En geometría algebraica , el teorema de compactificación de Nagata , introducido por Nagata (1962, 1963), implica que cada variedad abstracta puede ser incorporada a una variedad completa , y muestra de manera más general que un morfismo de tipo separado y finito a un esquema noetheriano S puede factorizarse en una inmersión abierta seguida de un morfismo propio .
La prueba original de Nagata utilizó la terminología antigua de los espacios de Zariski-Riemann y la teoría de valuación , lo que a veces la hacía difícil de seguir. Deligne demostró, en notas inéditas expuestas por Conrad , que la prueba de Nagata se puede traducir a la teoría de esquemas y que la condición de que S sea noetheriano se puede reemplazar por la condición mucho más débil de que S sea cuasicompacto y cuasiseparado. Lütkebohmert (1993) dio otra prueba teórica de esquemas del teorema de Nagata.
Una aplicación importante del teorema de Nagata es la definición del análogo en geometría algebraica de la cohomología con soporte compacto , o más generalmente, de funtores de imagen directa superiores con soporte propio . La idea es que dado un morfismo compactificable se define eligiendo una factorización por una inmersión abierta j y un morfismo propio p , y luego estableciendo
donde es la extensión por funtor cero. Se muestra entonces la independencia de la definición de la elección de compactificación.
En el contexto de haces étale , esta idea fue llevada a cabo por Deligne en SGA 4 , Exposé XVII. En el contexto de haces coherentes , los enunciados son más delicados ya que para una inmersión abierta j , el funtor imagen inversa no suele admitir un adjunto izquierdo. No obstante, existe como un adjunto pro-izquierdo, y Deligne pudo definir el funtor como valorado en la categoría pro-derivada de haces coherentes. [1]
