El acertijo de lógica más difícil de todos los tiempos es un acertijo de lógica llamado así por el filósofo y lógico estadounidense George Boolos y publicado en The Harvard Review of Philosophy en 1996. [1] [2] El artículo de Boolos incluye múltiples formas de resolver el problema. Anteriormente se publicó una traducción en italiano en el periódico La Repubblica , bajo el título L'indovinello più difficile del mondo .
Se afirma lo siguiente:
Tres dioses A, B y C se llaman, sin ningún orden particular, Verdadero, Falso y Aleatorio. Lo verdadero siempre dice la verdad, lo falso siempre habla falsamente, pero si Random habla verdad o mentira es una cuestión completamente aleatoria. Su tarea es determinar las identidades de A, B y C haciendo tres preguntas de sí o no ; cada pregunta debe dirigirse exactamente a un dios. Los dioses entienden inglés, pero responderán todas las preguntas en su propio idioma, en el que las palabras para sí y no son da y ja , [3] en algún orden. No sabes qué palabra significa cuál.
Boolos proporciona las siguientes aclaraciones: [1] a un solo dios se le pueden hacer más de una pregunta, se permite que las preguntas dependan de las respuestas a preguntas anteriores, y se debe pensar que la naturaleza de la respuesta de Random depende del giro de una feria. moneda escondida en su cerebro: si la moneda sale cara, dice la verdad; si cruz, falsamente. [4]
Boolos le da crédito al lógico Raymond Smullyan como el creador del rompecabezas y a John McCarthy por agregar la dificultad de no saber qué significan da y ja . Se pueden encontrar acertijos relacionados en los escritos de Smullyan. Por ejemplo, en ¿Cuál es el nombre de este libro? , [5] describe una isla haitiana donde la mitad de los habitantes son zombis (que siempre mienten) y la otra mitad son humanos (que siempre dicen la verdad). Explica que "la situación se complica enormemente por el hecho de que, aunque todos los nativos entienden perfectamente el inglés, un antiguo tabú de la isla les prohíbe utilizar palabras no nativas en su habla. Por eso, cada vez que les haces una pregunta de sí o no , responden Bal o Ja , uno de los cuales significa sí y el otro no . El problema es que no sabemos cuál de Bal o Da significa sí y cuál significa no. Hay otros acertijos relacionados en El enigma de Scheherazade . [6] [7]
El rompecabezas se basa en los rompecabezas de Caballeros y Sotos . Un escenario para este rompecabezas es una isla ficticia habitada sólo por caballeros y bribones, donde los caballeros siempre dicen la verdad y los bribones siempre mienten. Un visitante de la isla debe hacer una serie de preguntas de sí o no para descubrir lo que necesita saber (cuyos detalles varían según las diferentes versiones del rompecabezas). Una versión de estos rompecabezas se popularizó gracias a una escena de la película de fantasía Labyrinth de 1986 . Hay dos puertas, cada una con un guardia. Un guardia siempre miente y el otro siempre responde con la verdad. Una puerta conduce al castillo y la otra conduce a una "muerte segura". El rompecabezas consiste en descubrir qué puerta conduce al castillo haciéndole una pregunta a uno de los guardias. En la película, el protagonista hace esto preguntando: "¿Me diría [el otro guardia] que esta puerta conduce al castillo?".
Boolos proporcionó su solución en el mismo artículo en el que presentó el enigma. Boolos afirma que "el primer paso es encontrar un dios que puedas estar seguro de que no es aleatorio y, por tanto, es verdadero o falso". [1] Hay muchas preguntas diferentes que lograrán este resultado. Una estrategia es utilizar conectivos lógicos complicados en tus preguntas (ya sean bicondicionales o alguna construcción equivalente).
La pregunta de Boolos fue preguntarle a A:
Equivalentemente:
Roberts (2001) e independientemente Rabern y Rabern (2008) observaron que la solución del rompecabezas se puede simplificar mediante el uso de ciertos contrafactuales . [6] [8] La clave de esta solución es que, para cualquier pregunta Q de sí o no, hacer la pregunta Verdadero o Falso
da como resultado la respuesta ja si la respuesta veraz a Q es sí , y la respuesta da si la respuesta veraz a Q es no (Rabern y Rabern (2008) llaman a este resultado lema de pregunta incorporado). La razón por la que esto funciona se puede ver estudiando la forma lógica de la respuesta esperada a la pregunta. Esta forma lógica ( expresión booleana ) se desarrolla a continuación (' Q' es verdadera si la respuesta a Q es 'sí', ' Dios' es verdadera si el dios a quien se le hace la pregunta actúa como alguien que dice la verdad y 'Ja ' es cierto si el significado de Ja es 'sí'):
Esta expresión final se evalúa como verdadera si la respuesta es Ja y falsa en caso contrario. Los ocho casos se resuelven a continuación (1 representa verdadero y 0 falso):
Al comparar la primera y la última columna se ve claramente que la respuesta es Ja sólo cuando la respuesta a la pregunta es "sí". Los mismos resultados se aplicarían si la pregunta formulada fuera: 'Si te preguntara Q, ¿dirías Da'? porque la evaluación del contrafactual no depende superficialmente de los significados de Ja y Da. Cada uno de los ocho casos se razona de manera equivalente a continuación en palabras:
Independientemente de si el dios preguntado miente o no y de qué palabra significa sí y cuál no , se puede determinar si la respuesta veraz a la pregunta Q es sí o no .
La siguiente solución construye sus tres preguntas utilizando el lema descrito anteriormente. [6]
El tercer comentario aclaratorio de Boolos explica el comportamiento de Random de la siguiente manera: [6]
Esto no indica si el lanzamiento de la moneda es para cada pregunta o para cada "sesión", es decir, la serie completa de preguntas. Si se interpreta como una única selección aleatoria que dura toda la sesión, Rabern y Rabern muestran que se pueden extraer respuestas útiles incluso de Random; [6] esto se debe a que el contrafactual había sido diseñado de tal manera que, independientemente de si el que respondía (en este caso Random) era alguien que decía la verdad o decía la mentira, la respuesta veraz a Q sería clara.
Otra posible interpretación del comportamiento de Random ante el contrafactual es que responde la pregunta en su totalidad después de lanzar la moneda al aire en su cabeza, pero descubre la respuesta a Q en su estado mental anterior, mientras se formula la pregunta. Una vez más, esto hace que preguntarle a Random el contrafactual sea inútil. Si este es el caso, un pequeño cambio en la pregunta anterior generará una pregunta que siempre provocará una respuesta significativa de Random. El cambio es el siguiente:
Esto efectivamente extrae las personalidades veraces y mentirosas de Random y lo obliga a ser solo uno de ellos. Al hacerlo, el enigma se vuelve completamente trivial, es decir, se pueden obtener fácilmente respuestas veraces. Sin embargo, se supone que Random ha decidido mentir o decir la verdad antes de determinar la respuesta correcta a la pregunta, algo que no se indica en el acertijo ni en el comentario aclaratorio.
Uno puede obtener elegantes respuestas veraces en el curso de la resolución del problema original tal como lo aclaró Boolos ("si la moneda cae cara, dice la verdad; si cruz, falsa") sin depender de suposiciones supuestamente no expresadas, haciendo un cambio adicional. a la pregunta:
Aquí, la única suposición es que Random, al responder la pregunta , responde sinceramente ("habla sinceramente") O responde falsamente ("habla falsamente"), lo cual es explícitamente parte de las aclaraciones de Boolos. De esta manera, el problema original sin modificar (con las aclaraciones de Boolos) puede verse como el "rompecabezas lógico más difícil de todos los tiempos" con la solución más elegante y sencilla.
Rabern y Rabern (2008) sugieren hacer una enmienda al rompecabezas original de Boolos para que Random sea realmente aleatorio. La modificación consiste en sustituir la tercera observación aclaratoria de Boolos por la siguiente: [6]
Con esta modificación, la solución del rompecabezas exige un interrogatorio más cuidadoso a Dios que se proporciona en la parte superior de la sección La Solución .
En Una solución simple al acertijo de lógica más difícil de todos los tiempos , [6] B. Rabern y L. Rabern ofrecen una variante del acertijo: un dios, enfrentado a una paradoja, no dirá ni ja ni da y, en cambio, no responderá en absoluto. Por ejemplo, si la pregunta "¿Vas a responder esta pregunta con la palabra que significa no en tu idioma?" se pone en Verdadero, no puede responder con la verdad. (El artículo representa esto como si su cabeza explotara , "... ¡son dioses infalibles! Sólo tienen un recurso: sus cabezas explotan".) Permitir el caso de la "cabeza explosiva" ofrece otra solución más al rompecabezas e introduce la posibilidad de resolviendo el rompecabezas (modificado y original) en solo dos preguntas en lugar de tres. Para respaldar una solución del acertijo de dos preguntas, los autores resuelven un acertijo similar más simple usando solo dos preguntas.
Tenga en cuenta que este enigma se resuelve trivialmente con tres preguntas. Además, para resolver el rompecabezas en dos preguntas, se demuestra el siguiente lema .
Usando este lema es sencillo resolver el rompecabezas en dos preguntas. Rabern y Rabern (2008) utilizan un truco similar (atenuando la paradoja del mentiroso) para resolver el enigma original en sólo dos preguntas. Uzquiano (2010) utiliza estas técnicas para proporcionar una solución de dos preguntas al rompecabezas modificado. [9] [10] Dos soluciones de preguntas tanto para el rompecabezas original como para el enmendado aprovechan el hecho de que algunos dioses tienen la incapacidad de responder ciertas preguntas. Ni Verdadero ni Falso pueden dar respuesta a la siguiente pregunta.
Dado que el Random modificado responde de una manera verdaderamente aleatoria, ni Verdadero ni Falso pueden predecir si Random respondería ja o da a la pregunta de si Dushanbe está en Kirghizia. Dada esta ignorancia, no podrán decir la verdad ni mentir; por lo tanto, permanecerán en silencio. Random, sin embargo, quien dice tonterías al azar, no tendrá problemas en decir ja o da . Uzquiano (2010) explota esta asimetría para proporcionar una solución de dos preguntas al rompecabezas modificado. Sin embargo, ¿se podría suponer que los dioses tienen una "habilidad oracular para predecir las respuestas de Random incluso antes de que se lance la moneda en el cerebro de Random?" [9] En este caso, todavía está disponible una solución de dos preguntas mediante el uso de preguntas autorreferenciales del estilo empleado en Rabern y Rabern (2008).
Una vez más, ni Verdadero ni Falso pueden responder esta pregunta dados sus compromisos de decir la verdad y mentir, respectivamente. Se ven obligados a responder ja por si acaso la respuesta que se comprometen a dar es da y esto no lo pueden hacer. Al igual que antes, sufrirán una explosión en la cabeza. Por el contrario, Random dirá sin pensar sus tonterías y responderá aleatoriamente ja o da . Uzquiano (2010) también utiliza esta asimetría para proporcionar una solución de dos preguntas al rompecabezas modificado. [9] [10] Sin embargo, la propia modificación del rompecabezas por parte de Uzquiano, que elimina esta asimetría al permitir que Random responda "ja", "da" o permanezca en silencio, no se puede resolver en menos de tres preguntas. [11]