Valor esperado de la información de la muestra.

En la teoría de la decisión , el valor esperado de la información muestral ( EVSI ) es el aumento esperado en la utilidad que quien toma las decisiones podría obtener al obtener acceso a una muestra de observaciones adicionales antes de tomar una decisión. La información adicional obtenida de la muestra puede permitirles tomar una decisión más informada y, por lo tanto, mejor, lo que resultará en un aumento de la utilidad esperada. EVSI intenta estimar cuál sería esta mejora antes de ver datos de muestra reales; de ahí que EVSI sea una forma de lo que se conoce como análisis preposterior . El uso de EVSI en la teoría de la decisión fue popularizado por Robert Schlaifer y Howard Raiffa en los años 1960. ^[1]

Formulación

Dejar

${\displaystyle {\begin{array}{ll}d\in D&{\mbox{the decision being made, chosen from space }}D\\x\in X&{\mbox{an uncertain state, with true value in space }}X\\z\in Z&{\mbox{an observed sample composed of }}n{\mbox{ observations }}\langle z_{1},z_{2},..,z_{n}\rangle \\U(d,x)&{\mbox{the utility of selecting decision }}d{\mbox{ from }}x\\p(x)&{\mbox{the prior subjective probability distribution (density function) on }}x\\p(z|x)&{\mbox{the conditional prior probability of observing the sample }}z\end{array}}}$

Es común (pero no esencial) en escenarios EVSI para y , es decir, que cada observación es una lectura de sensor imparcial del estado subyacente , siendo cada lectura de sensor independiente y distribuida de manera idéntica. ${\displaystyle Z_{i}=X}$ ${\displaystyle p(z|x)=\prod p(z_{i}|x)}$ ${\displaystyle \int zp(z|x)dz=x}$ ${\displaystyle x}$

La utilidad de la decisión óptima basada únicamente en lo anterior, sin hacer más observaciones, está dada por

${\displaystyle E[U]=\max _{d\in D}~\int _{X}U(d,x)p(x)~dx.}$

Si quien toma las decisiones pudiera obtener acceso a una sola muestra, la utilidad posterior óptima sería ${\displaystyle z}$

${\displaystyle E[U|z]=\max _{d\in D}~\int _{X}U(d,x)p(x|z)~dx}$

donde se obtiene de la regla de Bayes : ${\displaystyle p(x|z)}$

${\displaystyle p(x|z)={{p(z|x)p(x)} \over {p(z)}};}$

${\displaystyle p(z)=\int p(z|x)p(x)~dx.}$

Como no saben qué muestra se obtendría realmente si se obtuviera una, deben promediar todas las muestras posibles para obtener la utilidad esperada dada una muestra:

${\displaystyle E[U|SI]=\int _{Z}E[U|z]p(z)dz=\int _{Z}\max _{d\in D}~\int _{X}U(d,x)p(z|x)p(x)~dx~dz.}$

El valor esperado de la información muestral se define entonces como

${\displaystyle {\begin{array}{rl}EVSI&=E[U|SI]-E[U]\\&=\left(\int _{Z}\max _{d\in D}~\int _{X}U(d,x)p(z|x)p(x)~dx~dz\right)-\left(\max _{d\in D}~\int _{X}U(d,x)p(x)~dx\right).\end{array}}}$

Cálculo

Rara vez es factible llevar a cabo analíticamente la integración en el espacio de posibles observaciones en E[U|SI], por lo que el cálculo de EVSI generalmente requiere una simulación de Monte Carlo . El método implica simular aleatoriamente una muestra y luego usarla para calcular la utilidad posterior y maximizarla en función de . Luego, todo este proceso se repite muchas veces para obtener una muestra de Monte Carlo de utilidades óptimas. Estos se promedian para obtener la utilidad esperada dada una muestra hipotética. ${\displaystyle z^{i}=\langle z_{1}^{i},z_{2}^{i},..,z_{n}^{i}\rangle }$ ${\displaystyle p(x|z^{i})}$ ${\displaystyle p(x|z^{i})}$ ${\displaystyle i=1,..,M}$

Ejemplo

Una agencia reguladora debe decidir si aprueba un nuevo tratamiento. Antes de tomar la decisión final de aprobación o rechazo, preguntan cuál sería el valor de realizar un estudio de prueba adicional con los sujetos. Esta pregunta la responde el EVSI. ${\displaystyle n}$

diagrama del modelo EVSI

El diagrama muestra un diagrama de influencia para calcular el EVSI en este ejemplo.

El modelo clasifica el resultado de cualquier tema determinado en una de cinco categorías:

${\displaystyle Z_{i}=}${"Cura", "Mejora", "Ineficaz", "Efecto secundario leve", "Efecto secundario grave"}

Y para cada uno de estos resultados, asigna una utilidad igual a un valor monetario estimado del resultado equivalente al paciente.

Un estado de decisión, en este ejemplo, es un vector de cinco números entre 0 y 1 que suman 1, lo que da la proporción de pacientes futuros que experimentarán cada uno de los cinco resultados posibles. Por ejemplo, un estado denota el caso en el que el 5% de los pacientes se cura, el 60% mejora, el 20% considera que el tratamiento es ineficaz, el 10% experimenta efectos secundarios leves y el 5% experimenta efectos secundarios peligrosos. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=[5\%,60\%,20\%,10\%,5\%]}$

Lo anterior se codifica utilizando una distribución de Dirichlet , que requiere cinco números (que no suman 1) cuyos valores relativos capturan la proporción relativa esperada de cada resultado y cuya suma codifica la fuerza de esta creencia previa. En el diagrama, los parámetros de la distribución de Dirichlet están contenidos en la variable dirichlet alfa prior , mientras que la distribución previa en sí está en la variable de probabilidad Prior . El gráfico de densidad de probabilidad de los marginales se muestra aquí: ${\displaystyle p(x)}$

En la variable aleatoria Datos de prueba , los datos de prueba se simulan como una muestra de Monte Carlo a partir de una distribución multinomial . Por ejemplo, cuando Trial_size=100, cada muestra Monte Carlo de Trial_data contiene un vector que suma 100 y muestra el número de sujetos en el estudio simulado que experimentaron cada uno de los cinco resultados posibles. La siguiente tabla de resultados muestra los primeros 8 resultados de pruebas simuladas:

Combinar los datos de este ensayo con un Dirichlet previo solo requiere sumar las frecuencias de resultados a los valores alfa previos de Dirichlet, lo que da como resultado una distribución posterior de Dirichlet para cada ensayo simulado. Para cada uno de estos, la decisión de aprobar se toma en función de si la utilidad media es positiva, y utilizando una utilidad de cero cuando el tratamiento no se aprueba, se obtiene la utilidad Pre-posterior . Al repetir el cálculo para un rango de posibles tamaños de prueba, se obtiene un EVSI en cada posible tamaño de prueba candidato, como se muestra en este gráfico:

Comparación con medidas relacionadas

El valor esperado de la información de la muestra (EVSI) es una relajación de la métrica del valor esperado de la información perfecta (EVPI), que codifica el aumento de la utilidad que se obtendría si uno conociera el verdadero estado subyacente . Esencialmente, EVPI indica el valor de la información perfecta, mientras que EVSI indica el valor de alguna información limitada e incompleta . ${\displaystyle x}$

El valor esperado de incluir la incertidumbre (EVIU) compara el valor de modelar información incierta con el de modelar una situación sin tener en cuenta la incertidumbre. Dado que el impacto de la incertidumbre en los resultados calculados a menudo se analiza utilizando métodos de Monte Carlo , EVIU parece ser muy similar al valor de realizar un análisis utilizando una muestra de Monte Carlo , que se asemeja mucho en términos a la noción capturada con EVSI. Sin embargo, EVSI y EVIU son bastante distintos: una diferencia notable entre la forma en que EVSI utiliza la actualización bayesiana para incorporar la muestra simulada.

Ver también

• Diseño experimental bayesiano
• Valor esperado de la información perfecta (EVPI)
• Valor esperado de incluir la incertidumbre (EVIU)

Referencias

1. Schlaifer, R.; Raiffa, H. (1968). Teoría de la decisión estadística aplicada . Cambridge: Prensa del MIT. OCLC  443816.

Otras lecturas

• Hamburgo, Morris; Joven, Peg (1993). "Idear estrategias óptimas antes del muestreo". Análisis Estadístico para la Toma de Decisiones . Fort Worth: Prensa Dryden. págs. 731–766. ISBN 0-03-096914-X.