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El sexto problema de Hilbert

El sexto problema de Hilbert es axiomatizar aquellas ramas de la física en las que prevalecen las matemáticas . Aparece en la lista ampliamente citada de problemas matemáticos de Hilbert que presentó en el año 1900. [1] En su traducción común al inglés, la declaración explícita dice:

Escaleras de reducción de modelos desde la dinámica microscópica ( la visión atomista ) a la dinámica macroscópica del continuo ( las leyes del movimiento de los continuos ) (Ilustración del contenido del libro [2] )
6. Tratamiento Matemático de los Axiomas de la Física. Las investigaciones sobre los fundamentos de la geometría plantean el problema: tratar de la misma manera, mediante axiomas, aquellas ciencias físicas en las que ya hoy las matemáticas desempeñan un papel importante; en primer lugar están la teoría de las probabilidades y la mecánica.

Hilbert dio una explicación más detallada de este problema y sus posibles formas específicas:

"En cuanto a los axiomas de la teoría de las probabilidades, me parece deseable que su investigación lógica vaya acompañada de un desarrollo riguroso y satisfactorio del método de los valores medios en física matemática y, en particular, en la teoría cinética de los gases. ... El trabajo de Boltzmann sobre los principios de la mecánica sugiere el problema de desarrollar matemáticamente los procesos limitantes, allí simplemente indicados, que conducen desde la visión atomista a las leyes del movimiento de los continuos."

Historia

El propio David Hilbert dedicó gran parte de su investigación al sexto problema; [3] en particular, trabajó en aquellos campos de la física que surgieron después de plantear el problema.

En la década de 1910, la mecánica celeste evolucionó hacia la relatividad general . Hilbert y Emmy Noether mantuvieron extensa correspondencia con Albert Einstein sobre la formulación de la teoría. [4]

En la década de 1920, la mecánica de los sistemas microscópicos evolucionó hacia la mecánica cuántica . Hilbert, con la ayuda de John von Neumann , L. Nordheim y EP Wigner , trabajó sobre las bases axiomáticas de la mecánica cuántica (ver Espacio de Hilbert ). [5] Al mismo tiempo, pero de forma independiente, Dirac formuló la mecánica cuántica de una manera cercana a un sistema axiomático, al igual que Hermann Weyl con la ayuda de Erwin Schrödinger .

En la década de 1930, Andrey Kolmogorov puso la teoría de la probabilidad sobre una base axiomática , utilizando la teoría de la medida .

Desde la década de 1960, siguiendo los trabajos de Arthur Wightman y Rudolf Haag , la teoría cuántica de campos moderna también puede considerarse cercana a una descripción axiomática.

En las décadas de 1990 y 2000, muchos grupos de matemáticos abordaron el problema de "los procesos limitantes, simplemente indicados allí, que conducen desde la visión atomista a las leyes del movimiento de los continuos". Los principales resultados recientes están resumidos por Laure Saint-Raymond , [6] Marshall Slemrod, [7] Alexander N. Gorban e Ilya Karlin. [8]

Estado

El sexto problema de Hilbert fue una propuesta para expandir el método axiomático fuera de las disciplinas matemáticas existentes, a la física y más allá. Esta expansión requiere el desarrollo de la semántica de la física con el análisis formal de la noción de realidad física que se debe realizar. [9] Dos teorías fundamentales capturan la mayoría de los fenómenos fundamentales de la física:

Hilbert consideraba la relatividad general como una parte esencial de los fundamentos de la física. [11] [12] Sin embargo, la teoría cuántica de campos no es lógicamente consistente con la relatividad general, lo que indica la necesidad de una teoría aún desconocida de la gravedad cuántica , donde se espera que la semántica de la física desempeñe un papel central. El sexto problema de Hilbert permanece así abierto, [13] Sin embargo, en los últimos años ha fomentado la investigación sobre los fundamentos de la física con un énfasis particular en el papel de la lógica y la precisión del lenguaje, lo que ha llevado a algunos resultados interesantes, a saber. una realización directa del principio de incertidumbre a partir de la definición de "derivada" de Cauchy y el desentrañamiento de un obstáculo semántico en el camino de cualquier teoría de la gravedad cuántica desde la perspectiva axiomática, [14] el desentrañamiento de una tautología lógica en las pruebas cuánticas del principio de equivalencia [ 15] y la imposibilidad de demostrar formalmente la primera ecuación de Maxwell. [dieciséis]

Ver también

Notas

  1. ^ Hilbert, David (1902). "Problemas matemáticos". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 8 (10): 437–479. doi : 10.1090/S0002-9904-1902-00923-3 . SEÑOR  1557926.Publicaciones anteriores (en el original alemán) aparecieron en Göttinger Nachrichten , 1900, págs. 253-297, y Archiv der Mathematik und Physik , tercera serie, vol. 1 (1901), págs. 44-63, 213-237.
  2. ^ Gorban, Alexander N.; Karlin, Ilya V. (2005). Colectores invariantes para cinética física y química. Apuntes de conferencias de física (LNP, vol. 660). Berlín, Heidelberg: Springer. doi :10.1007/b98103. ISBN 978-3-540-22684-0. Archivado desde el original el 19 de agosto de 2020.URL alternativa
  3. ^ Corry, L. (1997). "David Hilbert y la axiomatización de la física (1894-1905)". Archivo de Historia de las Ciencias Exactas . 51 (2): 83–198. doi :10.1007/BF00375141.
  4. ^ Sauer 1999, pag. 6
  5. ^ van Hove, León (1958). "Las contribuciones de von Neumann a la teoría cuántica". Toro. América. Matemáticas. Soc . 64 (3): 95–99. doi : 10.1090/s0002-9904-1958-10206-2 . Señor  0092587. Zbl  0080.00416.
  6. ^ Saint-Raymond, L. (2009). Límites hidrodinámicos de la ecuación de Boltzmann . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 1971. Springer-Verlag. doi :10.1007/978-3-540-92847-8. ISBN 978-3-540-92847-8.
  7. ^ Slemrod, M. (2013). "De Boltzmann a Euler: revisión del sexto problema de Hilbert". Computadora. Matemáticas. Aplica . 65 (10): 1497-1501. doi : 10.1016/j.camwa.2012.08.016 . SEÑOR  3061719.
  8. ^ Gorban, AN; Karlin, I. (2014). "Sexto problema de Hilbert: variedades hidrodinámicas exactas y aproximadas para ecuaciones cinéticas". Toro. América. Matemáticas. Soc . 51 (2): 186–246. arXiv : 1310.0406 . doi : 10.1090/S0273-0979-2013-01439-3 .
  9. ^ Gorban, AN (2018). "El sexto problema de Hilbert: el camino interminable hacia el rigor". Fil. Trans. R. Soc. A . 376 (2118): 20170238. arXiv : 1803.03599 . Código Bib : 2018RSPTA.37670238G. doi : 10.1098/rsta.2017.0238 . PMID  29555808.
  10. ^ Wightman, AS (1976). "Sexto problema de Hilbert: tratamiento matemático de los axiomas de la física". En Felix E. Browder (ed.). Desarrollos matemáticos derivados de problemas de Hilbert . Actas de simposios de matemática pura . vol. XXVIII. Sociedad Matemática Estadounidense . págs. 147-240. ISBN 0-8218-1428-1.
  11. ^ Hilbert, David (1915). "Die Grundlagen der Physik. (Erste Mitteilung)". Nahrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-physikalische Klasse . 1915 : 395–407.
  12. ^ Sauer 1999
  13. ^ Número temático "El sexto problema de Hilbert". Fil. Trans. R. Soc. A . 376 (2118). 2018. doi : 10.1098/rsta/376/2118 .
  14. ^ A. Majhi (2022). "El desliz lógico-lingüístico de Cauchy, el principio de incertidumbre de Heisenberg y un dilema semántico sobre la "gravedad cuántica"". Revista Internacional de Física Teórica . 61 (3). arXiv : 2204.00418 . doi :10.1007/s10773-022-05051-8.
  15. ^ Majhi, A.; Sardar, G. (2023). "Valor científico de las pruebas cuánticas del principio de equivalencia a la luz del sexto problema de Hilbert". Pramana-J Phys . 97 (1). arXiv : 2301.06327 . doi :10.1007/s12043-022-02504-x.
  16. ^ A. Majhi (2023). "Improbabilidad de la primera ecuación de Maxwell a la luz de la condición de integridad de EPR: un enfoque computacional desde una perspectiva lógico-lingüística". Pramana-J Phys . 61 (4). arXiv : 2310.14930 . doi :10.1007/s12043-023-02594-1.

Referencias

enlaces externos