En topología , una disciplina dentro de las matemáticas, un espacio de Urysohn , o espacio T 2½ , es un espacio topológico en el que dos puntos distintos cualesquiera pueden estar separados por vecindades cerradas . Un espacio completamente de Hausdorff , o espacio funcionalmente de Hausdorff , es un espacio topológico en el que dos puntos distintos cualesquiera pueden estar separados por una función continua . Estas condiciones son axiomas de separación que son algo más fuertes que el axioma de Hausdorff más conocido T 2 .
Supongamos que X es un espacio topológico . Sean x e y puntos en X.
Un espacio de Urysohn , también llamado espacio T 2½ , es un espacio en el que dos puntos distintos pueden estar separados por vecindades cerradas.
Un espacio completamente de Hausdorff , o espacio funcionalmente de Hausdorff , es un espacio en el que dos puntos distintos pueden estar separados por una función continua.
El estudio de los axiomas de separación es conocido por sus conflictos con las convenciones de nomenclatura utilizadas. Las definiciones utilizadas en este artículo son las dadas por Willard (1970) y son las definiciones más modernas. Steen y Seebach (1970) y varios otros autores invierten la definición de espacios completamente de Hausdorff y espacios de Urysohn. Los lectores de libros de texto de topología deben asegurarse de comprobar las definiciones utilizadas por el autor. Consulte Historia de los axiomas de separación para obtener más información sobre este tema.
Dos puntos cualesquiera que puedan separarse mediante una función pueden separarse mediante vecindades cerradas. Si pueden separarse mediante vecindades cerradas, entonces claramente pueden separarse mediante vecindades. De ello se deduce que todo espacio completamente de Hausdorff es de Urysohn y todo espacio de Urysohn es de Hausdorff .
También se puede demostrar que todo espacio regular de Hausdorff es de Urysohn y que todo espacio de Tichonoff (=espacio de Hausdorff completamente regular) es completamente de Hausdorff. En resumen, tenemos las siguientes implicaciones:
Se pueden encontrar contraejemplos que muestran que ninguna de estas implicaciones se revierte. [1]
La topología de extensión cocontable es la topología sobre la línea real generada por la unión de la topología euclidiana usual y la topología cocontable . Los conjuntos son abiertos en esta topología si y solo si son de la forma U \ A donde U es abierto en la topología euclidiana y A es contable . Este espacio es completamente de Hausdorff y Urysohn, pero no regular (y por lo tanto no de Tichonoff).
Existen espacios que son de Hausdorff pero no de Urysohn, y espacios que son de Urysohn pero no completamente de Hausdorff o de Hausdorff regular. Los ejemplos no son triviales; para más detalles, véase Steen y Seebach.