Espacio hiperbólico

Geometría no euclidiana

Proyección en perspectiva de una teselación dodecaédrica en H 3 .
Cuatro dodecaedros se encuentran en cada arista y ocho se encuentran en cada vértice, como los cubos de una teselación cúbica en E 3

En matemáticas , el espacio hiperbólico de dimensión n es la única variedad riemanniana n -dimensional , simplemente conexa , de curvatura seccional constante igual a −1. ^[1] Es homogéneo y satisface la propiedad más fuerte de ser un espacio simétrico . Hay muchas formas de construirlo como un subconjunto abierto de con una métrica riemanniana escrita explícitamente; dichas construcciones se denominan modelos. El 2-espacio hiperbólico, H ² , que fue la primera instancia estudiada, también se denomina plano hiperbólico . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

También se le denomina a veces espacio de Lobachevsky o espacio de Bolyai-Lobachevsky, en honor a los nombres de los autores que publicaron por primera vez sobre el tema de la geometría hiperbólica . A veces se le añade el calificativo "real" para diferenciarlo de los espacios hiperbólicos complejos , los espacios hiperbólicos cuaterniónicos y el plano hiperbólico octonónico, que son los otros espacios simétricos de curvatura negativa.

El espacio hiperbólico sirve como prototipo de un espacio hiperbólico de Gromov , que es una noción de amplio alcance que incluye espacios geométricos diferenciales y más combinatorios a través de un enfoque sintético de la curvatura negativa. Otra generalización es la noción de un espacio CAT(−1) .

Definición formal y modelos

Definición

El espacio hiperbólico -dimensional o -espacio hiperbólico , usualmente denotado como , es la única variedad de Riemann completa , simplemente conexa y -dimensional con una curvatura seccional negativa constante igual a −1. ^[1] La unicidad significa que dos variedades de Riemann cualesquiera que satisfagan estas propiedades son isométricas entre sí. Es una consecuencia del teorema de Killing-Hopf . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$

Modelos del espacio hiperbólico

Para demostrar la existencia de un espacio como el descrito anteriormente, se puede construir explícitamente, por ejemplo, como un subconjunto abierto de con una métrica de Riemann dada por una fórmula sencilla. Existen muchas construcciones o modelos de espacio hiperbólico de este tipo, cada uno de ellos adecuado para diferentes aspectos de su estudio. Son isométricos entre sí según el párrafo anterior, y en cada caso se puede dar explícitamente una isometría. A continuación se presenta una lista de los modelos más conocidos que se describen con más detalle en los artículos que llevan su nombre: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• Modelo de semiplano de Poincaré : este es el espacio de la mitad superior con la métrica ${\displaystyle \{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}:x_{n}>0\}}$ ${\displaystyle {\tfrac {dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2}}{x_{n}^{2}}}}$
• Modelo de disco de Poincaré : es la esfera unitaria de la métrica . La isometría del modelo de semiespacio se puede realizar mediante una homografía que envía un punto de la esfera unitaria al infinito. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle 4{\tfrac {dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2}}{(1-(x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}))^{2}}}}$
• Modelo hiperboloide : En contraste con los dos modelos anteriores, este realiza el espacio hiperbólico como isométricamente embebido dentro del espacio de Minkowski -dimensional (que no es un Riemanniano sino más bien una variedad Lorentziana ). Más precisamente, mirando la forma cuadrática en , su restricción a los espacios tangentes de la hoja superior del hiperboloide dada por son definidas positivas, por lo tanto lo dotan de una métrica Riemanniana que resulta ser de curvatura constante −1. La isometría de los modelos anteriores se puede realizar por proyección estereográfica desde el hiperboloide al plano , tomando el vértice desde el cual proyectar como para la pelota y un punto en el infinito en el cono dentro del espacio proyectivo para el semiespacio. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n+1)}$ ${\displaystyle q(x)=x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}-x_{n+1}^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle q(x)=-1}$ ${\displaystyle \{x_{n+1}=0\}}$ ${\displaystyle (0,\ldots ,0,1)}$ ${\displaystyle q(x)=0}$
• Modelo de Beltrami-Klein : Este es otro modelo realizado en la bola unitaria de ; en lugar de darse como una métrica explícita, generalmente se presenta como obtenido mediante el uso de la proyección estereográfica del modelo hiperboloide en el espacio de Minkowski a su plano tangente horizontal (es decir, ) desde el origen . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x_{n+1}=1}$ ${\displaystyle (0,\ldots ,0)}$
• Espacio simétrico: El espacio hiperbólico puede realizarse como el espacio simétrico del grupo de Lie simple (el grupo de isometrías de la forma cuadrática con determinante positivo); como conjunto este último es el espacio de clases laterales . La isometría al modelo hiperboloide es inmediata a través de la acción del componente conexo de sobre el hiperboloide. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1)}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1)/\mathrm {O} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1)}$

Propiedades geométricas

Líneas paralelas

El espacio hiperbólico, desarrollado independientemente por Nikolai Lobachevsky , János Bolyai y Carl Friedrich Gauss , es un espacio geométrico análogo al espacio euclidiano , pero en el que ya no se supone que se cumple el postulado de las paralelas de Euclides . En su lugar, el postulado de las paralelas se reemplaza por la siguiente alternativa (en dos dimensiones):

• Dada cualquier línea L y punto P que no está en  L , hay al menos dos líneas distintas que pasan por P y no intersecan  a L.

Se trata, pues, de un teorema según el cual existen infinitas líneas de este tipo que pasan por P. Este axioma no caracteriza de forma única el plano hiperbólico hasta la isometría ; hay una constante adicional, la curvatura K < 0 , que debe especificarse. Sin embargo, sí lo caracteriza de forma única hasta la homotecia , es decir, hasta las biyecciones que solo cambian la noción de distancia por una constante general. Al elegir una escala de longitud adecuada, se puede suponer, sin pérdida de generalidad, que K = −1 .

Incrustaciones euclidianas

El plano hiperbólico no puede ser incrustado isométricamente en el espacio euclidiano 3-por el teorema de Hilbert . Por otra parte, el teorema de incrustación de Nash implica que el espacio n hiperbólico puede ser incrustado isométricamente en algún espacio euclidiano de mayor dimensión (5 para el plano hiperbólico por el teorema de incrustación de Nash).

Cuando se integra isométricamente en un espacio euclidiano, cada punto de un espacio hiperbólico es un punto de silla .

Crecimiento del volumen y desigualdad isoperimétrica

El volumen de las bolas en el espacio hiperbólico aumenta exponencialmente con respecto al radio de la bola en lugar de hacerlo de manera polinómica como en el espacio euclidiano. Es decir, si hay una bola de radio en entonces: donde es el volumen total de la esfera euclidiana de radio 1. ${\displaystyle B(r)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ $${\displaystyle \mathrm {Vol} (B(r))=\mathrm {Vol} (S^{n-1})\int _{0}^{r}\sinh ^{n-1}(t)dt}$$ ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle (n-1)}$

El espacio hiperbólico también satisface una desigualdad isoperimétrica lineal , es decir, existe una constante tal que cualquier disco incrustado cuyo límite tenga una longitud tiene un área como máximo . Esto debe contrastarse con el espacio euclidiano, donde la desigualdad isoperimétrica es cuadrática. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle i\cdot r}$

Otras propiedades métricas

Existen muchas más propiedades métricas del espacio hiperbólico que lo diferencian del espacio euclidiano. Algunas pueden generalizarse al contexto de los espacios hiperbólicos de Gromov, que es una generalización de la noción de curvatura negativa a los espacios métricos generales utilizando únicamente las propiedades de gran escala. Una noción más precisa es la de espacio CAT(−1).

Variedades hiperbólicas

Toda variedad completa , conexa , simplemente conexa , de curvatura negativa constante −1 es isométrica al espacio hiperbólico real  H ⁿ . En consecuencia, el recubrimiento universal de cualquier variedad cerrada M de curvatura negativa constante −1, es decir, una variedad hiperbólica , es H ⁿ . Por lo tanto, toda variedad M de este tipo puede escribirse como H ⁿ ‍ / ‍ Γ , donde Γ es un grupo discreto libre de torsión de isometrías en H ⁿ . Es decir, Γ es una red en SO + ( n , 1) .

Superficies de Riemann

Las superficies hiperbólicas bidimensionales también pueden entenderse según el lenguaje de las superficies de Riemann . Según el teorema de uniformización , toda superficie de Riemann es elíptica, parabólica o hiperbólica. La mayoría de las superficies hiperbólicas tienen un grupo fundamental no trivial π ₁ = Γ ; los grupos que surgen de esta manera se conocen como grupos fuchsianos . El espacio cociente H ² ‍ / ‍ Γ del semiplano superior módulo el grupo fundamental se conoce como modelo fuchsiano de la superficie hiperbólica. El semiplano de Poincaré también es hiperbólico, pero es simplemente conexo y no compacto . Es la cubierta universal de las otras superficies hiperbólicas.

La construcción análoga para superficies hiperbólicas tridimensionales es el modelo kleiniano .

Véase también

• La superficie de Dini
• Variedad hiperbólica de 3 dimensiones
• Poliedro ideal
• Teorema de rigidez de Mostow
• Fórmula Murakami-Yano
• Pseudosfera

Referencias

Notas al pie

1. Grigor'yan, Alexander; Noguchi, Masakazu (1998), "El núcleo de calor en el espacio hiperbólico", The Bulletin of the London Mathematical Society , 30 (6): 643–650, doi :10.1112/S0024609398004780, MR  1642767

Bibliografía

• Ratcliffe, John G., Fundamentos de variedades hiperbólicas , Nueva York, Berlín. Springer-Verlag, 1994.
• Reynolds, William F. (1993) "Geometría hiperbólica en un hiperboloide", American Mathematical Monthly 100:442–455.
• Wolf, Joseph A. Espacios de curvatura constante , 1967. Véase página 67.