En geometría , un punto es una idealización abstracta de una posición exacta , sin tamaño, en el espacio físico , [1] o su generalización a otras clases de espacios matemáticos . Como objetos de dimensión cero, los puntos generalmente se consideran los elementos indivisibles fundamentales que componen el espacio, del cual consisten curvas unidimensionales , superficies bidimensionales y objetos de dimensiones superiores; por el contrario, un punto puede estar determinado por la intersección de dos curvas o tres superficies, llamado vértice o esquina .
En la geometría euclidiana clásica , un punto es una noción primitiva , definida como "aquello que no tiene parte". Los puntos y otras nociones primitivas no se definen en términos de otros conceptos, sino sólo por ciertas propiedades formales, llamadas axiomas , que deben satisfacer; por ejemplo, "hay exactamente una línea recta que pasa por dos puntos distintos" . Como diagramas físicos, las figuras geométricas se hacen con herramientas como un compás , un escribano o un bolígrafo, cuya punta puntiaguda puede marcar un pequeño punto o perforar un pequeño agujero que representa un punto, o puede dibujarse a lo largo de una superficie para representar una curva.
Desde el advenimiento de la geometría analítica , los puntos a menudo se definen o representan en términos de coordenadas numéricas . En matemáticas modernas, un espacio de puntos suele tratarse como un conjunto , un conjunto de puntos .
Un punto aislado es un elemento de algún subconjunto de puntos que tiene alguna vecindad que no contiene otros puntos del subconjunto.
Los puntos, considerados en el marco de la geometría euclidiana , son uno de los objetos más fundamentales. Euclides definió originalmente el punto como "aquello que no tiene parte". [2] En el plano euclidiano bidimensional , un punto está representado por un par ordenado ( x , y ) de números, donde el primer número representa convencionalmente la horizontal y a menudo se denota por x , y el segundo número representa convencionalmente la vertical. y a menudo se denota por y . Esta idea se generaliza fácilmente al espacio euclidiano tridimensional , donde un punto está representado por un triplete ordenado ( x , y , z ) con el tercer número adicional que representa la profundidad y, a menudo, denotado por z . Otras generalizaciones están representadas por un grupo irregular ordenado de n términos, ( a 1 , a 2 ,… , a n ) donde n es la dimensión del espacio en el que se encuentra el punto. [3]
Muchas construcciones dentro de la geometría euclidiana consisten en una colección infinita de puntos que se ajustan a ciertos axiomas. Esto suele estar representado por un conjunto de puntos; Por ejemplo, una recta es un conjunto infinito de puntos de la forma
Además de definir puntos y construcciones relacionadas con puntos, Euclides también postuló una idea clave sobre los puntos: que dos puntos cualesquiera pueden conectarse mediante una línea recta. [5] Esto se confirma fácilmente con las extensiones modernas de la geometría euclidiana y tuvo consecuencias duraderas en su introducción, permitiendo la construcción de casi todos los conceptos geométricos conocidos en ese momento. Sin embargo, la postulación de puntos de Euclides no fue completa ni definitiva, y ocasionalmente asumió hechos sobre puntos que no se derivaban directamente de sus axiomas, como el orden de los puntos en la recta o la existencia de puntos específicos. A pesar de esto, las ampliaciones modernas del sistema sirven para eliminar estos supuestos. [ cita necesaria ]
Existen varias definiciones desiguales de dimensión en matemáticas. En todas las definiciones comunes, un punto es de dimensión 0.
La dimensión de un espacio vectorial es el tamaño máximo de un subconjunto linealmente independiente . En un espacio vectorial que consta de un solo punto (que debe ser el vector cero 0 ), no existe un subconjunto linealmente independiente. El vector cero no es en sí mismo linealmente independiente, porque existe una combinación lineal no trivial que lo convierte en cero: .
La dimensión topológica de un espacio topológico se define como el valor mínimo de n , de modo que cada cubierta abierta finita de admite una cubierta abierta finita de la cual refina en la que ningún punto está incluido en más de n +1 elementos. Si no existe tal mínimo n , se dice que el espacio tiene una dimensión de cobertura infinita.
Un punto es de dimensión cero con respecto a la dimensión de cobertura porque cada cobertura abierta del espacio tiene un refinamiento que consiste en un único conjunto abierto.
Sea X un espacio métrico . Si S ⊂ X y d ∈ [0, ∞), el contenido de Hausdorff d -dimensional de S es el mínimo del conjunto de números δ ≥ 0 tal que hay alguna colección (indexada) de bolas que cubren S con r i > 0 para cada i ∈ I que satisface
La dimensión de Hausdorff de X está definida por
Un punto tiene dimensión de Hausdorff 0 porque puede estar cubierto por una sola bola de radio arbitrariamente pequeño.
Aunque la noción de punto generalmente se considera fundamental en la geometría y la topología convencionales, hay algunos sistemas que la renuncian, por ejemplo, la geometría no conmutativa y la topología sin sentido . Un espacio "sin sentido" o "sin puntos" no se define como un conjunto , sino mediante alguna estructura ( algebraica o lógica respectivamente) que se parece a un espacio funcional bien conocido en el conjunto: un álgebra de funciones continuas o un álgebra de conjuntos respectivamente. . Más precisamente, tales estructuras generalizan espacios de funciones bien conocidos de tal manera que la operación "tomar un valor en este punto" puede no estar definida. [6] Otra tradición parte de algunos libros de AN Whitehead en los que la noción de región se asume como primitiva junto con la de inclusión o conexión . [7]
A menudo, en física y matemáticas, es útil pensar que un punto tiene masa o carga distinta de cero (esto es especialmente común en el electromagnetismo clásico , donde los electrones se idealizan como puntos con carga distinta de cero). La función delta de Dirac , o función δ , es (informalmente) una función generalizada en la recta de números reales que es cero en todas partes excepto en cero, con una integral de uno en toda la recta real. [8] A veces se piensa en la función delta como un pico infinitamente alto e infinitamente delgado en el origen, con un área total uno debajo del pico, y representa físicamente una masa puntual o carga puntual idealizada . [9] Fue introducido por el físico teórico Paul Dirac . En el contexto del procesamiento de señales , a menudo se lo denomina símbolo (o función) de impulso unitario . [10] Su análogo discreto es la función delta de Kronecker que generalmente se define en un dominio finito y toma valores 0 y 1.
