pi _{k-1}(\Omega X)}$.

Esto se deduce porque el grupo de homotopía se define como y las esferas se pueden obtener mediante suspensiones entre sí, es decir, [ ^2] ${\displaystyle \pi _{k}(X)=[S^{k},X]}$ ${\displaystyle S^{k}=\Sigma S^{k-1}}$

Véase también

• Periodicidad de Bott
• Espacio de Eilenberg-MacLane
• Bucle libre
• Grupo fundamental
• Conjetura de Gray
• Lista de topologías
• Grupo de bucle
• Ruta (topología)
• Cuasigrupo
• Espectro (topología)
• Espacio de trayectorias (topología algebraica)

Referencias

1. May, JP (1999), Un curso conciso de topología algebraica (PDF) , U. Chicago Press, Chicago , consultado el 27 de agosto de 2016 (Véase el capítulo 8, apartado 2)
2. Wiki de Topospaces – Espacio de bucles de un espacio topológico basado

• Adams, John Frank (1978), Espacios de bucles infinitos, Annals of Mathematics Studies, vol. 90, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08207-3, Sr.  0505692
• May, J. Peter (1972), La geometría de los espacios de bucles iterados, Lecture Notes in Mathematics, vol. 271, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0067491, ISBN 978-3-540-05904-2, Sr.  0420610