Escalamiento de Widom

El escalamiento de Widom (de Benjamin Widom ) es una hipótesis de la mecánica estadística que se refiere a la energía libre de un sistema magnético cerca de su punto crítico , lo que hace que los exponentes críticos dejen de ser independientes y puedan parametrizarse en términos de dos valores. Se puede considerar que la hipótesis surge como una consecuencia natural del procedimiento de renormalización del espín del bloque, cuando se elige que el tamaño del bloque sea del mismo tamaño que la longitud de correlación. ^[1]

El escalamiento de Widom es un ejemplo de universalidad .

Definiciones

Los exponentes críticos y se definen en términos del comportamiento de los parámetros de orden y las funciones de respuesta cerca del punto crítico de la siguiente manera ${\displaystyle \alpha ,\alpha ',\beta ,\gamma ,\gamma '}$ ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle M(t,0)\simeq (-t)^{\beta }}$, para ${\displaystyle t\uparrow 0}$

${\displaystyle M(0,H)\simeq |H|^{1/\delta }\mathrm {sign} (H)}$, para ${\displaystyle H\rightarrow 0}$

${\displaystyle \chi _{T}(t,0)\simeq {\begin{cases}(t)^{-\gamma },&{\textrm {for}}\ t\downarrow 0\\(-t)^{-\gamma '},&{\textrm {for}}\ t\uparrow 0\end{cases}}}$

${\displaystyle c_{H}(t,0)\simeq {\begin{cases}(t)^{-\alpha }&{\textrm {for}}\ t\downarrow 0\\(-t)^{-\alpha '}&{\textrm {for}}\ t\uparrow 0\end{cases}}}$

dónde

${\displaystyle t\equiv {\frac {T-T_{c}}{T_{c}}}}$mide la temperatura relativa al punto crítico.

Cerca del punto crítico, la relación de escala de Widom se lee

${\displaystyle H(t)\simeq M|M|^{\delta -1}f(t/|M|^{1/\beta })}$.

¿Dónde tiene una expansión? ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(t/|M|^{1/\beta })\approx 1+{\rm {const}}\times (t/|M|^{1/\beta })^{\omega }+\dots }$,

siendo el exponente de Wegner el que rige el enfoque del escalamiento. ${\displaystyle \omega }$

Derivación

La hipótesis de escala es que cerca del punto crítico, la energía libre , en dimensiones, se puede escribir como la suma de una parte regular que varía lentamente y una parte singular , siendo la parte singular una función de escala, es decir, una función homogénea , de modo que ${\displaystyle f(t,H)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle f_{r}}$ ${\displaystyle f_{s}}$

${\displaystyle f_{s}(\lambda ^{p}t,\lambda ^{q}H)=\lambda ^{d}f_{s}(t,H)\,}$

Luego, tomando la derivada parcial con respecto a H y la forma de M(t,H) se obtiene

${\displaystyle \lambda ^{q}M(\lambda ^{p}t,\lambda ^{q}H)=\lambda ^{d}M(t,H)\,}$

Estableciendo y en la ecuación anterior se obtiene ${\displaystyle H=0}$ ${\displaystyle \lambda =(-t)^{-1/p}}$

${\displaystyle M(t,0)=(-t)^{\frac {d-q}{p}}M(-1,0),}$para ${\displaystyle t\uparrow 0}$

Comparando esto con la definición de rendimientos, su valor, ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \beta ={\frac {d-q}{p}}\equiv {\frac {\nu }{2}}(d-2+\eta ).}$

De manera similar, al poner y en la relación de escala para M se obtiene ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle \lambda =H^{-1/q}}$

${\displaystyle \delta ={\frac {q}{d-q}}\equiv {\frac {d+2-\eta }{d-2+\eta }}.}$

Por eso

${\displaystyle {\frac {q}{p}}={\frac {\nu }{2}}(d+2-\eta ),~{\frac {1}{p}}=\nu .}$

Aplicando la expresión para la susceptibilidad isotérmica en términos de M a la relación de escala se obtiene ${\displaystyle \chi _{T}}$

${\displaystyle \lambda ^{2q}\chi _{T}(\lambda ^{p}t,\lambda ^{q}H)=\lambda ^{d}\chi _{T}(t,H)\,}$

Si se establece H=0 y para (resp. para ) se obtiene ${\displaystyle \lambda =(t)^{-1/p}}$ ${\displaystyle t\downarrow 0}$ ${\displaystyle \lambda =(-t)^{-1/p}}$ ${\displaystyle t\uparrow 0}$

${\displaystyle \gamma =\gamma '={\frac {2q-d}{p}}\,}$

De manera similar, para la expresión del calor específico en términos de M, la relación de escala produce ${\displaystyle c_{H}}$

${\displaystyle \lambda ^{2p}c_{H}(\lambda ^{p}t,\lambda ^{q}H)=\lambda ^{d}c_{H}(t,H)\,}$

Si tomamos H=0 y para (o para obtenemos ${\displaystyle \lambda =(t)^{-1/p}}$ ${\displaystyle t\downarrow 0}$ ${\displaystyle \lambda =(-t)^{-1/p}}$ ${\displaystyle t\uparrow 0)}$

${\displaystyle \alpha =\alpha '=2-{\frac {d}{p}}=2-\nu d}$

Como consecuencia del escalamiento de Widom, no todos los exponentes críticos son independientes, pero pueden parametrizarse mediante dos números con las relaciones expresadas como ${\displaystyle p,q\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \alpha =\alpha '=2-\nu d,}$

${\displaystyle \gamma =\gamma '=\beta (\delta -1)=\nu (2-\eta ).}$

Las relaciones están bien verificadas experimentalmente para sistemas magnéticos y fluidos.

Referencias

• HE Stanley, Introducción a las transiciones de fase y fenómenos críticos
• H. Kleinert y V. Schulte-Frohlinde, Critical Properties of φ ⁴ -Theories , World Scientific (Singapur, 2001); ISBN de tapa blanda  981-02-4658-7 (también disponible en línea)

1. Kerson Huang, Mecánica estadística. John Wiley and Sons, 1987