Tres en raya

Juego de papel y lápiz para dos jugadores.

Tres en raya ( inglés americano ), tres en raya ( inglés de la Commonwealth ) o X y O ( inglés canadiense o irlandés ) es un juego de papel y lápiz para dos jugadores que se turnan para marcar los espacios en una cuadrícula de tres por tres con X u O. El jugador que logra colocar tres de sus marcas en una fila horizontal, vertical o diagonal es el ganador. Es un juego resuelto , con un empate forzado asumiendo la mejor jugada de ambos jugadores.

Nombres

En inglés americano , el juego se conoce como "tic-tac-toe". También se puede escribir "tic-tack-toe", "tick-tat-toe" o "tit-tat-toe". ^{[1] [2]}

En inglés de la Commonwealth (particularmente en inglés británico , sudafricano , indio , australiano y neozelandés ), el juego se conoce como "noughts and crosses", que también se escribe "naughts and crosses". Este nombre deriva de la forma de las marcas del juego (es decir, la X y la O); "nought" es otro nombre para el número cero , mientras que "cross" se refiere a la forma de X.

A veces, el tres en raya (en el que los jugadores van añadiendo "piezas") y el juego morris de tres hombres (en el que las piezas empiezan a moverse después de que se ha colocado una cierta cantidad) se confunden entre sí.

Jugabilidad

El tres en raya se juega en una cuadrícula de tres por tres entre dos jugadores, que colocan alternativamente las marcas X y O en uno de los nueve espacios de la cuadrícula.

En el siguiente ejemplo, el primer jugador ( X ) gana el juego en siete pasos:

Juego de tres en raya, ganado por X

No existe una regla universalmente aceptada sobre quién juega primero, pero en este artículo se utiliza la convención de que X juega primero.

Los jugadores pronto descubren que la mejor jugada de ambas partes conduce al empate . Por lo tanto, el tres en raya suele ser jugado por niños pequeños que tal vez no hayan descubierto la estrategia óptima.

Debido a la simplicidad del tres en raya, se utiliza a menudo como herramienta pedagógica para enseñar los conceptos de buen espíritu deportivo y la rama de la inteligencia artificial que se ocupa de la búsqueda de árboles de juego . Es sencillo escribir un programa informático para jugar al tres en raya a la perfección o enumerar las 765 posiciones esencialmente diferentes (la complejidad del espacio de estados ) o los 26.830 juegos posibles hasta rotaciones y reflexiones (la complejidad del árbol de juego ) en este espacio. ^[3] Si ambos jugadores juegan de forma óptima, el juego siempre termina en empate, lo que convierte al tres en raya en un juego inútil . ^[4]

Estructura de incidencia del tres en raya

El juego se puede generalizar a un juego m , n , k , en el que dos jugadores alternan la colocación de piedras de su propio color en un tablero m por n con el objetivo de obtener k de su propio color en una fila. El tres en raya es el juego 3,3,3. ^[5] El tres en raya generalizado de Harary es una generalización aún más amplia del tres en raya. También se puede generalizar como un juego n d , específicamente uno en el que n = 3 y d = 2. ^[6] Se puede generalizar aún más jugando en una estructura de incidencia arbitraria , donde las filas son líneas y las celdas son puntos . La estructura de incidencia del tres en raya consta de nueve puntos, tres líneas horizontales, tres líneas verticales y dos líneas diagonales, y cada línea consta de al menos tres puntos.

Historia

Los juegos que se juegan en tableros de tres en raya se remontan al antiguo Egipto , ^[7] donde se han encontrado tableros de este tipo en tejas que datan de alrededor de 1300 a. C. ^[8]

Una variante temprana del tres en raya se jugaba en el Imperio romano , alrededor del siglo I a. C. Se llamaba terni lapilli ( tres piedras a la vez ) y, en lugar de tener cualquier número de piezas, cada jugador tenía solo tres; por lo tanto, tenían que moverlas a espacios vacíos para seguir jugando. ^[9] Las marcas de la cuadrícula del juego se han encontrado escritas con tiza por toda Roma. Otro juego antiguo estrechamente relacionado es el tres en raya , que también se juega en una cuadrícula simple y requiere tres piezas en fila para terminar, ^[10] y la picaria , un juego de los indios Puebloans .

Los diferentes nombres del juego son más recientes. La primera referencia impresa a "tres en raya" ( nought es una palabra alternativa para "cero"), el nombre británico, apareció en 1858, en un número de Notes and Queries . ^[11] La primera referencia impresa a un juego llamado "tick-tack-toe" ocurrió en 1884, pero se refería a "un juego de niños jugado en una pizarra, que consiste en intentar con los ojos cerrados hacer caer el lápiz sobre uno de los números de un conjunto, siendo puntuado el número acertado". ^{[ Esta cita necesita una cita ]} "Tic-tac-toe" también puede derivar de "tick-tack", el nombre de una antigua versión del backgammon descrita por primera vez en 1558. El cambio de nombre estadounidense de "tres en raya" a "tic-tac-toe" ocurrió en el siglo XX. ^[12]

En 1952, OXO (o Noughts and Crosses ), desarrollado por el informático británico Sandy Douglas para el ordenador EDSAC de la Universidad de Cambridge , se convirtió en uno de los primeros videojuegos conocidos. ^{[13] [14]} El jugador de ordenador podía jugar partidas perfectas de tres en raya contra un oponente humano. ^[13]

En 1975, los estudiantes del MIT también utilizaron el tres en raya para demostrar la potencia computacional de los elementos de Tinkertoy . El ordenador Tinkertoy, hecho (casi) exclusivamente con Tinkertoys, es capaz de jugar al tres en raya a la perfección. ^[15] Actualmente se exhibe en el Museo de Historia de la Computación . ^[16]

Combinatoria

Si se considera únicamente el estado del tablero y después de tener en cuenta las simetrías del mismo (es decir, las rotaciones y las reflexiones), sólo hay 138 posiciones de terminales en el tablero. Un estudio combinatorio del juego muestra que cuando "X" realiza el primer movimiento cada vez, los resultados del juego son los siguientes: ^[17]

• 91 posiciones distintas son ganadas por (X)
• 44 posiciones distintas son ganadas por (O)
• Se dibujan 3 posiciones distintas (a menudo llamado "juego del gato" ^[18] )

Estrategia

Estrategia óptima para el jugador X si comienza en la esquina superior izquierda. En cada cuadrícula, la X roja sombreada indica el movimiento óptimo y la ubicación del siguiente movimiento de O indica el siguiente subcuadrículo a examinar. Solo dos secuencias de movimientos de O (ambas comenzando en el centro, arriba a la derecha, izquierda en el medio) conducen a un empate, y las secuencias restantes conducen a victorias de X.

Estrategia óptima para el jugador O. El jugador O sólo puede forzar una victoria o un empate si juega primero en el centro.

Un jugador puede jugar un juego perfecto de tres en raya (para ganar o al menos empatar) si, cada vez que es su turno de jugar, elige el primer movimiento disponible de la siguiente lista, tal como se utilizó en el programa de tres en raya de Newell y Simon de 1972. ^[19]

1. Ganar: Si el jugador tiene dos en fila, puede colocar un tercero para obtener tres en fila.
2. Bloqueo: Si el oponente tiene dos seguidos, el jugador debe jugar el tercero él mismo para bloquear al oponente.
3. Bifurcación: Provoca un escenario en el que el jugador tiene dos formas de ganar (dos líneas de 2 no bloqueadas).
4. Bloqueo de un tenedor del oponente: si solo hay un tenedor posible para el oponente, el jugador debe bloquearlo. De lo contrario, el jugador debe bloquear todos los tenedores de cualquier manera que le permita hacer dos en fila simultáneamente. De lo contrario, el jugador debe hacer dos en fila para obligar al oponente a defenderse, siempre que no resulte en que produzca un tenedor. Por ejemplo, si "X" tiene dos esquinas opuestas y "O" tiene el centro, "O" no debe realizar un movimiento de esquina para ganar. (Jugar un movimiento de esquina en este escenario produce un tenedor para que "X" gane).
5. Centro: Un jugador marca el centro. (Si es el primer movimiento del juego, realizar un movimiento de esquina le da al segundo jugador más oportunidades de cometer un error y, por lo tanto, puede ser la mejor opción; sin embargo, no hay diferencia entre jugadores perfectos).
6. Esquina opuesta: si el oponente está en la esquina, el jugador juega en la esquina opuesta.
7. Esquina vacía: El jugador juega en una casilla de esquina.
8. Lado vacío: El jugador juega en una casilla central en cualquiera de los cuatro lados.

El primer jugador, que será designado como "X", tiene tres posibles posiciones estratégicamente distintas para marcar durante el primer turno. Superficialmente, podría parecer que hay nueve posiciones posibles, correspondientes a los nueve cuadrados de la cuadrícula. Sin embargo, al girar el tablero, veremos que, en el primer turno, cada marca de esquina es estratégicamente equivalente a cada otra marca de esquina. Lo mismo sucede con cada marca de borde (centro lateral). Desde un punto de vista estratégico, por lo tanto, solo hay tres posibles primeras marcas: esquina, borde o centro. El jugador X puede ganar o forzar un empate desde cualquiera de estas marcas iniciales; sin embargo, jugar en la esquina le da al oponente la menor elección de cuadrados que debe jugar para evitar perder. ^[20] Esto podría sugerir que la esquina es el mejor movimiento de apertura para X, sin embargo, otro estudio ^[21] muestra que si los jugadores no son perfectos, un movimiento de apertura en el centro es mejor para X.

El segundo jugador, que se designará como "O", debe responder a la marca de apertura de X de tal manera que evite la victoria forzada. El jugador O siempre debe responder a una apertura de esquina con una marca central y a una apertura de centro con una marca de esquina. Una apertura de borde debe responderse con una marca central, una marca de esquina junto a la X o una marca de borde opuesta a la X. Cualquier otra respuesta permitirá a X forzar la victoria. Una vez que se completa la apertura, la tarea de O es seguir la lista de prioridades anterior para forzar el empate o, de lo contrario, obtener una victoria si X hace una jugada débil.

Más detalladamente, para garantizar el empate, O debería adoptar las siguientes estrategias:

• Si X juega un movimiento de apertura de esquina, O debe tomar el centro y luego un borde, forzando a X a bloquear en el siguiente movimiento. Esto evitará que se produzcan bifurcaciones. Cuando tanto X como O son jugadores perfectos y X elige comenzar marcando una esquina, O toma el centro y X toma la esquina opuesta a la original. En ese caso, O es libre de elegir cualquier borde como su segundo movimiento. Sin embargo, si X no es un jugador perfecto y ha jugado una esquina y luego un borde, O no debe jugar el borde opuesto como su segundo movimiento, porque entonces X no está obligado a bloquear en el siguiente movimiento y puede bifurcar.
• Si X juega un movimiento de apertura de borde, O debe tomar el centro o una de las esquinas adyacentes a X y luego seguir la lista de prioridades anterior, prestando atención principalmente a las bifurcaciones de bloqueo. Con un juego perfecto, O también puede forzar un empate tomando el borde opuesto a X.
• Si X juega el movimiento de apertura central, O debería tomar una esquina y luego seguir la lista de prioridades anterior, prestando atención principalmente a los bloqueos.

Cuando X juega primero en la esquina y O no es un jugador perfecto, puede ocurrir lo siguiente:

• Si O responde con una marca en el centro (su mejor movimiento), un jugador X perfecto tomará la esquina opuesta a la original. Luego, O debería jugar un borde. Sin embargo, si O juega una esquina como su segundo movimiento, un jugador X perfecto marcará la esquina restante, bloqueando el 3 en raya de O y haciendo su propia bifurcación.
• Si O responde marcando una esquina, X tiene la victoria asegurada. Si toma cualquiera de las otras dos esquinas, O solo puede tomar la posición entre las dos X, luego, si toma la esquina restante para crear una bifurcación, X ganará en el siguiente movimiento.
• Si O responde con una marca de borde, X tiene la victoria asegurada. Al tomar el centro, O solo puede tomar la esquina opuesta a la esquina que X juega primero, luego, al tomar una esquina para crear una bifurcación, X ganará en el siguiente movimiento.

Más detalles

Consideremos un tablero con las nueve posiciones numeradas de la siguiente manera:

Cuando X juega 1 como movimiento inicial, entonces O debería tomar 5. Luego X toma 9 (en esta situación, O no debería tomar 3 o 7, O debería tomar 2, 4, 6 u 8):

• X1 → O5 → X9 → O2 → X8 → O7 → X3 → O6 → X4, este juego será un empate.

o 6 (en esta situación, O no debería tomar 4 o 7, O debería tomar 2, 3, 8 o 9. De hecho, tomar 9 es el mejor movimiento, ya que un jugador no perfecto X puede tomar 4, luego O puede tomar 7 para ganar).

• X1 → O5 → X6 → O2 → X8, entonces O no debería tomar 3, o X puede tomar 7 para ganar, y O no debería tomar 4, o X puede tomar 9 para ganar, O debería tomar 7 o 9.
  • X1 → O5 → X6 → O2 → X8 → O7 → X3 → O9 → X4, este juego será un empate.
  • X1 → O5 → X6 → O2 → X8 → O9 → X4 (7) → O7 (4) → X3, este juego será un empate.
• X1 → O5 → X6 → O3 → X7 → O4 → X8 (9) → O9 (8) → X2, este juego será un empate.
• X1 → O5 → X6 → O8 → X2 → O3 → X7 → O4 → X9, este juego será un empate.
• X1 → O5 → X6 → O9, entonces X no debería tomar 4, o bien O puede tomar 7 para ganar, X debería tomar 2, 3, 7 u 8.
  • X1 → O5 → X6 → O9 → X2 → O3 → X7 → O4 → X8, este juego será un empate.
  • X1 → O5 → X6 → O9 → X3 → O2 → X8 → O4 (7) → X7 (4), este juego será un empate.
  • X1 → O5 → X6 → O9 → X7 → O4 → X2 (3) → O3 (2) → X8, este juego será un empate.
  • X1 → O5 → X6 → O9 → X8 → O2 (3, 4, 7) → X4/7 (4/7, 2/3, 2/3) → O7/4 (7/4, 3/2, 3/2) → X3 (2, 7, 4), este juego será un empate.

En ambas situaciones (X toma 9 o 6 como segundo movimiento), X tiene una ⁠1/3⁠ propiedad para ganar.

Si X no es un jugador perfecto, puede hacer 2 o 3 como segundo movimiento. En ese caso, la partida terminará en tablas y X no podrá ganar.

• X1 → O5 → X2 → O3 → X7 → O4 → X6 → O8 (9) → X9 (8), este juego será un empate.
• X1 → O5 → X3 → O2 → X8 → O4 (6) → X6 (4) → O9 (7) → X7 (9), este juego será un empate.

Si X juega 1 movimiento de apertura y O no es un jugador perfecto, puede suceder lo siguiente:

Aunque O toma la única posición buena (5) como primer movimiento, O toma una mala posición como segundo movimiento:

• X1 → O5 → X9 → O3 → X7, entonces X puede tomar 4 u 8 para ganar.
• X1 → O5 → X6 → O4 → X3, entonces X puede tomar 7 o 9 para ganar.
• X1 → O5 → X6 → O7 → X3, entonces X puede tomar 2 o 9 para ganar.

Aunque O toma buenas posiciones en los dos primeros movimientos, O toma una mala posición en el tercer movimiento:

• X1 → O5 → X6 → O2 → X8 → O3 → X7, entonces X puede tomar 4 o 9 para ganar.
• X1 → O5 → X6 → O2 → X8 → O4 → X9, entonces X puede tomar 3 o 7 para ganar.

O toma una mala posición como primer movimiento (excepto 5, todas las demás posiciones son malas):

• X1 → O3 → X7 → O4 → X9, entonces X puede tomar 5 u 8 para ganar.
• X1 → O9 → X3 → O2 → X7, entonces X puede tomar 4 o 5 para ganar.
• X1 → O2 → X5 → O9 → X7, entonces X puede tomar 3 o 4 para ganar.
• X1 → O6 → X5 → O9 → X3, entonces X puede tomar 2 o 7 para ganar.

Variaciones

Muchos juegos de mesa comparten el elemento de intentar ser el primero en conseguir n en raya, incluyendo el tres morris , el nueve morris , el pente , el gomoku , el Qubic , el Conecta Cuatro , el Cuarto , el Cáliz , el Orden y el Caos , el Lanzamiento y el Mojo . El tres en raya es una instancia de un juego m,n,k , donde dos jugadores se turnan en un tablero m × n hasta que uno de ellos consigue k en raya. El tres en raya generalizado de Harary es una generalización aún más amplia. El juego se puede generalizar aún más jugando en un hipergrafo arbitrario , donde las filas son hiperaristas y las celdas son vértices .

Otras variaciones del tres en raya incluyen:

• Tres en raya tridimensional en un tablero de 3x3x3. En este juego, el primer jugador gana fácilmente si juega en el centro si hay 2 personas jugando.

Se puede jugar en un tablero de 4x4 casillas, ganando de varias formas. Las formas de ganar pueden ser: 4 en línea recta, 4 en línea diagonal, 4 en rombo o 4 para formar un cuadrado.

Otra variante, Qubic , se juega en un tablero de 4×4×4; fue resuelta por Oren Patashnik en 1980 (el primer jugador puede forzar una victoria). ^[22] También son posibles variaciones de dimensiones superiores. ^[6]

• En el juego de tres en raya, el jugador gana si el oponente consigue n jugadas consecutivas. ^[23] Un juego de 3x3 es un empate. En términos más generales, el primer jugador puede empatar o ganar en cualquier tablero (de cualquier dimensión) cuyo lado sea impar, jugando primero en la celda central y luego imitando los movimientos del oponente. ^[6]

• En el tres en raya "salvaje" , los jugadores pueden elegir colocar X o O en cada movimiento. ^{[24] [25] [26]}
• El juego de Scrabble o Pick15 ^[27] es isomorfo al tres en raya, pero a primera vista parece completamente diferente. ^[28] Dos jugadores dicen por turno un número entre uno y nueve. No se puede repetir un número determinado. El juego lo gana el jugador que haya dicho tres números cuya suma sea 15. ^{[27] [29]} Si se usan todos los números y nadie obtiene tres números que sumen 15, el juego es un empate. ^{[27] Si se trazan estos números en un} cuadrado mágico de 3x3, se muestra que el juego se corresponde exactamente con el tres en raya, ya que tres números se ordenarán en línea recta si y solo si suman 15. ^[30]

• Otro juego isomorfo utiliza una lista de nueve palabras cuidadosamente elegidas, por ejemplo, "try", "be", "on", "any", "boat", "by", "ten", "or" y "fear". Cada jugador elige una palabra por turno y, para ganar, debe seleccionar tres palabras con la misma letra. Las palabras se pueden trazar en una cuadrícula de tres en raya de tal manera que gane una línea de tres en raya. ^[31]
• El tres en raya numérico es una variante inventada por el matemático Ronald Graham . En este juego se utilizan los números del 1 al 9. El primer jugador juega con los números impares y el segundo con los pares. Todos los números se pueden utilizar una sola vez. Gana el jugador que consiga 15 puntos en una línea (suma de 3 números).
• En la década de 1970, hubo un juego para dos jugadores creado por Tri-ang Toys & Games llamado Check Lines , en el que el tablero consistía en once agujeros dispuestos en un patrón geométrico de doce líneas rectas que contenían cada una tres de los agujeros. Cada jugador tenía exactamente cinco fichas y jugaba por turnos colocando una ficha en cualquiera de los agujeros. El ganador era el primer jugador cuyas fichas estuvieran dispuestas en dos líneas de tres (que por definición eran líneas que se cruzaban ). Si ningún jugador había ganado en el décimo turno, los turnos posteriores consistían en mover una de las fichas propias al agujero vacío restante, con la restricción de que este movimiento solo podía ser desde un agujero adyacente. ^[32]
• También existe una variante del juego con el clásico campo 3×3, en el que es necesario realizar dos filas para ganar, mientras que el algoritmo contrario solo necesita una. ^[33]
• El tres en raya cuántico permite a los jugadores colocar una superposición cuántica de números en el tablero, es decir, los movimientos de los jugadores son "superposiciones" de jugadas del juego clásico original. Esta variante fue inventada por Allan Goff de Novatia Labs. ^[34]

En la cultura popular

• George Cooper escribió la letra y John Rogers Thomas escribió la música de la canción "Tit, Tac, Toe" en 1876. ^[35]
• El episodio 452 de This American Life ^[36] relata la historia real de un equipo de defensa legal que intentó revocar la decisión del estado de Florida de ejecutar a un asesino con problemas mentales utilizando como prueba un pollo que jugaba al tres en raya . Los juegos de arcade con pollos que jugaban al tres en raya eran populares a mediados de los años 70; los animales eran entrenados mediante condicionamiento operante ^[37] , y los movimientos eran elegidos por computadora y se indicaban al pollo con una luz invisible para el jugador humano. ^[38]
• En la película de ciencia ficción WarGames de 1983 , se describe una guerra termonuclear global como similar al tres en raya, en el sentido de que si todos los bandos utilizan a gran escala sus arsenales con las estrategias más efectivas posibles, ninguno de los bandos ganará realmente .

Varios concursos se han basado en el tres en raya y sus variantes: ^{[ cita requerida ]}

• En Hollywood Squares , nueve celebridades llenaban las celdas de la cuadrícula del tres en raya; los jugadores colocaban símbolos en el tablero al estar de acuerdo o en desacuerdo con la respuesta correcta de una celebridad a una pregunta. Las variaciones del programa incluyen Storybook Squares y Hip Hop Squares . La versión británica fue Celebrity Squares . Australia tenía varias versiones con los nombres de Celebrity Squares , Personality Squares y All Star Squares .
• En Tic-Tac-Dough , los jugadores colocan símbolos en el tablero respondiendo preguntas de varias categorías, que se barajan después de que ambos jugadores hayan jugado ambos turnos.
• En Beat the Teacher , los concursantes responden preguntas para ganar un turno para influir en una cuadrícula de tres en raya.
• En The Price Is Right , varias variantes nacionales presentan un juego de determinación de precios llamado "Secret X", en el que los jugadores deben adivinar los precios de dos premios pequeños para ganar X (además de una X gratis) para colocar en un tablero en blanco. Deben colocar las X en posición para adivinar la ubicación de la "X secreta" titular escondida en la columna central del tablero y formar una línea de tres en raya horizontal (a lo ancho) o diagonalmente (no se permiten líneas verticales). No hay O en esta variante del juego.
• En Minute to Win It , el juego Ping Tac Toe consiste en que un concursante juegue con nueve vasos llenos de agua y pelotas de ping-pong blancas y naranjas, intentando conseguir tres de cada color en fila. Deben alternar los colores después de cada aterrizaje exitoso y deben tener cuidado de no bloquearse.

Véase también

• Teorema de Hales-Jewett
• juego m,n,k
• Scrabble de números

Referencias

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Enlaces externos

• La definición del diccionario de tres en raya en Wikcionario
• Medios relacionados con Tres en raya en Wikimedia Commons
• "Tres en raya". Wolfram MathWorld . 11 de marzo de 2002.
• "etimología – ¿Por qué al empate en el juego del tres en raya se le llama "juego del gato"?". English Language & Usage Stack Exchange . 5 de marzo de 2014.– Discusión sobre el término "juego del gato" para un juego de tres en raya