teorema de tunel

Sobre el problema de los números congruentes: qué números enteros son el área de un triángulo rectángulo racional

En teoría de números , el teorema de Tunnell da una resolución parcial al problema de los números congruentes , y bajo la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer , una resolución completa.

problema de números congruentes

El problema de los números congruentes pregunta qué números enteros positivos pueden ser el área de un triángulo rectángulo con los tres lados racionales. El teorema de Tunnell relaciona esto con el número de soluciones integrales de unas pocas ecuaciones diofánticas bastante simples .

Teorema

Para un entero dado sin cuadrados n , defina

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}&=\#\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid n=2x^{2}+y^{2}+32z^{2}\},\\B_{n}&=\#\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid n=2x^{2}+y^{2}+8z^{2}\},\\C_{n}&=\#\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid n=8x^{2}+2y^{2}+64z^{2}\},\\D_{n}&=\#\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid n=8x^{2}+2y^{2}+16z^{2}\}.\end{aligned}}}$

El teorema de Tunnell establece que suponiendo que n es un número congruente, si n es impar entonces 2 A _n = B _n y si n es par entonces 2 C _n = D _n . Por el contrario, si la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer es cierta para curvas elípticas de la forma , estas igualdades son suficientes para concluir que n es un número congruente. ${\displaystyle y^{2}=x^{3}-n^{2}x}$

Historia

El teorema lleva el nombre de Jerrold B. Tunnell , un teórico de números de la Universidad de Rutgers , quien lo demostró en Tunnell (1983).

Importancia

La importancia del teorema de Tunnell es que el criterio que proporciona se puede comprobar mediante un cálculo finito. Por ejemplo, para un determinado , los números se pueden calcular buscando exhaustivamente en el rango . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A_{n},B_{n},C_{n},D_{n}}$ ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle -{\sqrt {n}},\ldots ,{\sqrt {n}}}$

Ver también

• Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer
• numero congruente

Referencias

• Koblitz, Neal (2012), Introducción a las curvas elípticas y las formas modulares , Textos de posgrado en matemáticas (libro 97) (2ª ed.), Springer-Verlag, ISBN 978-1-4612-6942-7
• Tunnell, Jerrold B. (1983), "Un problema diofántico clásico y formas modulares de peso 3/2", Inventiones Mathematicae , 72 (2): 323–334, doi :10.1007/BF01389327, hdl : 10338.dmlcz/137483