En matemáticas , el teorema de Denjoy-Wolff es un teorema de análisis complejo y sistemas dinámicos que se refiere a puntos fijos e iteraciones de aplicaciones holomorfas del disco unitario en los números complejos sobre sí mismo. El resultado fue demostrado de forma independiente en 1926 por el matemático francés Arnaud Denjoy y el matemático holandés Julius Wolff .
Teorema. Sea D el disco unitario abierto en C y sea f una función holomorfa que aplica D en D que no es un automorfismo de D (es decir, una transformación de Möbius ). Entonces hay un único punto z en la clausura de D tal que las iteraciones de f tienden a z uniformemente en subconjuntos compactos de D. Si z se encuentra en D , es el único punto fijo de f . La aplicación f deja discos hiperbólicos invariantes centrados en z , si z se encuentra en D , y discos tangentes al círculo unitario en z , si z se encuentra en el límite de D.
Cuando el punto fijo está en z = 0, los discos hiperbólicos centrados en z son simplemente los discos euclidianos con centro 0. De lo contrario, f puede conjugarse mediante una transformación de Möbius de modo que el punto fijo sea cero. A continuación se ofrece una prueba elemental del teorema, tomada de Shapiro (1993) [1] y Burckel (1981). [2] Se pueden encontrar otras dos pruebas breves en Carleson y Gamelin (1993). [3]
Si f tiene un punto fijo z en D entonces, después de conjugar mediante una transformación de Möbius, se puede suponer que z = 0. Sea M ( r ) el módulo máximo de f en |z| = r < 1. Por el lema de Schwarz [4]
para | z | ≤ r , donde
De ello se deduce por iteración que
para | z | ≤ r . Estas dos desigualdades implican el resultado en este caso.
Cuando f actúa en D sin puntos fijos, Wolff demostró que hay un punto z en el límite tal que las iteraciones de f dejan invariante cada disco tangente al límite en ese punto.
Tome una secuencia que aumenta a 1 y establezca [5] [6]
Aplicando el teorema de Rouché a y , tiene exactamente un cero en D . Pasando a una subsucesión si es necesario, se puede suponer que El punto z no puede estar en D , porque, al pasar al límite, z tendría que ser un punto fijo. El resultado para el caso de puntos fijos implica que las funciones dejan invariantes todos los discos euclidianos cuyo centro hiperbólico se encuentra en . Los cálculos explícitos muestran que, a medida que k aumenta, se pueden elegir dichos discos de modo que tiendan a cualquier disco dado tangente al límite en z . Por continuidad, f deja cada uno de esos discos Δ invariante.
Para ver que converge uniformemente en compacta a la constante z , es suficiente mostrar que lo mismo es cierto para cualquier subsucesión , convergente en el mismo sentido a g , digamos. Tales límites existen por el teorema de Montel , y si g no es constante, también se puede suponer que tiene un límite, h digamos. Pero entonces
para w en D .
Dado que h es holomorfo y g ( D ) abierto,
para todos w .
Si establecemos , también se puede suponer que es convergente a F , por ejemplo.
Pero entonces f ( F ( w )) = w = f ( F ( w )), contradiciendo el hecho de que f no es un automorfismo.
Por lo tanto , cada subsucesión tiende a alguna constante de manera uniforme en compacta en D.
La invariancia de Δ implica que cada una de estas constantes se encuentra en el cierre de cada disco Δ y, por lo tanto, en su intersección, el único punto z . Por el teorema de Montel, se deduce que converge uniformemente en compacta a la constante z .
