Energia potencial electrica

Energía potencial que resulta de las fuerzas conservadoras de Coulomb.

La energía potencial eléctrica es una energía potencial (medida en julios ) que resulta de fuerzas de Coulomb conservadoras y está asociada con la configuración de un conjunto particular de cargas puntuales dentro de un sistema definido . Se puede decir que un objeto tiene energía potencial eléctrica en virtud de su propia carga eléctrica o de su posición relativa con respecto a otros objetos cargados eléctricamente .

El término "energía potencial eléctrica" ​​se utiliza para describir la energía potencial en sistemas con campos eléctricos variables en el tiempo , mientras que el término "energía potencial electrostática" se utiliza para describir la energía potencial en sistemas con campos eléctricos invariantes en el tiempo .

Definición

La energía potencial eléctrica de un sistema de cargas puntuales se define como el trabajo necesario para ensamblar este sistema de cargas acercándolas, como en el sistema desde una distancia infinita. Alternativamente, la energía potencial eléctrica de cualquier carga o sistema de cargas dado se denomina trabajo total realizado por un agente externo para llevar la carga o el sistema de cargas desde el infinito hasta la configuración actual sin sufrir ninguna aceleración.

La energía potencial electrostática, UE _, de una carga puntual q en la posición r en presencia de un campo eléctrico E se define como el negativo del trabajo W realizado por la fuerza electrostática para llevarla desde la posición de referencia r _ref ^{[nota 1 ]} a esa posición r . ^{[1] [2] : §25-1}

${\displaystyle U_{\mathrm {E} }(\mathbf {r} )=-W_{r_{\rm {ref}}\rightarrow r}=-\int _{{\mathbf {r} }_{\rm {ref}}}^{\mathbf {r} }q\mathbf {E} (\mathbf {r'} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r'} }$

donde E es el campo electrostático y d r' es el vector de desplazamiento en una curva desde la posición de referencia r _ref hasta la posición final r .

La energía potencial electrostática también se puede definir a partir del potencial eléctrico de la siguiente manera:

La energía potencial electrostática, UE _, de una carga puntual q en la posición r en presencia de un potencial eléctrico se define como el producto de la carga por el potencial eléctrico. ${\displaystyle V}$

${\displaystyle U_{\mathrm {E} }(\mathbf {r} )=qV(\mathbf {r} )}$

donde es el potencial eléctrico generado por las cargas, que es función de la posición r . ${\displaystyle V}$

Unidades

La unidad SI de energía potencial eléctrica es el joule (llamado así en honor al físico inglés James Prescott Joule ). En el sistema CGS, el ergio es la unidad de energía y equivale a 10 ⁻⁷ julios. También se pueden utilizar electronvoltios , 1 eV = 1,602×10 ⁻¹⁹ julios.

Energía potencial electrostática de una carga puntual.

Una carga puntual q en presencia de otra carga puntual Q

Una carga puntual q en el campo eléctrico de otra carga Q.

La energía potencial electrostática, UE _, de una carga puntual q en la posición r en presencia de una carga puntual Q , tomando como posición de referencia una separación infinita entre las cargas, es:

${\displaystyle U_{E}(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ}{r}}}$

donde r es la distancia entre las cargas puntuales q y Q , y q y Q son las cargas (no los valores absolutos de las cargas; es decir, un electrón tendría un valor de carga negativo cuando se colocara en la fórmula). El siguiente esquema de prueba establece la derivación de la definición de energía potencial eléctrica y la ley de Coulomb a esta fórmula.

Esquema de la prueba

La fuerza electrostática F que actúa sobre una carga q se puede escribir en términos del campo eléctrico E como

$${\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} ,}$$

Por definición, el cambio en la energía potencial electrostática, UE _, de una carga puntual q que se ha movido desde la posición de referencia r _ref a la posición r en presencia de un campo eléctrico E es el negativo del trabajo realizado por la fuerza electrostática para llévelo desde la posición de referencia r _ref a esa posición r .

$${\displaystyle U_{E}(r)-U_{E}(r_{\rm {ref}})=-W_{r_{\rm {ref}}\rightarrow r}=-\int _{{r}_{\rm {ref}}}^{r}q\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} .}$$

dónde:

• r = posición en el espacio 3d de la carga q , usando coordenadas cartesianas r = ( x , y , z ), tomando la posición de la carga Q en r = (0,0,0), el escalar r = | r | es la norma del vector de posición,
• d s = vector de desplazamiento diferencial a lo largo de un camino C que va de r _ref a r ,
• ${\displaystyle W_{r_{\rm {ref}}\rightarrow r}}$es el trabajo realizado por la fuerza electrostática para llevar la carga desde la posición de referencia r _ref a r ,

Por lo general, U _E se establece en cero cuando r _ref es infinito:

$${\displaystyle U_{E}(r_{\rm {ref}}=\infty )=0}$$

entonces

$${\displaystyle U_{E}(r)=-\int _{\infty }^{r}q\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} }$$

Cuando el rizo ∇ × E es cero, la integral de línea anterior no depende del camino específico C elegido sino solo de sus puntos finales. Esto sucede en campos eléctricos invariantes en el tiempo. Cuando se habla de energía potencial electrostática, siempre se supone que los campos eléctricos son invariantes en el tiempo, por lo que, en este caso, el campo eléctrico es conservativo y se puede utilizar la ley de Coulomb.

Utilizando la ley de Coulomb , se sabe que la fuerza electrostática F y el campo eléctrico E creado por una carga puntual discreta Q están dirigidos radialmente desde Q. Por la definición del vector de posición r y el vector de desplazamiento s , se deduce que r y s también están dirigidos radialmente desde Q. Entonces, E y d s deben ser paralelos:

$${\displaystyle \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =|\mathbf {E} |\cdot |\mathrm {d} \mathbf {s} |\cos(0)=E\mathrm {d} s}$$

Usando la ley de Coulomb, el campo eléctrico viene dado por

$${\displaystyle |\mathbf {E} |=E={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{s^{2}}}}$$

y la integral se puede evaluar fácilmente:

$${\displaystyle U_{E}(r)=-\int _{\infty }^{r}q\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =-\int _{\infty }^{r}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ}{s^{2}}}{\rm {d}}s={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ}{r}}=k_{e}{\frac {qQ}{r}}}$$

Una carga puntual q en presencia de n cargas puntuales Q i

Energía potencial electrostática de q debido al sistema de carga Q ₁ y Q ₂ : ${\displaystyle U_{E}={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {Q_{1}}{r_{1}}}+{\frac {Q_{2}}{r_{2}}}\right)}$

La energía potencial electrostática, U _E , de una carga puntual q en presencia de n cargas puntuales Qi _, tomando como posición de referencia una separación infinita entre las cargas, es:

${\displaystyle U_{E}(r)={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {Q_{i}}{r_{i}}},}$

donde r _i es la distancia entre las cargas puntuales _q y Qi , y q y Qi son los valores asignados a las cargas _.

Energía potencial electrostática almacenada en un sistema de cargas puntuales.

La energía potencial electrostática U _E almacenada en un sistema de N cargas q ₁ , q ₂ ,…, q _N en las posiciones r ₁ , r ₂ , …, r _N respectivamente, es:

donde, para cada valor de i , V( r _i ) es el potencial electrostático debido a todas las cargas puntuales excepto la que está en r _i , ^{[nota 2]} y es igual a:

$${\displaystyle V(\mathbf {r} _{i})=k_{e}\sum _{\stackrel {j=1}{j\neq i}}^{N}{\frac {q_{j}}{r_{ij}}},}$$

r _ijq _iq _j

Esquema de la prueba

La energía potencial electrostática U _E almacenada en un sistema de dos cargas es igual a la energía potencial electrostática de una carga en el potencial electrostático generado por la otra. Es decir, si la carga q ₁ genera un potencial electrostático V ₁ , que es función de la posición r , entonces

$${\displaystyle U_{\mathrm {E} }=q_{2}V_{1}(\mathbf {r} _{2}).}$$

Haciendo el mismo cálculo con respecto a la otra carga, obtenemos

$${\displaystyle U_{\mathrm {E} }=q_{1}V_{2}(\mathbf {r} _{1}).}$$

La energía potencial electrostática es compartida mutuamente por y , por lo que la energía total almacenada es ${\displaystyle q_{1}}$ ${\displaystyle q_{2}}$

$${\displaystyle U_{E}={\frac {1}{2}}\left[q_{2}V_{1}(\mathbf {r} _{2})+q_{1}V_{2}(\mathbf {r} _{1})\right]}$$

Esto se puede generalizar para decir que la energía potencial electrostática U _E almacenada en un sistema de n cargas q ₁ , q ₂ ,…, q _n en las posiciones r ₁ , r ₂ ,…, r _n respectivamente, es:

$${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}V(\mathbf {r} _{i}).}$$

Energía almacenada en un sistema de una carga puntual.

La energía potencial electrostática de un sistema que contiene solo una carga puntual es cero, ya que no hay otras fuentes de fuerza electrostática contra las cuales un agente externo deba trabajar para mover la carga puntual desde el infinito hasta su ubicación final.

Surge una pregunta común sobre la interacción de una carga puntual con su propio potencial electrostático. Dado que esta interacción no actúa para mover la carga puntual en sí, no contribuye a la energía almacenada del sistema.

Energía almacenada en un sistema de dos cargas puntuales.

Considere llevar una carga puntual, q , a su posición final cerca de una carga puntual _, Q1 . El potencial eléctrico V( r ) debido a Q ₁ es

$${\displaystyle V(\mathbf {r} )=k_{e}{\frac {Q_{1}}{r}}}$$

Por lo tanto obtenemos, la energía potencial electrostática de q en el potencial de Q ₁ como

$${\displaystyle U_{E}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ_{1}}{r_{1}}}}$$

r ₁

Energía almacenada en un sistema de tres cargas puntuales.

La energía potencial electrostática de un sistema de tres cargas no debe confundirse con la energía potencial electrostática de Q ₁ debida a dos cargas Q ₂ y Q ₃ , porque esta última no incluye la energía potencial electrostática del sistema de las dos cargas. Pregunta ₂ y Pregunta ₃ .

La energía potencial electrostática almacenada en el sistema de tres cargas es:

$${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}\right]}$$

Esquema de la prueba

Utilizando la fórmula dada en ( 1 ), la energía potencial electrostática del sistema de las tres cargas será entonces:

$${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}\left[Q_{1}V(\mathbf {r} _{1})+Q_{2}V(\mathbf {r} _{2})+Q_{3}V(\mathbf {r} _{3})\right]}$$

¿Dónde está el potencial eléctrico en r ₁ creado por las cargas Q ₂ y Q ₃ , es el potencial eléctrico en r ₂ creado por las cargas Q ₁ y Q ₃ , y es el potencial eléctrico en r ₃ creado por las cargas Q ₁ y Q ₂ ? Los potenciales son: ${\displaystyle V(\mathbf {r} _{1})}$ ${\displaystyle V(\mathbf {r} _{2})}$ ${\displaystyle V(\mathbf {r} _{3})}$

$${\displaystyle V(\mathbf {r} _{1})=V_{2}(\mathbf {r} _{1})+V_{3}(\mathbf {r} _{1})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{3}}{r_{13}}}}$$

$${\displaystyle V(\mathbf {r} _{2})=V_{1}(\mathbf {r} _{2})+V_{3}(\mathbf {r} _{2})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}}{r_{21}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{3}}{r_{23}}}}$$

$${\displaystyle V(\mathbf {r} _{3})=V_{1}(\mathbf {r} _{3})+V_{2}(\mathbf {r} _{3})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}}{r_{31}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{2}}{r_{32}}}}$$

Donde r _ij es la distancia entre la _carga Qi y Q _j .

Si sumamos todo:

$${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{1}}{r_{21}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}+{\frac {Q_{3}Q_{1}}{r_{31}}}+{\frac {Q_{3}Q_{2}}{r_{32}}}\right]}$$

Finalmente, obtenemos que la energía potencial electrostática almacenada en el sistema de tres cargas:

$${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}\right]}$$

Energía almacenada en un campo electrostático distribuido en el vacío.

La densidad de energía, o energía por unidad de volumen, del campo electrostático de una distribución de carga continua es: ${\textstyle {\frac {dU}{dV}}}$

$${\displaystyle u_{e}={\frac {dU}{dV}}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left|{\mathbf {E} }\right|^{2}.}$$

Esquema de la prueba

Se puede tomar la ecuación de la energía potencial electrostática de una distribución de carga continua y expresarla en términos del campo electrostático .

Dado que la ley de Gauss para el campo electrostático en estados de forma diferencial

$${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$$

dónde

• ${\displaystyle \mathbf {E} }$es el vector del campo eléctrico
• ${\displaystyle \rho }$es la densidad de carga total, incluidas las cargas dipolares unidas en un material
• ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$es la permitividad del espacio libre ,

entonces,

$${\displaystyle {\begin{aligned}U&={\frac {1}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\rho (r)\Phi (r)\,dV\\&={\frac {1}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\varepsilon _{0}(\mathbf {\nabla } \cdot {\mathbf {E} })\Phi \,dV\end{aligned}}}$$

entonces, ahora usando la siguiente identidad del vector de divergencia

$${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} {B})=(\nabla \cdot \mathbf {A} ){B}+\mathbf {A} \cdot (\nabla {B})\Rightarrow (\nabla \cdot \mathbf {A} ){B}=\nabla \cdot (\mathbf {A} {B})-\mathbf {A} \cdot (\nabla {B})}$$

tenemos

$${\displaystyle U={\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {E} \Phi )dV-{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}(\mathbf {\nabla } \Phi )\cdot \mathbf {E} dV}$$

usando el teorema de la divergencia y tomando el área en el infinito donde ${\displaystyle \Phi (\infty )=0}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}U&=\overbrace {{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{{}_{\text{ of space}}^{\text{boundary}}}\Phi \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} } ^{0}-{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}(-\mathbf {E} )\cdot \mathbf {E} \,dV\\&=\int \limits _{\text{all space}}{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left|{\mathbf {E} }\right|^{2}\,dV.\end{aligned}}}$$

Entonces, la densidad de energía, o energía por unidad de volumen del campo electrostático , es: ${\textstyle {\frac {dU}{dV}}}$

$${\displaystyle u_{e}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left|{\mathbf {E} }\right|^{2}.}$$

Energía almacenada en elementos electrónicos.

La energía potencial eléctrica almacenada en un capacitor es U _E =1/2currículum ²

Algunos elementos de un circuito pueden convertir energía de una forma a otra. Por ejemplo, una resistencia convierte la energía eléctrica en calor. Esto se conoce como efecto Joule . Un condensador lo almacena en su campo eléctrico. La energía potencial electrostática total almacenada en un capacitor está dada por

$${\displaystyle U_{E}={\frac {1}{2}}QV={\frac {1}{2}}CV^{2}={\frac {Q^{2}}{2C}}}$$

CcapacitanciaVde potencial eléctricoQcarga

Esquema de la prueba

Se pueden ensamblar cargas en un capacitor en incrementos infinitesimales, de modo que la cantidad de trabajo realizado para ensamblar cada incremento en su ubicación final se puede expresar como ${\displaystyle dq\to 0}$

$${\displaystyle W_{q}=V\,dq={\frac {q}{C}}dq.}$$

El trabajo total realizado para cargar completamente el capacitor de esta manera es entonces

$${\displaystyle W=\int dW=\int _{0}^{Q}V\,dq={\frac {1}{C}}\int _{0}^{Q}q\,dq={\frac {Q^{2}}{2C}}.}$$

¿Dónde está la carga total del capacitor? Este trabajo se almacena como energía potencial electrostática, por lo tanto, ${\displaystyle Q}$

$${\displaystyle W=U_{E}={\frac {Q^{2}}{2C}}.}$$

En particular, esta expresión sólo es válida si , lo que es válido para sistemas de muchas cargas, como condensadores grandes que tienen electrodos metálicos. Para sistemas de pocas cargas, la naturaleza discreta de la carga es importante. La energía total almacenada en un condensador de pocas cargas es ${\displaystyle dq\to 0}$

$${\displaystyle U_{E}={\frac {Q^{2}}{2C}}}$$

que se obtiene mediante un método de ensamblaje de carga utilizando el incremento de carga física más pequeño, donde es la unidad elemental de carga y donde es el número total de cargas en el capacitor. ${\displaystyle \Delta q=e}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle Q=Ne}$ ${\displaystyle N}$

La energía potencial electrostática total también se puede expresar en términos del campo eléctrico en la forma

$${\displaystyle U_{E}={\frac {1}{2}}\int _{V}\mathrm {E} \cdot \mathrm {D} \,dV}$$

donde es el campo de desplazamiento eléctrico dentro de un material dieléctrico y la integración es sobre todo el volumen del dieléctrico. ${\displaystyle \mathrm {D} }$

(Un experimento virtual basado en la transferencia de energía entre placas de condensadores revela que se debe tener en cuenta un término adicional cuando la energía electrostática se expresa en términos del campo eléctrico y el vector de desplazamiento s ^[3] .

Si bien esta energía adicional se cancela cuando se trata de aisladores, en general no se puede ignorar, como por ejemplo con los semiconductores).

La energía potencial electrostática total almacenada dentro de un dieléctrico cargado también se puede expresar en términos de una carga volumétrica continua . ${\displaystyle \rho }$

$${\displaystyle U_{E}={\frac {1}{2}}\int _{V}\rho \Phi \,dV}$$

Estas dos últimas expresiones son válidas sólo para los casos en los que el incremento más pequeño de carga es cero ( ), como en los dieléctricos en presencia de electrodos metálicos o en los dieléctricos que contienen muchas cargas. ${\displaystyle dq\to 0}$

Notas

1. Generalmente se considera que el cero de referencia es un estado en el que las cargas puntuales individuales están muy bien separadas ("están en una separación infinita") y están en reposo.
2. El factor de la mitad representa el "doble conteo" de pares de cargas. Por ejemplo, consideremos el caso de sólo dos cargos.

Referencias

1. Electromagnetismo (segunda edición), IS Grant, WR Phillips, Manchester Physics Series, 2008 ISBN  0-471-92712-0
2. Halliday, David; Resnick, Robert; Walker, Jearl (1997). "Potencial eléctrico". Fundamentos de Física (5ª ed.). John Wiley e hijos . ISBN 0-471-10559-7.
3. Sallese (1 de junio de 2016). "Un nuevo componente de la energía electrostática en semiconductores". La revista física europea B. 89 (6): 136. arXiv : 1510.06708 . doi : 10.1140/epjb/e2016-60865-4 . ISSN  1434-6036. S2CID  120731496.

enlaces externos

• Medios relacionados con la energía potencial eléctrica en Wikimedia Commons