En teoría de números , el sesgo de Chebyshev es el fenómeno de que la mayoría de las veces hay más primos de la forma 4 k + 3 que de la forma 4 k + 1, hasta el mismo límite. Este fenómeno fue observado por primera vez por el matemático ruso Pafnuty Chebyshev en 1853.
Sea π ( x ; n , m ) el número de primos de la forma nk + m hasta x . Según el teorema de los números primos (extendido a la progresión aritmética ),
Es decir, la mitad de los números primos son de la forma 4 k + 1, y la mitad de la forma 4 k + 3. Una suposición razonable sería que π ( x ; 4, 1) > π ( x ; 4, 3) y π ( x ; 4, 1) < π ( x ; 4, 3) también ocurren el 50% de las veces. Esto, sin embargo, no está respaldado por evidencia numérica; de hecho, π ( x ; 4, 3) > π ( x ; 4, 1) ocurre con mucha más frecuencia. Por ejemplo, esta desigualdad se cumple para todos los primos x < 26833 excepto 5, 17, 41 y 461, para los cuales π ( x ; 4, 1) = π ( x ; 4, 3). La primera x tal que π ( x ; 4, 1) > π ( x ; 4, 3) es 26861, es decir, π ( x ; 4, 3) ≥ π ( x ; 4, 1) para todo x < 26861 .
En general, si 0 < a , b < n son números enteros, mcd ( a , n ) = mcd( b , n ) = 1, a es un mod n residual cuadrático , b es un mod n cuadrático sin residuo , entonces π ( x ; n , b ) > π ( x ; n , a ) ocurre la mayoría de las veces. Esto sólo se ha demostrado asumiendo formas fuertes de la hipótesis de Riemann . La conjetura más fuerte de Knapowski y Turán , de que la densidad de los números x para los cuales π ( x ; 4, 3) > π ( x ; 4, 1) se cumple es 1 (es decir, se cumple para casi todos los x ), se volvió resulta ser falso. Sin embargo, tienen una densidad logarítmica , que es aproximadamente 0,9959.... [1]
Esto es para que k = −4 encuentre el primo p más pequeño tal que (donde está el símbolo de Kronecker ), sin embargo, para un entero k distinto de cero (no solo k = −4), también podemos encontrar el primo p más pequeño que satisfaga esto condición. Según el teorema de los números primos, para cada entero k distinto de cero , hay infinitos primos p que satisfacen esta condición.
Para números enteros positivos k = 1, 2, 3, ..., los primos más pequeños p son
Para enteros negativos k = −1, −2, −3, ..., los primos más pequeños p son
2, 3, 608981813029, 26861, 7, 5, 2, 3, 2, 11, 5, 608981813017, 19, 3, 2, 26861, 2, 643, 11, 3, 11, 31, 2, 5, 2, 3, 608981813029, 48731, 5, 13, 2, 3, 2, 7, 11, 5, 199, 3, 2, 11, 2, 29, 53, 3, 109, 41, 2, 608981813017, 2, 3, 13, 17, 23, 5, 2, 3, 2, 1019, 5, 263, 11, 3, 2, 26861, ... ( OEIS : A306500 es una subsecuencia, para k = −3, −4, −7 , −8, −11, −15, −19, −20, −23, −24, −31, −35, −39, −40, −43, −47, −51, −52, −55, − 56, −59, ... OEIS : A003657 )
Para cada entero k no cuadrado (positivo o negativo) , hay más primos p con que con (hasta el mismo límite) la mayoría de las veces.
Sean m y n números enteros tales que m ≥ 0, n > 0, mcd( m , n ) = 1, defina una función
Por ejemplo, f (1, 5) = f (4, 5) = 1/2, f (2, 5) = f (3, 5) = 0, f (1, 6) = 1/2, f ( 5, 6) = 0, f (1, 7) = 5/6, f (2, 7) = f (4, 7) = 1/2, f (3, 7) = f (5, 7) = 0, f (6, 7) = 1/3, f (1, 8) = 1/2, f (3, 8) = f (5, 8) = f (7, 8) = 0, f (1 , 9) = 5/6, f (2, 9) = f (5, 9) = 0, f (4, 9) = f (7, 9) = 1/2, f (8, 9) = 1 /3.
Se conjetura que si 0 < a , b < n son números enteros, mcd( a , n ) = mcd( b , n ) = 1, f ( a , n ) > f ( b , n ), entonces π ( x ; n , b ) > π ( x ; n , a ) ocurre la mayoría de las veces.
