Escuela de astronomía y matemáticas de Kerala

Escuela hindú de astronomía, matemáticas y ciencias en la India

La escuela de astronomía y matemáticas de Kerala o escuela de Kerala fue una escuela de matemáticas y astronomía fundada por Madhava de Sangamagrama en Tirur , Malappuram , Kerala , India, que incluía entre sus miembros a: Parameshvara , Neelakanta Somayaji , Jyeshtadeva , Achyuta Pisharati , Melpathur Narayana. Bhattathiri y Achyuta Panikkar . La escuela floreció entre los siglos XIV y XVI y sus descubrimientos originales parecen haber terminado con Narayana Bhattathiri (1559-1632). Al intentar resolver problemas astronómicos, la escuela de Kerala descubrió de forma independiente una serie de conceptos matemáticos importantes. Sus resultados más importantes (la expansión de series para funciones trigonométricas) fueron descritos en verso sánscrito en un libro de Neelakanta llamado Tantrasangraha , y nuevamente en un comentario sobre este trabajo, llamado Tantrasangraha-vakhya , de autoría desconocida. Los teoremas se enunciaron sin demostración, pero un siglo después se proporcionaron pruebas de las series para el seno, el coseno y la tangente inversa en la obra Yuktibhasa ( c.  1530 ), escrita en malayalam , por Jyesthadeva, y también en un comentario sobre Tantrasangraha . ^[1]

Su trabajo, completado dos siglos antes de la invención del cálculo en Europa, proporcionó lo que ahora se considera el primer ejemplo de una serie de potencias (aparte de las series geométricas ). ^{[2] [3] [4]}

Fondo

Los eruditos islámicos casi desarrollaron una fórmula general para encontrar integrales de polinomios hacia el año 1000 d.C. y evidentemente podían encontrar esa fórmula para cualquier polinomio que les interesara. Pero, al parecer, no estaban interesados ​​en ningún polinomio de grado superior a cuatro, al menos en todo el material que ha llegado hasta nosotros. Los eruditos indios , por otra parte, en el año 1600 pudieron utilizar fórmulas similares a la fórmula de suma de Ibn al-Haytham para potencias integrales arbitrarias al calcular series de potencias para las funciones que les interesaban. Al mismo tiempo, también sabían calcular los diferenciales de estas funciones. Así pues, algunas de las ideas básicas del cálculo se conocían en Egipto y la India muchos siglos antes que Isaac Newton . No parece, sin embargo, que ni los matemáticos islámicos ni los indios vieran la necesidad de conectar algunas de las ideas dispares que incluimos bajo el nombre de cálculo. Aparentemente sólo estaban interesados ​​en casos específicos en los que estas ideas eran necesarias. ^{[5] [6]}

Contribuciones

Páginas del Yuktibhasa c.1530

Series infinitas y cálculo.

La escuela de Kerala ha hecho numerosas contribuciones a los campos de las series infinitas y el cálculo . Estos incluyen las siguientes series geométricas infinitas:

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots {\text{ for }}|x|<1}$^[7]

La escuela de Kerala hizo un uso intuitivo de la inducción matemática , aunque la hipótesis inductiva aún no estaba formulada ni empleada en pruebas. ^[1] Usaron esto para descubrir una prueba semi-rigurosa del resultado:

${\displaystyle 1^{p}+2^{p}+\cdots +n^{p}\approx {\frac {n^{p+1}}{p+1}}}$

para n grande .

Aplicaron ideas de (lo que se convertiría en) cálculo diferencial e integral para obtener series infinitas ( Taylor-Maclaurin ) para , y . ^[8] El Tantrasangraha-vakhya da la serie en verso, que cuando se traduce a notación matemática, puede escribirse como: ^[1] ${\displaystyle \sin x}$ ${\displaystyle \cos x}$ ${\displaystyle \arctan x}$

${\displaystyle r\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)={\frac {1}{1}}\cdot {\frac {ry}{x}}-{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {ry^{3}}{x^{3}}}+{\frac {1}{5}}\cdot {\frac {ry^{5}}{x^{5}}}-\cdots ,{\text{ where }}{\frac {y}{x}}\leq 1.}$

${\displaystyle r\sin {\frac {x}{r}}=x-x\cdot {\frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}+x\cdot {\frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}\cdot {\frac {x^{2}}{(4^{2}+4)r^{2}}}-\cdots }$

${\displaystyle r\left(1-\cos {\frac {x}{r}}\right)=r{\frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}-r{\frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}\cdot {\frac {x^{2}}{(4^{2}-4)r^{2}}}+\cdots }$

donde, para la serie, reduzca a la serie de potencias estándar para estas funciones trigonométricas, por ejemplo: ${\displaystyle r=1,}$

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }$y

${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots }$

(La escuela de Kerala no utilizó el simbolismo "factorial").

La escuela de Kerala utilizó la rectificación (cálculo de la longitud) del arco de un círculo para demostrar estos resultados. (El método posterior de Leibniz, que utiliza la cuadratura ( es decir, el cálculo del área bajo el arco del círculo), aún no se desarrolló). ^[1] También utilizaron la expansión de la serie de para obtener una expresión de serie infinita (más tarde conocida como Serie Gregory) para : ^[1] ${\displaystyle \arctan x}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots }$

Su aproximación racional del error para la suma finita de sus series es de particular interés. Por ejemplo, el error , (para n impar y i = 1, 2, 3 ) para la serie: ${\displaystyle f_{i}(n+1)}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\approx 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-\cdots (-1)^{(n-1)/2}{\frac {1}{n}}+(-1)^{(n+1)/2}f_{i}(n+1)}$

dónde ${\displaystyle f_{1}(n)={\frac {1}{2n}},\ f_{2}(n)={\frac {n/2}{n^{2}+1}},\ f_{3}(n)={\frac {(n/2)^{2}+1}{(n^{2}+5)n/2}}.}$

Manipularon los términos, usando la expansión de fracción parcial de: para obtener una serie que converge más rápidamente para : ^[1] ${\displaystyle {\frac {1}{n^{3}-n}}}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\frac {3}{4}}+{\frac {1}{3^{3}-3}}-{\frac {1}{5^{3}-5}}+{\frac {1}{7^{3}-7}}-\cdots }$

Utilizaron la serie mejorada para derivar una expresión racional, ^[1] para corregir hasta nueve decimales, es decir . Hicieron uso de una noción intuitiva de límite para calcular estos resultados. ^[1] Los matemáticos de la escuela de Kerala también dieron un método semi-riguroso de diferenciación de algunas funciones trigonométricas, ^[9] aunque la noción de función, o de funciones exponenciales o logarítmicas, aún no estaba formulada. ${\displaystyle 104348/33215}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 3.141592653}$

Reconocimiento

En 1825, John Warren publicó una memoria sobre la división del tiempo en el sur de la India, ^[10] llamada Kala Sankalita , que menciona brevemente el descubrimiento de series infinitas por parte de los astrónomos de Kerala.

Los trabajos de la escuela de Kerala fueron escritos por primera vez para el mundo occidental por el inglés CM Whish en 1835. Según Whish, los matemáticos de Kerala habían "sentado las bases para un sistema completo de fluxiones" y estos trabajos abundaban "en formas y series fluxionales". no se encuentra en ninguna obra de países extranjeros". ^{[11] Sin embargo, los resultados de Whish fueron casi completamente ignorados, hasta más de un siglo después, cuando} CT Rajagopal y sus asociados investigaron nuevamente los descubrimientos de la escuela de Kerala . Su trabajo incluye comentarios sobre las pruebas de la serie arctan en Yuktibhasa dadas en dos artículos, ^{[12] [13]} un comentario sobre la prueba de Yuktibhasa de las series seno y coseno [ 14 ^] y dos artículos que proporcionan los versos sánscritos de el Tantrasangrahavakhya para la serie de arctan, pecado y coseno (con traducción y comentario al inglés). ^{[15] [16]}

En 1952 Otto Neugebauer escribió sobre astronomía tamil. ^[17]

En 1972, KV Sarma publicó su Historia de la Escuela de Astronomía Hindú de Kerala , que describía características de la escuela como la continuidad de la transmisión del conocimiento desde el siglo XIII al XVII: de Govinda Bhattathiri a Parameshvara a Damodara a Nilakantha Somayaji a Jyesthadeva a Acyuta Pisarati. . La transmisión de maestro a alumno conservó el conocimiento en "una disciplina práctica y demostrativa como la astronomía en una época en la que no había proliferación de libros impresos y escuelas públicas".

En 1994 se argumentó que el modelo heliocéntrico había sido adoptado alrededor del año 1500 d.C. en Kerala. ^[18]

Posible transmisión de los resultados escolares de Kerala a Europa

AK Bag sugirió en 1979 que el conocimiento de estos resultados podría haber sido transmitido a Europa a través de la ruta comercial desde Kerala por comerciantes y misioneros jesuitas . ^[19] Kerala estaba en continuo contacto con China, Arabia y Europa . La sugerencia de algunas vías de comunicación y una cronología por parte de algunos estudiosos ^{[20] [21]} podría hacer posible dicha transmisión; sin embargo, no hay evidencia directa a través de manuscritos relevantes de que tal transmisión haya tenido lugar. ^[21] Según David Bressoud , "no hay evidencia de que la obra india de series fuera conocida más allá de la India, o incluso fuera de Kerala, hasta el siglo XIX". ^{[8] [22]} VJ Katz señala que algunas de las ideas de la escuela de Kerala tienen similitudes con el trabajo del erudito iraquí del siglo XI Ibn al-Haytham , ^[9] sugiriendo una posible transmisión de ideas de las matemáticas islámicas a Kerala. ^[23]

Tanto los eruditos indios como los árabes hicieron descubrimientos antes del siglo XVII que ahora se consideran parte del cálculo. ^[9] Según Katz, todavía tenían que "combinar muchas ideas diferentes bajo los dos temas unificadores de la derivada y la integral , mostrar la conexión entre los dos y convertir el cálculo en la gran herramienta de resolución de problemas que tenemos hoy". como Newton y Leibniz . ^[9] Las carreras intelectuales tanto de Newton como de Leibniz están bien documentadas y no hay indicios de que su trabajo no sea el suyo; ^[9] sin embargo, no se sabe con certeza si los predecesores inmediatos de Newton y Leibniz, "incluidos, en particular, Fermat y Roberval, conocieron algunas de las ideas de los matemáticos islámicos e indios a través de fuentes de las que ahora no tenemos conocimiento". consciente". ^[9] Se trata de un área activa de investigación actual, especialmente en las colecciones de manuscritos de España y Magreb , investigación que ahora se lleva a cabo, entre otros lugares, en el Centre national de la recherche scientifique de París . ^[9]

Ver también

• astronomía india
• matemáticas indias
• matemáticos indios
• historia de las matemáticas
• Una historia de la Escuela de Astronomía Hindú de Kerala
• Lista de astrónomos y matemáticos de la escuela de Kerala

Notas

1. Roy, Ranjan. 1990. "Descubrimiento de la fórmula de la serie de Leibniz, Gregory y Nilakantha". Revista de Matemáticas (Asociación Matemática de América) 63(5):291–306. ${\displaystyle \pi }$
2. (Stillwell 2004, pag.173)
3. (Bressoud 2002, p. 12) Cita: "No hay evidencia de que el trabajo indio en series fuera conocido más allá de la India, o incluso fuera de Kerala, hasta el siglo XIX. Gold y Pingree afirman [4] que en el momento en que estas series fueron redescubiertas en Europa, a todos los efectos prácticos, se habían perdido en la India. Las expansiones del seno, el coseno y el arco tangente se habían transmitido a través de varias generaciones de discípulos, pero seguían siendo observaciones estériles para las cuales nadie podía encontrar de mucha utilidad."
4. Plofker 2001, pág. 293 Cita: "No es inusual encontrar en discusiones sobre matemáticas indias afirmaciones como que "el concepto de diferenciación se entendió [en la India] desde la época de Manjula (... en el siglo X)" [Joseph 1991, 300 ], o que "podemos considerar a Madhava como el fundador del análisis matemático" (Joseph 1991, 293), o que Bhaskara II puede afirmar ser "el precursor de Newton y Leibniz en el descubrimiento del principio del cálculo diferencial". " (Bag 1979, 294). ... Los puntos de semejanza, particularmente entre el cálculo europeo temprano y el trabajo de Keralese sobre series de potencias, incluso han inspirado sugerencias de una posible transmisión de ideas matemáticas desde la costa de Malabar en el siglo XV o después. al mundo académico latino (por ejemplo, en (Bag 1979, 285))... Debe tenerse en cuenta, sin embargo, que tal énfasis en la similitud de las matemáticas sánscritas (o malayalam) y latinas corre el riesgo de disminuir nuestra capacidad por completo. Hablar del "descubrimiento indio del principio del cálculo diferencial" oscurece un poco el hecho de que las técnicas indias para expresar cambios en el seno mediante el coseno o viceversa, como en los ejemplos que hemos visto, visto, permaneció dentro de ese contexto trigonométrico específico. El "principio" diferencial no se generalizó a funciones arbitrarias; de hecho, la noción explícita de una función arbitraria, por no mencionar la de su derivada o un algoritmo para tomar la derivada, es irrelevante aquí.
5. Pingree 1992, pag. 562 Cita: "Un ejemplo que puedo darle se relaciona con la demostración del indio Mādhava, alrededor del año 1400 d. C., de la serie de potencias infinitas de funciones trigonométricas usando argumentos geométricos y algebraicos. Cuando esto fue descrito por primera vez en inglés por Charles Whish, en la década de 1830 Esta afirmación y los logros de Mādhava fueron ignorados por los historiadores occidentales, presumiblemente al principio porque no podían admitir que un indio descubriera el cálculo, pero más tarde porque ya nadie leía las Transacciones del cálculo. Royal Asiatic Society , en la que se publicó el artículo de Whish. El asunto resurgió en la década de 1950, y ahora tenemos los textos sánscritos correctamente editados y entendemos la forma inteligente en que Mādhava derivó la serie sin el cálculo; pero muchos historiadores todavía lo encuentran imposible. concebir el problema y su solución en términos de algo más que el cálculo y proclamar que el cálculo es lo que encontró Mādhava. En este caso, la elegancia y la brillantez de las matemáticas de Mādhava están siendo distorsionadas al quedar enterradas bajo la solución matemática actual de un problema para el cual descubrió una solución alternativa y poderosa."
6. Katz 1995, págs. 173-174 Cita: "¿Qué tan cerca estuvieron los eruditos islámicos e indios de inventar el cálculo? Los eruditos islámicos casi desarrollaron una fórmula general para encontrar integrales de polinomios en el año 1000 d.C., y evidentemente podían encontrar esa fórmula para cualquier polinomio en el que estaban interesados, pero, al parecer, no estaban interesados ​​en ningún polinomio de grado superior a cuatro, al menos en ninguno de los materiales que han llegado hasta nosotros. Los eruditos indios, por otra parte, hacia 1600 podían utilizar la fórmula de suma de ibn al-Haytham para potencias integrales arbitrarias al calcular series de potencias para las funciones que les interesaban. Al mismo tiempo, también sabían cómo calcular las diferenciales de estas funciones. Así que algunas de las ideas básicas de El cálculo se conocía en Egipto y la India muchos siglos antes que Newton, pero no parece que ni los matemáticos islámicos ni los indios vieran la necesidad de conectar algunas de las ideas dispares que incluimos bajo el nombre de cálculo. Aparentemente sólo estaban interesados ​​en casos específicos en los que estas ideas eran necesarias.
       Por lo tanto, no hay peligro de que tengamos que reescribir los textos de historia para eliminar la afirmación de que Newton y Leibniz inventaron el cálculo. Ciertamente fueron ellos quienes fueron capaces de combinar muchas ideas diferentes bajo los dos temas unificadores de la derivada y la integral, mostrar la conexión entre ellos y convertir el cálculo en la gran herramienta de resolución de problemas que tenemos hoy".
7. Singh, AN (1936). "Sobre el uso de series en matemáticas hindúes". Osiris . 1 : 606–628. doi :10.1086/368443. S2CID  144760421.
8. Bressoud, David. 2002. "¿Se inventó el cálculo en la India?" The College Mathematics Journal (Asociación Matemática de América). 33(1):2–13.
9. Katz, VJ 1995. "Ideas de cálculo en el Islam y la India". (pdf) Revista de Matemáticas (Asociación Matemática de América), 68(3):163-174.
10. John Warren (1825) Una colección de memorias sobre varios modos según los cuales las naciones de la parte sur de la India dividen el tiempo de Google Books
11. Deseo, Charles M. (1835). "XXXIII. Sobre la Cuadratura Hindú del Círculo, y la Serie infinita de la proporción de la circunferencia al diámetro exhibida en los cuatro S'ástras, el Tantra Sangraham, el Yucti Bháshá, Carana Padhati y Sadratnamáka". Transacciones de la Royal Asiatic Society . 3 : 509–523.
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13. Rajagopal, C.; Rangachari, MS (1951). "Sobre la prueba hindú de la serie de Gregory". Scripta Matemática . 17 : 65–74.
14. Rajagopal, C.; Venkataraman, A. (1949). "La serie de potencias seno y coseno en las matemáticas hindúes". Revista de la Real Sociedad Asiática de Bengala (Ciencia) . 15 : 1–13.
15. Rajagopal, C.; Rangachari, MS (1977). "Sobre una fuente sin explotar de las matemáticas medievales de Keralesa". Archivo de Historia de las Ciencias Exactas . 18 (2): 89-102. doi :10.1007/BF00348142. S2CID  51861422.
16. Rajagopal, C.; Rangachari, MS (1986). "Sobre las matemáticas medievales de Kerala". Archivo de Historia de las Ciencias Exactas . 35 (2): 91–99. doi :10.1007/BF00357622. S2CID  121678430.
17. Otto Neugebauer (1952) "Astronomía tamil", Osiris 10: 252–76
18. K. Ramasubramanian, MD Srinivas y MS Sriram (1994) Modificación de la teoría planetaria india anterior por parte de los astrónomos de Kerala (c. 1500 d. C.) y la imagen heliocéntrica implícita del movimiento planetario, Current Science 66 (10): 784–90
19. AK Bag (1979) Matemáticas en la India antigua y medieval . Varanasi/Delhi: Chaukhambha Orientalia. página 285.
20. Raju, CK (2001). "Computadoras, educación matemática y epistemología alternativa del cálculo en Yuktibhasa". Filosofía de Oriente y Occidente . 51 (3): 325–362. doi :10.1353/pew.2001.0045. S2CID  170341845.
21. Almeida, DF; Juan, JK; Zadorozhnyy, A. (2001). "Matemáticas keralesas: su posible transmisión a Europa y las consiguientes implicaciones educativas". Revista de Geometría Natural . 20 : 77-104.
22. Oro, D.; Pingree, D. (1991). "Un trabajo en sánscrito hasta ahora desconocido sobre la derivación de Madhava de la serie de potencias para el seno y el coseno". Historia científica . 42 : 49–65.
23. Katz 1995, pag. 174.

Referencias

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• Stillwell, John (2004), Las matemáticas y su historia (2 ed.), Berlín y Nueva York: Springer, 568 páginas, ISBN 0-387-95336-1.
• Tacchi Venturi. 'Carta de Matteo Ricci a Petri Maffei el 1 de diciembre de 1581', Matteo Ricci SI, Le Lettre Dalla Cina 1580-1610 , vol. 2, Macerata, 1613.

enlaces externos

• Una descripción general de las matemáticas indias, archivo MacTutor History of Mathematics , 2002.
• Matemáticas indias: restablecer el equilibrio, archivo MacTutor History of Mathematics , 2002.
• Matemáticas keralesas, archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , 2002.
• Posible transmisión de las matemáticas de Keralesa a Europa, archivo MacTutor History of Mathematics , 2002.
• "Los indios fueron anteriores al 'descubrimiento' de Newton en 250 años" phys.org, 2007