Subconjunto cerrado localmente

En topología , una rama de las matemáticas, se dice que un subconjunto de un espacio topológico es localmente cerrado si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ^{[1] [2] [3] [4]} ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle E}$es la intersección de un conjunto abierto y un conjunto cerrado en ${\displaystyle X.}$
• Para cada punto existe un vecindario de tal que está cerrado en ${\displaystyle x\in E,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E\cap U}$ ${\displaystyle U.}$
• ${\displaystyle E}$está abierto en su cierre ${\displaystyle {\overline {E}}.}$
• El conjunto está cerrado en ${\displaystyle {\overline {E}}\setminus E}$ ${\displaystyle X.}$
• ${\displaystyle E}$es la diferencia de dos conjuntos cerrados en ${\displaystyle X.}$
• ${\displaystyle E}$es la diferencia de dos conjuntos abiertos en ${\displaystyle X.}$

La segunda condición justifica la terminología localmente cerrada y es la definición de Bourbaki de localmente cerrada. ^[1] Para ver que la segunda condición implica la tercera, use los hechos de que para subconjuntos es cerrado en si y solo si y que para un subconjunto y un subconjunto abierto ${\displaystyle A\subseteq B,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A={\overline {A}}\cap B}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle {\overline {E}}\cap U={\overline {E\cap U}}\cap U.}$

Ejemplos

El intervalo es un subconjunto localmente cerrado de Para otro ejemplo, considere el interior relativo de un disco cerrado en Es localmente cerrado ya que es una intersección del disco cerrado y una bola abierta. ${\displaystyle (0,1]=(0,2)\cap [0,1]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

Por otra parte, no es un subconjunto localmente cerrado de . ${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x\neq 0\}\cup \{(0,0)\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Recordemos que, por definición, una subvariedad de una -variedad es un subconjunto tal que para cada punto en hay un gráfico a su alrededor tal que Por lo tanto, una subvariedad está localmente cerrada. ^[5] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \varphi (E\cap U)=\mathbb {R} ^{k}\cap \varphi (U).}$

He aquí un ejemplo de geometría algebraica. Sea U una carta afín abierta en una variedad proyectiva X (en la topología de Zariski). Entonces, cada subvariedad cerrada Y de U es localmente cerrada en X ; es decir, donde denota la clausura de Y en X . (Véase también variedad cuasi-proyectiva y variedad cuasi-afín .) ${\displaystyle Y=U\cap {\overline {Y}}}$ ${\displaystyle {\overline {Y}}}$

Propiedades

Las intersecciones finitas y la preimagen bajo un mapa continuo de conjuntos localmente cerrados son localmente cerrados. ^[1] Por otro lado, una unión y un complemento de subconjuntos localmente cerrados no necesitan ser localmente cerrados. ^[6] (Esto motiva la noción de un conjunto construible ).

Especialmente en la teoría de estratificación , para un subconjunto localmente cerrado el complemento se llama el límite de (que no debe confundirse con el límite topológico ). ^[2] Si es una subvariedad cerrada con límite de una variedad , entonces el interior relativo (es decir, el interior como variedad) de está localmente cerrado en y su límite como variedad es el mismo que su límite como subconjunto localmente cerrado. ^[2] ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle {\overline {E}}\setminus E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$

Se dice que un espacio topológico essubmáximo si cada subconjunto es localmente cerrado. Véaseel Glosario de topología#Spara obtener más información sobre este concepto.

Véase también

• Espacio generado de forma contable  : espacio topológico en el que la topología está determinada por sus subconjuntos contablesPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa

Notas

1. Bourbaki 2007, Cap. 1, § 3, no. 3.
2. Pflaum 2001, Explicación 1.1.2.
3. Ganster, M.; Reilly, IL (1989). "Conjuntos localmente cerrados y funciones LC-continuas". Revista Internacional de Matemáticas y Ciencias Matemáticas . 12 (3): 417–424. doi : 10.1155/S0161171289000505 . ISSN  0161-1712.
4. Engelking 1989, Ejercicio 2.7.1.
5. Mather, John (2012). "Notas sobre estabilidad topológica". Boletín de la American Mathematical Society . 49 (4): 475–506. doi : 10.1090/S0273-0979-2012-01383-6 .Sección 1, pág. 476
6. Bourbaki 2007, cap. 1, § 3, ejercicio 7.

Referencias

• Bourbaki, Nicolás (2007). Topología general. Capítulos 1 a 4. Berlín: Springer. doi :10.1007/978-3-540-33982-3. ISBN 978-3-540-33982-3.
• Bourbaki, Nicolás (1989) [1966]. Topología general: capítulos 1 a 4 [ Topologie Générale ]. Elementos matemáticos . Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1.OCLC 18588129  .
• Engelking, Ryszard (1989). Topología general . Heldermann Verlag, Berlín. ISBN 3-88538-006-4.
• Pflaum, Markus J. (2001). Estudio analítico y geométrico de espacios estratificados . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1768. Berlín: Springer. ISBN 3-540-42626-4.OCLC 47892611  .

Enlaces externos

• Conjunto cerrado localmente en el laboratorio n