Teorema de Gurzadyan

En cosmología , el teorema de Gurzadyan , demostrado por Vahe Gurzadyan ^[1], enuncia la forma funcional más general de la fuerza que satisface la condición de identidad de la gravedad de la esfera y de una masa puntual situada en el centro de la esfera. Este teorema se refiere, por tanto, al primer enunciado del teorema de las capas de Isaac Newton ^[2] (la identidad mencionada anteriormente), pero no al segundo, es decir, la ausencia de fuerza gravitatoria dentro de una capa. ^[3]

El teorema se había introducido y su importancia para la cosmología se ha destacado en varios artículos ^{[4] [5]} así como en el teorema de capas .

La fórmula y la constante cosmológica

La fórmula para la fuerza derivada en ^[1] tiene la forma

${\displaystyle F=-{\frac {GMm}{r^{2}}}+{\frac {\Lambda c^{2}mr}{3}},}$

donde y son constantes. El primer término es la conocida ley de gravitación universal, el segundo corresponde al término constante cosmológica en la relatividad general y la cosmología de McCrea-Milne. ^[6] Entonces el campo está libre de fuerza solo en el centro de una capa pero el término de confinamiento (oscilador) no cambia la simetría inicial del campo newtoniano. Además, este campo corresponde al único campo que posee la propiedad del newtoniano: el cierre de órbitas en cualquier valor negativo de energía, es decir, la coincidencia del período de variación del valor del radio vector con el de su revolución por (principio de resonancia). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle O(4)}$ ${\displaystyle 2\pi }$

Consecuencias: la constante cosmológica como constante física

Einstein nombró a la constante cosmológica como una constante universal, introduciéndola para definir el modelo cosmológico estático. ^{[7] [8]} Einstein ha afirmado: ^[9] “Debería haberme fijado inicialmente en el sentido de Newton. Pero las nuevas consideraciones hablan por un no-cero , que se esfuerza por producir una densidad media de materia no-cero”. Este teorema resuelve esa contradicción entre “no-cero ” y la ley de Newton. ${\displaystyle \lambda =0}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle \lambda }$

De este teorema surge la constante cosmológica como constante adicional de gravedad junto con la constante gravitacional de Newton . Por lo tanto, la constante cosmológica es independiente de la dimensión y no está acoplada a la materia y, por lo tanto, puede considerarse incluso más universal que la constante gravitacional de Newton. ^[10] ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle G}$

Al unir el conjunto de constantes fundamentales , la constante gravitacional de Newton, la velocidad de la luz y la constante de Planck, se obtiene ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle (G,c,\hbar )}$

${\displaystyle [c]=LT^{-1},\quad [G]=M^{-1}L^{3}T^{-2},\quad [\hbar ]=ML^{2}T^{-1},\quad [\Lambda ]=L^{-2},}$

y surge una cantidad adimensional para el conjunto de 4 constantes ^[11] ${\displaystyle (G,\Lambda ,c,\hbar )}$

${\displaystyle I={\frac {c^{3a}}{\Lambda ^{a}G^{a}\hbar ^{a}}},}$

donde es un número real. Nótese que no es posible construir ninguna cantidad adimensional a partir de las 3 constantes . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle G,c,\hbar }$

Esto, dentro de un factor numérico , coincide con la información (o entropía ) del horizonte de eventos de De Sitter ^[12] ${\displaystyle a=1}$

${\displaystyle I_{dS}=3\pi {\frac {c^{3}}{\Lambda G\hbar }},}$

y el límite de Bekenstein ^[13]

${\displaystyle I_{BB}={\frac {3\pi c^{3}}{\Lambda G\hbar ln2}}.}$

Reescalado de constantes físicas

Dentro de la Cosmología Cíclica Conforme ^{[14] [15]} este teorema implica que, en cada eón de un valor inicial de , los valores de las 3 constantes físicas serán elegibles para reescalarse cumpliendo la relación adimensional de invariantes con respecto a la transformación conforme ^[11] ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle {\tilde {g}}_{\mu \nu }=\Omega ^{2}g_{\mu \nu },}$

Entonces la relación da

${\displaystyle {\frac {Q_{dS}}{Q_{p}}}=m({\frac {c^{3}}{\hbar G\Lambda }})^{n}=mI^{n},\quad m,n\in \mathbb {R} ,}$

para todas las cantidades físicas en las eras de Planck (inicial) y de Sitter (final) de los eones, permaneciendo invariantes bajo transformaciones conformes.

Ecuación de Fredholm no homogénea

Este teorema, en el contexto de efectos no locales en un sistema de partículas gravitacionales, conduce al problema de límite de Dirichlet no homogéneo para la ecuación de Poisson ^[16]

${\displaystyle \Delta \Phi ({\bf {x}})=ANG_{3}S_{3}^{2}{\bigg (}\int _{y\in [0,\infty ]}\exp {\big (}-y^{2}/(2\theta ){\big )}y^{2}dy{\bigg )}\cdot \exp(-\Phi /\theta )-{\frac {c^{2}\Lambda }{2}},}$

donde es el radio de la región, . Su solución se puede expresar en términos del potencial de doble capa , lo que conduce a una ecuación integral de Hammerstein no lineal no homogénea para el potencial gravitatorio ${\displaystyle R_{\Omega }}$ ${\displaystyle A,\theta ,R_{\Omega }\in {\mathbb {R} }^{1}}$ ${\displaystyle U({\bf {x}})={\widetilde {\lambda }}{\widehat {\mathfrak {G}}}({U})+\alpha (\theta ,\Lambda ){\bf {x}}^{2},~~{\widehat {\mathfrak {G}}}({U})\equiv \int _{\Omega '}{\mathcal {K}}(|{\bf {x}}-{\bf {x}}'|)\exp {\big (}-{U}({\bf {x}}'){\big )}d{{\bf {x}}'},}$

${\displaystyle U({\bf {x}})\equiv (\Phi ({\bf {x}})-C_{0})/\theta ,~~{\widetilde {\lambda }}\equiv {\widetilde {\lambda _{II}}}(\theta )\equiv {\frac {\lambda _{I}}{\theta }}\exp(-C_{0}/\theta ),~~\alpha (\theta ,\Lambda )=-{\frac {\Lambda c^{2}}{12\theta }}.}$

Esto conduce a una ecuación de Fredholm de segundo tipo no homogénea y lineal.

${\displaystyle \phi ({\bf {x}})=\lambda ^{(0)}\int _{\Omega '}{\mathcal {K}}(|{\bf {x}}-{\bf {x}}'|)\phi ({\bf {x}}')d{\bf {x}}'+{\widehat {\beta }}({\bf {x}}),}$

${\displaystyle {\widehat {\beta }}({\bf {x}})\equiv -\lambda ^{(0)}\int _{\Omega '}{\mathcal {K}}(|{\bf {x}}-{\bf {x}}'|)\alpha |{\bf {x}}'|^{2}d{\bf {x}}'-\alpha |{\bf {x}}|^{2},}$

${\displaystyle {U}({\bf {x}})={U}_{0}-\phi ({\bf {x}}),~~|{\phi }|\ll {U}_{0};~~~\lambda ^{(0)}\equiv -{\widetilde {\lambda }}\exp(-U_{0}).}$

Su solución se puede expresar en términos del resolvente del núcleo integral y del término no lineal (repulsivo). ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \phi ({\bf {x}})=-{\widehat {\beta }}({\bf {x}})+\lambda ^{(0)}\sum _{\bf {n}}\langle -{\widehat {\beta }}({\bf {x}}),\phi _{\bf {n}}\rangle \phi _{\bf {n}}\lambda _{\bf {n}}^{-1}+(\lambda ^{(0)})^{2}\sum _{\bf {n}}\langle -{\widehat {\beta }}({\bf {x}}),\phi _{\bf {n}}\rangle \phi _{\bf {n}}\lambda _{\bf {n}}^{-1}(\lambda _{\bf {n}}-\lambda ^{(0)})^{-1}=}$

${\displaystyle -{\widehat {\beta }}({\bf {x}})+\lambda ^{(0)}\int _{\Omega }\underbrace {{\bigg (}{\mathcal {K}}({\bf {x}},{\bf {x}}')+\lambda ^{(0)}\sum _{\bf {n}}\phi _{\bf {n}}({\bf {x}})\phi _{\bf {n}}({\bf {x}}')\lambda _{\bf {n}}^{-1}(\lambda _{\bf {n}}-\lambda ^{(0)})^{-1}{\bigg )}} _{\Gamma ({\bf {x}},{\bf {x}}',\lambda ^{(0)})}(-{\widehat {\beta }}({\bf {x}}))d{\bf {x}}'.}$

Indicaciones de observación

Se afirma que la dinámica de los grupos y cúmulos de galaxias se ajusta al teorema, ^{[10] [17]} véase también. ^[18] La posibilidad de dos flujos de Hubble, uno local, determinado por esa fórmula, y uno global, descrito por las ecuaciones cosmológicas de Friedmann , se afirmó en. ^[19]

Referencias

1. Gurzadyan, Vahe (1985). "La constante cosmológica en el esquema cosmológico de McCrea-Milne". El Observatorio . 105 : 42–43. Bibcode :1985Obs...105...42G.
2. Newton, Isaac (1687). Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Londres. págs. Teorema XXXI.
3. Markoutsakis, M. (2021). Geometría, simetrías y física clásica: un mosaico, . CRC Press. ISBN 978-0367535230.
4. Vedenyapin, VV; Fimin, NN; Chechetkin, VM (2021). "El modelo generalizado de Friedmann como una solución autosimilar del sistema de ecuaciones de Vlasov-Poisson". European Physical Journal Plus . 136 : 670.
5. Chardin, G.; Debois, Y.; Manfredi, G.; Miller, B.; Stahl, C. (2021). "Comportamiento similar al de MOND en el universo de Dirac-Milne: curvas de rotación planas y relaciones de masa versus velocidad en galaxias y cúmulos". Astronomía y Astrofísica . 652 : 16.
6. McCrea, WH; Milne, EA (1934). "Universos newtonianos y la curvatura del espacio". Quarterly Journal of Mathematics . 5 : 73.
7. Einstein, A. (1917). "Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen Relativitätstheorie". Koniglich Preussische Akad. der Wissenschaften . 142 .
8. Einstein, A. (1918). "Bemerkung zu Herrn Schrödingers Notiz" Über ein Lösungssystem der allgemein kovarianten Gravitationsgleichungen". Phys. Z. 19 : 165.
9. Einstein, A. (1917). "Carta a Michele Besso". Los documentos recopilados de Albert Einstein . 8 (308). Princeton University Press, 1998: 404.
10. Gurzadyan, VG; Stepanian, A. (2018). "Dos constantes fundamentales de la gravedad que unifican la materia oscura y la energía oscura". European Physical Journal C . 78 : 632.
11. Gurzadyan, VG; Stepanian, A. (2019). "La constante cosmológica como constante fundamental". European Physical Journal Plus . 134 : 98.
12. Gibbons, GW; Hawking, SW (1977). "Horizontes de eventos cosmológicos, termodinámica y creación de partículas". Phys. Rev. D. 15 : 2738.
13. Bekenstein, JD (1981). "Límite superior universal de la relación entropía-energía para sistemas acotados". Phys. Rev. D. 23 : 287.
14. Penrose, R. (2010). "Ciclos del tiempo: una nueva visión extraordinaria del universo". Bodley Head, Londres .
15. Gurzadyan, VG; Penrose, R. (2013). "Sobre los círculos concéntricos de baja varianza predichos por CCC en el cielo del CMB". European Physical Journal Plus . 128 (2): 22. arXiv : 1302.5162 . Código Bibliográfico :2013EPJP..128...22G. doi :10.1140/epjp/i2013-13022-4. S2CID  55249027.
16. Gurzadyan, VG; Fimin, NN; Chechetkin, VM (2023). "Vacíos cósmicos y análisis cinético. II. Vínculo con la tensión de Hubble". Astronomía y Astrofísica . 672 : A95.
17. Gurzadyan, VG (2019). "Sobre la naturaleza común de la materia oscura y la energía oscura: grupos de galaxias". European Physical Journal Plus . 134 : 14.
18. Chardin, G.; et al. (2021). "Comportamiento similar al de MOND en el universo de Dirac-Milne: curvas de rotación planas y relaciones masa/velocidad en galaxias y cúmulos". Astronomía y Astrofísica . 652 : 91.
19. Gurzadyan, VG; Stepanian, A. (2021). "Tensión de Hubble y restricciones absolutas en el parámetro local de Hubble". Astronomía y Astrofísica . 653 : A145.