En teoría de números , el sesgo de Chebyshev es el fenómeno por el cual, la mayoría de las veces, hay más primos de la forma 4 k + 3 que de la forma 4 k + 1, hasta el mismo límite. Este fenómeno fue observado por primera vez por el matemático ruso Pafnuty Chebyshev en 1853.
Sea π ( x ; n , m ) el número de primos de la forma nk + m hasta x . Por el teorema de los números primos (extendido a la progresión aritmética ),
Es decir, la mitad de los primos son de la forma 4 k + 1, y la otra mitad de la forma 4 k + 3. Una conjetura razonable sería que π ( x ; 4, 1) > π ( x ; 4, 3) y π ( x ; 4, 1) < π ( x ; 4, 3) también ocurren el 50% del tiempo. Esto, sin embargo, no está respaldado por evidencia numérica - de hecho, π ( x ; 4, 3) > π ( x ; 4, 1) ocurre con mucha más frecuencia. Por ejemplo, esta desigualdad se cumple para todos los primos x < 26833 excepto 5, 17, 41 y 461, para los cuales π ( x ; 4, 1) = π ( x ; 4, 3). El primer x tal que π ( x ; 4, 1) > π ( x ; 4, 3) es 26861, es decir, π ( x ; 4, 3) ≥ π ( x ; 4, 1) para todo x < 26861.
En general, si 0 < a , b < n son números enteros, mcd ( a , n ) = mcd( b , n ) = 1, a es un residuo cuadrático mod n , b es un no residuo cuadrático mod n , entonces π ( x ; n , b ) > π ( x ; n , a ) ocurre más a menudo que no. Esto se ha demostrado sólo asumiendo formas fuertes de la hipótesis de Riemann . La conjetura más fuerte de Knapowski y Turán , de que la densidad de los números x para los que π ( x ; 4, 3) > π ( x ; 4, 1) es 1 (es decir, es válida para casi todos los x ), resultó ser falsa. Sin embargo, tienen una densidad logarítmica , que es aproximadamente 0,9959.... [1]
Esto es para k = −4 para encontrar el primo más pequeño p tal que (donde es el símbolo de Kronecker ), sin embargo, para un entero distinto de cero k (no solo k = −4), también podemos encontrar el primo más pequeño p que satisface esta condición. Por el teorema de los números primos, para cada entero distinto de cero k , hay infinitos primos p que satisfacen esta condición.
Para los números enteros positivos k = 1, 2, 3, ..., los primos más pequeños p son
Para los números enteros negativos k = −1, −2, −3, ..., los primos más pequeños p son
2, 3, 608981813029, 26861, 7, 5, 2, 3, 2, 11, 5, 608981813017, 19, 3, 2, 26861, 2, 643, 11, 3, 11, 31, 2, 5, 2, 3, 608981813029, 48731, 5, 13, 2, 3, 2, 7, 11, 5, 199, 3, 2, 11, 2, 29, 53, 3, 109, 41, 2, 608981813017, 2, 3, 13, 17, 23, 5, 2, 3, 2, 1019, 5, 263, 11, 3, 2, 26861, ... ( OEIS : A306500 es una subsecuencia, para k = −3, −4, −7, −8, −11, −15, −19, −20, −23, −24, −31, −35, −39, −40, −43, −47, −51, −52, −55, −56, −59, ... OEIS : A003657 )
Para cada entero no cuadrado (positivo o negativo) k , hay más primos p con que con (hasta el mismo límite) la mayoría de las veces.
Sean m y n números enteros tales que m ≥ 0, n > 0, mcd( m , n ) = 1, definamos una función donde es la función totiente de Euler .
Por ejemplo, f (1, 5) = f (4, 5) = 1/2, f (2, 5) = f (3, 5) = 0, f (1, 6) = 1/2, f (5, 6) = 0, f (1, 7) = 5/6, f (2, 7) = f (4, 7) = 1/2, f (3, 7) = f (5, 7) = 0, f (6, 7) = 1/3, f (1, 8) = 1/2, f (3, 8) = f (5, 8) = f (7, 8) = 0, f (1, 9) = 5/6, f (2, 9) = f (5, 9) = 0, f (4, 9) = f (7, 9) = 1/2, f (8, 9) = 1/3.
Se conjetura que si 0 < a , b < n son números enteros, mcd( a , n ) = mcd( b , n ) = 1, f ( a , n ) > f ( b , n ), entonces π ( x ; n , b ) > π ( x ; n , a ) ocurre más a menudo que no.
