El concepto de masa en la relatividad general (RG) es más sutil de definir que el concepto de masa en la relatividad especial . De hecho, la relatividad general no ofrece una única definición del término masa, sino varias definiciones diferentes que son aplicables en diferentes circunstancias. En algunas circunstancias, la masa de un sistema en la relatividad general puede ni siquiera estar definida.
La razón de esta sutileza es que la energía y el momento en el campo gravitatorio no pueden localizarse de forma inequívoca. (Véase el Capítulo 20 de [1] .) Por tanto, las definiciones rigurosas de la masa en la relatividad general no son locales, como en la mecánica clásica o la relatividad especial, sino que hacen referencia a la naturaleza asintótica del espacio-tiempo. Existe una noción bien definida de la masa para los espacio-tiempos asintóticamente planos y para los espacios asintóticamente anti-de Sitter . Sin embargo, estas definiciones deben utilizarse con cuidado en otros contextos.
En la relatividad especial, la masa en reposo de una partícula se puede definir de forma inequívoca en términos de su energía y momento, como se describe en el artículo sobre la masa en la relatividad especial . Sin embargo, la generalización de la noción de energía y momento a la relatividad general es sutil. La razón principal para esto es que el propio campo gravitacional contribuye a la energía y el momento. Sin embargo, la "energía del campo gravitacional" no es parte del tensor de energía-momento; en cambio, lo que podría identificarse como la contribución del campo gravitacional a una energía total es parte del tensor de Einstein en el otro lado de la ecuación de Einstein (y, como tal, una consecuencia de la no linealidad de estas ecuaciones). Si bien en ciertas situaciones es posible reescribir las ecuaciones de modo que parte de la "energía gravitacional" ahora se encuentre junto a los otros términos fuente en la forma del pseudotensor de tensión-energía-momento , esta separación no es cierta para todos los observadores y no existe una definición general para obtenerla. [2]
¿Cómo, entonces, se define un concepto como la masa total de un sistema, que se define fácilmente en la mecánica clásica? Como resulta, al menos para los espacio-tiempos que son asintóticamente planos (en términos generales, que representan algún sistema gravitacional aislado en un espacio infinito vacío y libre de gravedad), la división ADM 3+1 conduce a una solución: como en el formalismo hamiltoniano habitual , la dirección del tiempo utilizada en esa división tiene una energía asociada, que puede integrarse para producir una cantidad global conocida como la masa ADM (o, equivalentemente, energía ADM). [3] Alternativamente, existe la posibilidad de definir la masa para un espacio-tiempo que es estacionario , en otras palabras, uno que tiene un campo vectorial de Killing similar al tiempo (que, como campo generador de tiempo, es canónicamente conjugado con la energía); el resultado es la llamada masa de Komar [4] [5] Aunque se define de una manera totalmente diferente, se puede demostrar que es equivalente a la masa ADM para los espacio-tiempos estacionarios. [6] La definición integral de Komar también puede generalizarse a campos no estacionarios para los cuales existe al menos una simetría de traslación temporal asintótica ; imponiendo una cierta condición de calibración, se puede definir la energía de Bondi en el infinito nulo. En cierto modo, la energía ADM mide toda la energía contenida en el espacio-tiempo, mientras que la energía de Bondi excluye aquellas partes transportadas por las ondas gravitacionales al infinito. [5] Se ha dedicado un gran esfuerzo a demostrar teoremas de positividad para las masas que acabamos de definir, sobre todo porque la positividad, o al menos la existencia de un límite inferior, tiene relación con la cuestión más fundamental de la acotación desde abajo: si no hubiera un límite inferior para la energía, entonces ningún sistema aislado sería absolutamente estable; siempre existiría la posibilidad de una desintegración a un estado de energía total aún menor. Existen varios tipos de pruebas de que tanto la masa ADM como la masa de Bondi son de hecho positivas; en particular, esto significa que el espacio de Minkowski (para el cual ambas son cero) es de hecho estable. [7] Aunque aquí el foco ha estado en la energía, existen definiciones análogas para el momento global; dado un campo de vectores angulares de Killing y siguiendo la técnica de Komar, también se puede definir el momento angular global. [8]
La desventaja de todas las definiciones mencionadas hasta ahora es que se definen solo en el infinito (nulo o espacial); desde la década de 1970, los físicos y matemáticos han trabajado en el esfuerzo más ambicioso de definir cantidades cuasi locales adecuadas , como la masa de un sistema aislado definido utilizando solo cantidades definidas dentro de una región finita del espacio que contiene ese sistema. Sin embargo, si bien existe una variedad de definiciones propuestas, como la energía de Hawking , la energía de Geroch o la energía-momento cuasi local de Penrose basada en métodos twistores , el campo aún está en flujo. Eventualmente, la esperanza es usar una masa cuasi local definida adecuada para dar una formulación más precisa de la conjetura del aro , probar la llamada desigualdad de Penrose para los agujeros negros (relacionando la masa del agujero negro con el área del horizonte) y encontrar una versión cuasi local de las leyes de la mecánica de los agujeros negros. [9]
Una definición no técnica de un espacio-tiempo estacionario es un espacio-tiempo en el que ninguno de los coeficientes métricos es función del tiempo. La métrica de Schwarzschild de un agujero negro y la métrica de Kerr de un agujero negro en rotación son ejemplos comunes de espacio-tiempo estacionario.
Por definición, un espacio-tiempo estacionario exhibe simetría de traslación temporal . Esto se denomina técnicamente un vector de Killing similar al tiempo . Debido a que el sistema tiene una simetría de traslación temporal, el teorema de Noether garantiza que tiene una energía conservada. Debido a que un sistema estacionario también tiene un marco de reposo bien definido en el que su momento puede considerarse cero, definir la energía del sistema también define su masa. En relatividad general, esta masa se denomina masa de Komar del sistema. La masa de Komar solo se puede definir para sistemas estacionarios.
La masa de Komar también se puede definir mediante una integral de flujo. Esto es similar a la forma en que la ley de Gauss define la carga encerrada por una superficie como la fuerza eléctrica normal multiplicada por el área. Sin embargo, la integral de flujo utilizada para definir la masa de Komar es ligeramente diferente de la utilizada para definir el campo eléctrico: la fuerza normal no es la fuerza real, sino la "fuerza en el infinito". Consulte el artículo principal para obtener más detalles.
De las dos definiciones, la descripción de la masa de Komar en términos de simetría de traslación temporal proporciona la visión más profunda.
Si un sistema que contiene fuentes gravitacionales está rodeado por una región de vacío infinita, la geometría del espacio-tiempo tenderá a aproximarse a la geometría plana de Minkowski de la relatividad especial en el infinito. Estos espacios-tiempos se conocen como espacios-tiempos "asintóticamente planos".
Para sistemas en los que el espacio-tiempo es asintóticamente plano , se pueden definir la energía, el momento y la masa de ADM y Bondi. En términos del teorema de Noether, la energía, el momento y la masa de ADM se definen por las simetrías asintóticas en el infinito espacial , y la energía, el momento y la masa de Bondi se definen por las simetrías asintóticas en el infinito nulo . Nótese que la masa se calcula como la longitud del cuatrivector de energía-momento , que puede considerarse como la energía y el momento del sistema "en el infinito".
La energía ADM se define a través de la siguiente integral de flujo en el infinito. [1] Si un espacio-tiempo es asintóticamente plano, esto significa que cerca del "infinito" la métrica tiende a la del espacio plano. Las desviaciones asintóticas de la métrica que se alejan del espacio plano se pueden parametrizar mediante
donde es la métrica del espacio plano. La energía ADM se obtiene entonces mediante una integral sobre una superficie, en el infinito.
donde es la normal que apunta hacia afuera a . Se asume la convención de suma de Einstein para índices repetidos, pero la suma sobre k y j solo se ejecuta sobre las direcciones espaciales. El uso de derivadas ordinarias en lugar de derivadas covariantes en la fórmula anterior se justifica debido a la suposición de que la geometría asintótica es plana.
Se puede obtener cierta intuición de la fórmula anterior de la siguiente manera. Imaginemos que tomamos la superficie, S, como una superficie esférica de modo que la normal apunta radialmente hacia afuera. A grandes distancias de la fuente de energía, r, se espera que el tensor disminuya como y la derivada con respecto a r lo convierte en . El área de la esfera en un radio grande también crece precisamente como y, por lo tanto, se obtiene un valor finito para la energía.
También es posible obtener expresiones para el momento en un espacio-tiempo asintóticamente plano. Para obtener dicha expresión se define
dónde
Entonces el momento se obtiene mediante una integral de flujo en la región asintóticamente plana.
Nótese que la expresión obtenida de la fórmula anterior coincide con la expresión para la energía ADM dada anteriormente, como se puede comprobar fácilmente utilizando la expresión explícita para H.
En el límite newtoniano, para sistemas cuasiestáticos en espacios-tiempos casi planos, se puede aproximar la energía total del sistema sumando los componentes no gravitacionales de la energía del sistema y luego restando la energía de enlace gravitacional newtoniana .
Traduciendo la afirmación anterior al lenguaje de la relatividad general, decimos que un sistema en un espacio-tiempo casi plano tiene una energía no gravitacional total E y un momento P dados por:
Cuando los componentes del vector de momento del sistema son cero, es decir, P i = 0, la masa aproximada del sistema es simplemente (E+E de enlace )/c 2 , siendo E de enlace un número negativo que representa la energía de autoenlace gravitacional newtoniana.
Por lo tanto, cuando se supone que el sistema es cuasiestático, se supone que no hay energía significativa presente en forma de "ondas gravitacionales". Cuando se supone que el sistema está en un espacio-tiempo "casi plano", se supone que los coeficientes métricos son esencialmente minkowskianos dentro de un margen de error experimental aceptable.
Se puede observar que las fórmulas para la energía total y el momento surgen naturalmente en este límite de la siguiente manera. [1] En el límite linealizado, las ecuaciones de la relatividad general se pueden escribir en la forma
En este límite, el momento-energía total del sistema se da simplemente integrando el tensor de tensión en una porción espacial.
Pero usando las ecuaciones de movimiento, también se puede escribir esto como
donde la suma sobre j se aplica únicamente a las direcciones espaciales y la segunda igualdad utiliza el hecho de que es antisimétrica en y . Finalmente, se utiliza la ley de Gauss para convertir la integral de una divergencia sobre la porción espacial en una integral sobre una esfera gaussiana
lo que coincide precisamente con la fórmula para el momento total dada anteriormente.
En 1918, David Hilbert escribió sobre la dificultad de asignar una energía a un "campo" y "el fracaso del teorema de la energía" en una correspondencia con Klein . En esta carta, Hilbert conjeturaba que este fracaso es un rasgo característico de la teoría general y que en lugar de "teoremas de energía propios" había "teoremas de energía impropios".
Esta conjetura fue rápidamente demostrada como correcta por uno de los colaboradores cercanos de Hilbert, Emmy Noether . El teorema de Noether se aplica a cualquier sistema que pueda ser descrito por un principio de acción . El teorema de Noether asocia energías conservadas con simetrías de traslación temporal. Cuando la simetría de traslación temporal es un grupo continuo de parámetros finitos , como el grupo de Poincaré , el teorema de Noether define una energía conservada escalar para el sistema en cuestión. Sin embargo, cuando la simetría es un grupo continuo de parámetros infinitos, no se garantiza la existencia de una energía conservada. De manera similar, el teorema de Noether asocia momentos conservados con traslaciones espaciales, cuando el grupo de simetría de las traslaciones es de dimensión finita. Debido a que la Relatividad General es una teoría invariante al difeomorfismo , tiene un grupo continuo infinito de simetrías en lugar de un grupo de simetrías de parámetros finitos y, por lo tanto, tiene la estructura de grupo incorrecta para garantizar una energía conservada. El teorema de Noether ha influido en la inspiración y unificación de varias ideas sobre masa, energía del sistema y momento del sistema en la relatividad general.
Un ejemplo de la aplicación del teorema de Noether es el de los espacios-tiempos estacionarios y su masa de Komar asociada (Komar 1959). Mientras que los espacios-tiempos generales carecen de una simetría de traslación temporal de parámetros finitos, los espacios-tiempos estacionarios tienen dicha simetría, conocida como vector de Killing . El teorema de Noether demuestra que dichos espacios-tiempos estacionarios deben tener asociada una energía conservada. Esta energía conservada define una masa conservada, la masa de Komar.
La masa ADM se introdujo (Arnowitt et al., 1960) a partir de una formulación de valor inicial de la relatividad general. Posteriormente, varios autores la reformularon en términos del grupo de simetrías asintóticas en el infinito espacial, el grupo SPI (Held, 1980). Esta reformulación contribuyó en gran medida a aclarar la teoría, incluida la explicación de por qué el momento y la energía ADM se transforman como un vector de 4 (Held, 1980). Obsérvese que el grupo SPI es en realidad de dimensión infinita. La existencia de cantidades conservadas se debe a que el grupo SPI de "supertraslaciones" tiene un subgrupo preferido de 4 parámetros de traslaciones "puras", que, según el teorema de Noether, genera una energía-momento de 4 parámetros conservada. La norma de esta energía-momento de 4 parámetros es la masa ADM.
La masa de Bondi se introdujo (Bondi, 1962) en un artículo que estudiaba la pérdida de masa de los sistemas físicos a través de la radiación gravitacional. La masa de Bondi también está asociada con un grupo de simetrías asintóticas, el grupo BMS en el infinito nulo. Al igual que el grupo SPI en el infinito espacial, el grupo BMS en el infinito nulo es de dimensión infinita y también tiene un subgrupo preferido de 4 parámetros de traslaciones "puras".
Otro enfoque para el problema de la energía en la Relatividad General es el uso de pseudotensores como el pseudotensor de Landau-Lifshitz (Landau y Lifshitz, 1962). Los pseudotensores no son invariantes respecto de la norma; por ello, solo dan respuestas consistentes e independientes de la norma para la energía total cuando se cumplen restricciones adicionales (como la planicidad asintótica). La dependencia de la norma de los pseudotensores también impide cualquier definición independiente de la norma de la densidad de energía local, ya que cada elección de norma diferente da como resultado una densidad de energía local diferente.
