El espacio de Branges

En matemáticas , un espacio de De Branges (a veces escrito espacio de De Branges ) es un concepto del análisis funcional y se construye a partir de una función de De Branges .

El concepto debe su nombre a Louis de Branges, quien demostró numerosos resultados con respecto a estos espacios, especialmente los espacios de Hilbert , y utilizó esos resultados para demostrar la conjetura de Bieberbach .

Funciones de De Branges

Una función de Hermite-Biehler , también conocida como función de Branges , es una función completa E de a que satisface la desigualdad , para todo z en la mitad superior del plano complejo . ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |E(z)|>|E({\bar {z}})|}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{+}=\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Im} (z)>0\}}$

Definición 1

Dada una función de Hermite-Biehler E , el espacio de Branges B ( E ) se define como el conjunto de todas las funciones enteras F tales que donde: $${\displaystyle F/E,F^{\#}/E\in H_{2}(\mathbb {C} ^{+})}$$

• ${\displaystyle \mathbb {C} ^{+}=\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Im} (z)>0\}}$es la mitad superior abierta del plano complejo.
• ${\displaystyle F^{\#}(z)={\overline {F({\bar {z}})}}}$.
• ${\displaystyle H_{2}(\mathbb {C} ^{+})}$es el espacio Hardy habitual en el semiplano superior abierto.

Definición 2

Un espacio de Branges también se puede definir como todas las funciones enteras F que satisfacen todas las condiciones siguientes:

• ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }|(F/E)(\lambda )|^{2}d\lambda <\infty }$
• ${\displaystyle |(F/E)(z)|,|(F^{\#}/E)(z)|\leq C_{F}(\operatorname {Im} (z))^{(-1/2)},\forall z\in \mathbb {C} ^{+}}$

Definición 3

Existe también una descripción axiomática, útil en la teoría de operadores.

Como espacios de Hilbert

Dado un espacio de Branges B ( E ) . Defina el producto escalar: $${\displaystyle [F,G]={\frac {1}{\pi }}\int _{\mathbb {R} }{\overline {F(\lambda )}}G(\lambda ){\frac {d\lambda }{|E(\lambda )|^{2}}}.}$$

Se puede demostrar que un espacio de Branges con dicho producto escalar es un espacio de Hilbert .

Referencias

• Christian Remling (2003). "Teoría espectral inversa para operadores de Schrödinger unidimensionales: la función A". Math. Z. 245 : 597–617. doi :10.1007/s00209-003-0559-2.