Concepto en lógica
En lógica y matemáticas , se dice que los enunciados y son lógicamente equivalentes si tienen el mismo valor de verdad en todos los modelos . [1] La equivalencia lógica de y a veces se expresa como , , o , dependiendo de la notación que se utilice. Sin embargo, estos símbolos también se utilizan para equivalencia material , por lo que la interpretación adecuada dependería del contexto. La equivalencia lógica es diferente de la equivalencia material, aunque los dos conceptos están intrínsecamente relacionados.![{\displaystyle p}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p\equiv q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p::q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\textsf {E}}pq}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p\iff q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Equivalencias lógicas
En lógica, existen muchas equivalencias lógicas comunes y, a menudo, se enumeran como leyes o propiedades. Las siguientes tablas ilustran algunos de ellos.
Equivalencias lógicas generales
Equivalencias lógicas que involucran declaraciones condicionales
![{\displaystyle p\implica q\equiv \neg p\vee q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p\implica q\equiv \neg q\implica \neg p}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p\vee q\equiv \neg p\implica q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p\cuña q\equiv \neg (p\implica \neg q)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \neg (p\implica q)\equiv p\wedge \neg q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (p\implica q)\wedge (p\implica r)\equiv p\implica (q\wedge r)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (p\implica q)\vee (p\implica r)\equiv p\implica (q\vee r)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (p\implica r)\wedge (q\implica r)\equiv (p\vee q)\implica r}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (p\implica r)\vee (q\implica r)\equiv (p\wedge q)\implica r}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Equivalencias lógicas que involucran bicondicionales
![{\displaystyle p\iff q\equiv (p\implica q)\wedge (q\implica p)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p\iff q\equiv \neg p\iff \neg q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p\iff q\equiv (p\wedge q)\vee (\neg p\wedge \neg q)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \neg (p\iff q)\equiv p\iff \neg q\equiv p\oplus q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Donde representa XOR .![{\displaystyle \oplus}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ejemplos
en logica
Las siguientes afirmaciones son lógicamente equivalentes:
- Si Lisa está en Dinamarca , entonces está en Europa (una declaración del formulario ).
![{\displaystyle d\implica e}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Si Lisa no está en Europa, entonces no está en Dinamarca (una declaración del formulario ).
![{\displaystyle \neg e\implica \neg d}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Sintácticamente, (1) y (2) son derivables entre sí mediante las reglas de contraposición y doble negación . Semánticamente, (1) y (2) son verdaderas exactamente en los mismos modelos (interpretaciones, valoraciones); es decir, aquellas en las que Lisa está en Dinamarca son falsas o Lisa está en Europa son verdaderas.
(Tenga en cuenta que en este ejemplo se supone la lógica clásica . Algunas lógicas no clásicas no consideran que (1) y (2) sean lógicamente equivalentes).
Relación con la equivalencia material
La equivalencia lógica es diferente de la equivalencia material. Las fórmulas y son lógicamente equivalentes si y sólo si el enunciado de su equivalencia material ( ) es una tautología. [2]![{\displaystyle p}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p\leftrightarrow q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La equivalencia material de y (a menudo escrita como ) es en sí misma otra declaración en el mismo lenguaje objeto que y . Esta afirmación expresa la idea "' si y sólo si '". En particular, el valor de verdad de puede cambiar de un modelo a otro.![{\displaystyle p}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p\leftrightarrow q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p\leftrightarrow q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Por otro lado, la afirmación de que dos fórmulas son lógicamente equivalentes es un enunciado en metalenguaje , que expresa una relación entre dos enunciados y . Los enunciados son lógicamente equivalentes si, en cada modelo, tienen el mismo valor de verdad.![{\displaystyle p}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ver también
Referencias