Dado un número finito de vectores en un espacio vectorial real , una combinación cónica , suma cónica o suma ponderada [1] [2] de estos vectores es un vector de la forma
¿Dónde están los números reales no negativos ?
El nombre deriva del hecho de que el conjunto de todas las sumas cónicas de vectores define un cono (posiblemente en un subespacio de dimensión inferior ).
El conjunto de todas las combinaciones cónicas para un conjunto dado S se denomina envoltura cónica de S y se denota cono ( S ) [1] o coni ( S ). [2] Es decir,
Tomando k = 0, se deduce que el vector cero ( origen ) pertenece a todas las envolturas cónicas (ya que la suma se convierte en una suma vacía ).
La envoltura cónica de un conjunto S es un conjunto convexo . De hecho, es la intersección de todos los conos convexos que contienen a S más el origen. [1] Si S es un conjunto compacto (en particular, cuando es un conjunto finito no vacío de puntos), entonces la condición "más el origen" es innecesaria.
Si descartamos el origen, podemos dividir todos los coeficientes por su suma para ver que una combinación cónica es una combinación convexa escalada por un factor positivo.
Por lo tanto, las "combinaciones cónicas" y las "envolturas cónicas" son de hecho "combinaciones cónicas convexas" y "envolturas cónicas convexas" respectivamente. [1] Además, la observación anterior sobre dividir los coeficientes mientras se descarta el origen implica que las combinaciones cónicas y las envolturas pueden considerarse como combinaciones convexas y envolturas convexas en el espacio proyectivo .
Si bien la envoltura convexa de un conjunto compacto es también un conjunto compacto, no ocurre lo mismo con la envoltura cónica; en primer lugar, esta última no está acotada. Además, ni siquiera es necesariamente un conjunto cerrado : un contraejemplo es una esfera que pasa por el origen, siendo la envoltura cónica un semiespacio abierto más el origen. Sin embargo, si S es un conjunto compacto convexo no vacío que no contiene el origen, entonces la envoltura cónica convexa de S es un conjunto cerrado. [1]
