El problema de Lambert

En mecánica celeste , el problema de Lambert se ocupa de la determinación de una órbita a partir de dos vectores de posición y el tiempo de vuelo, planteado en el siglo XVIII por Johann Heinrich Lambert y resuelto formalmente con una prueba matemática por Joseph-Louis Lagrange . Tiene importantes aplicaciones en las áreas de encuentro, orientación, guía y determinación preliminar de la órbita. ^[1]

Supongamos que se observa que un cuerpo bajo la influencia de una fuerza gravitatoria central viaja desde el punto P ₁ en su trayectoria cónica hasta un punto P ₂ en un tiempo T . El tiempo de vuelo está relacionado con otras variables por el teorema de Lambert, que establece:

El tiempo de transferencia de un cuerpo que se mueve entre dos puntos en una trayectoria cónica es una función únicamente de la suma de las distancias de los dos puntos desde el origen de la fuerza, la distancia lineal entre los puntos y el semieje mayor de la cónica. ^[2]

Dicho de otra manera, el problema de Lambert es el problema del valor límite para la ecuación diferencial del problema de dos cuerpos cuando la masa de un cuerpo es infinitesimal; este subconjunto del problema de dos cuerpos se conoce como la órbita de Kepler . $${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}=-\mu {\frac {\hat {\mathbf {r} }}{r^{2}}}}$$

La formulación precisa del problema de Lambert es la siguiente:

Se dan dos tiempos diferentes y dos vectores de posición . ${\displaystyle t_{1},\,t_{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}=r_{1}{\hat {\mathbf {r} }}_{1},\,\mathbf {r} _{2}=r_{2}{\hat {\mathbf {r} }}_{2}}$

Encuentre la solución que satisface la ecuación diferencial anterior para la cual ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} (t_{1})=\mathbf {r} _{1}\\\mathbf {r} (t_{2})=\mathbf {r} _{2}\end{aligned}}}$$

Análisis geométrico inicial

Figura 1: es el centro de atracción, es el punto correspondiente al vector , y es el punto correspondiente al vector ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle {\bar {r}}_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle {\bar {r}}_{2}}$

Figura 2: Hipérbola con los puntos y como focos pasando por ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}}$

Figura 3: Elipse con los puntos y como focos pasando por y ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$

Los tres puntos

• ${\displaystyle F_{1}}$, el centro de atracción,
• ${\displaystyle P_{1}}$, el punto correspondiente al vector , ${\displaystyle {\bar {r}}_{1}}$
• ${\displaystyle P_{2}}$, el punto correspondiente al vector , ${\displaystyle {\bar {r}}_{2}}$

forman un triángulo en el plano definido por los vectores y como se ilustra en la figura 1. La distancia entre los puntos y es , la distancia entre los puntos y es y la distancia entre los puntos y es . El valor es positivo o negativo dependiendo de cuál de los puntos y esté más alejado del punto . El problema geométrico a resolver es encontrar todas las elipses que pasan por los puntos y y tienen un foco en el punto ${\displaystyle {\bar {r}}_{1}}$ ${\displaystyle {\bar {r}}_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle 2d}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle r_{1}=r_{m}-A}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}=r_{m}+A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}}$

Los puntos , y definen una hipérbola que pasa por el punto con focos en los puntos y . El punto está en la rama izquierda o derecha de la hipérbola dependiendo del signo de . El semieje mayor de esta hipérbola es y la excentricidad es . Esta hipérbola se ilustra en la figura 2. ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle |A|}$ ${\displaystyle E}$ ${\textstyle {\frac {d}{|A|}}}$

Relativo al sistema de coordenadas canónico usual definido por los ejes mayor y menor de la hipérbola su ecuación es

con

Para cualquier punto de la misma rama de la hipérbola, la diferencia entre las distancias al punto y al punto es ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle P_{1}}$

Para cualquier punto de la otra rama de la hipérbola la relación correspondiente es ${\displaystyle F_{2}}$

es decir

Pero esto significa que los puntos y ambos están en la elipse que tiene los puntos focales y y el semieje mayor. ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle F_{2}}$

La elipse correspondiente a un punto seleccionado arbitrario se muestra en la figura 3. ${\displaystyle F_{2}}$

Solución para una supuesta órbita de transferencia elíptica

En primer lugar se separan los casos de tener el polo orbital en la dirección o en la dirección . En el primer caso el ángulo de transferencia para el primer paso por estará en el intervalo y en el segundo caso estará en el intervalo . Luego continuará pasando por cada revolución orbital. ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}}$ ${\displaystyle -\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$ ${\displaystyle 0<\alpha <180^{\circ }}$ ${\displaystyle 180^{\circ }<\alpha <360^{\circ }}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ ${\displaystyle {\bar {r}}_{2}}$

En caso de que sea cero, es decir y tengan direcciones opuestas, todos los planos orbitales que contienen la línea correspondiente son igualmente adecuados y el ángulo de transferencia para el primer paso será . ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\bar {r}}_{2}}$ ${\displaystyle 180^{\circ }}$

Para cualquier con el triángulo formado por , y son como en la figura 1 con ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle 0<\alpha <\infty }$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}}$

y el semieje mayor (¡con signo!) de la hipérbola discutida anteriormente es

La excentricidad (¡con signo!) de la hipérbola es

y el semieje menor es

Las coordenadas del punto relativas al sistema de coordenadas canónicas de la hipérbola son (nótese que tiene el signo de ) ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle r_{2}-r_{1}}$

dónde

Usando la coordenada y del punto en la otra rama de la hipérbola como parámetro libre, la coordenada x de es (note que tiene el signo de ) ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle r_{2}-r_{1}}$

El semieje mayor de la elipse que pasa por los puntos y tiene los focos y es ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle F_{2}}$

La distancia entre los focos es

y la excentricidad es consecuentemente

La verdadera anomalía en el punto depende de la dirección del movimiento, es decir, si es positiva o negativa. En ambos casos se tiene que ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle \sin \alpha }$

dónde

es el vector unitario en la dirección de a expresado en las coordenadas canónicas. ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}}$

Si es positivo entonces ${\displaystyle \sin \alpha }$

Si es negativo entonces ${\displaystyle \sin \alpha }$

Con

• semieje mayor
• excentricidad
• anomalía verdadera inicial

Al ser funciones conocidas del parámetro y, el tiempo que tarda la anomalía verdadera en aumentar con la cantidad también es una función conocida de y. Si está en el rango que se puede obtener con una órbita elíptica de Kepler, el valor y correspondiente se puede encontrar utilizando un algoritmo iterativo. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle t_{2}-t_{1}}$

En el caso especial de que (o muy cerca) y la hipérbola con dos ramas se deteriore en una sola línea ortogonal a la línea entre y con la ecuación ${\displaystyle r_{1}=r_{2}}$ ${\displaystyle A=0}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$

Las ecuaciones ( 11 ) y ( 12 ) se reemplazan entonces por

( 14 ) se sustituye por

y ( 15 ) se reemplaza por

Ejemplo numérico

Figura 4: El tiempo de transferencia con * r ₁ = 10000 km * r ₂ = 16000 km * α = 120° en función de y cuando y varía de −20000 km a 50000 km. El tiempo de transferencia disminuye de 20741 segundos con y = −20000 km a 2856 segundos con y = 50000 km. Para cualquier valor entre 2856 segundos y 20741 segundos, el problema de Lambert se puede resolver utilizando un valor de y entre −20000 km y 50000 km.

Supongamos los siguientes valores para una órbita de Kepler centrada en la Tierra

• r1 = ₁₀₀₀₀ kilometros
• r2 = 16000 _kilómetros
• α = 100°

Estos son los valores numéricos que corresponden a las figuras 1, 2 y 3.

Seleccionando el parámetro y como 30000 km se obtiene un tiempo de transferencia de 3072 segundos suponiendo que la constante gravitacional es = 398603 km ³ /s ² . Los elementos orbitales correspondientes son ${\displaystyle \mu }$

• semieje mayor = 23001 km
• excentricidad = 0,566613
• anomalía verdadera en el tiempo t ₁ = −7,577°
• anomalía verdadera en el tiempo t ₂ = 92,423°

Este valor y corresponde a la Figura 3.

Con

• r1 = ₁₀₀₀₀ kilometros
• r2 = 16000 _kilómetros
• α = 260°

se obtiene la misma elipse con la dirección opuesta de movimiento, es decir

• anomalía verdadera en el tiempo t ₁ = 7,577°
• anomalía verdadera en el tiempo t ₂ = 267,577° = 360° − 92,423°

y un tiempo de transferencia de 31645 segundos.

Los componentes de velocidad radial y tangencial se pueden calcular con las fórmulas (véase el artículo sobre la órbita de Kepler ) $${\displaystyle V_{r}={\sqrt {\frac {\mu }{p}}}\,e\sin(\theta )}$$ $${\displaystyle V_{t}={\sqrt {\frac {\mu }{p}}}\left(1+e\cos \theta \right).}$$

Los tiempos de transferencia de P ₁ a P ₂ para otros valores de y se muestran en la Figura 4.

Aplicaciones prácticas

El uso más típico de este algoritmo para resolver el problema de Lambert es, sin duda, el diseño de misiones interplanetarias. En una primera aproximación, se puede considerar que una nave espacial que viaja desde la Tierra a Marte, por ejemplo, sigue una órbita elíptica heliocéntrica de Kepler desde la posición de la Tierra en el momento del lanzamiento hasta la posición de Marte en el momento de la llegada. Al comparar el vector de velocidad inicial y final de esta órbita heliocéntrica de Kepler con los vectores de velocidad correspondientes para la Tierra y Marte, se puede obtener una estimación bastante buena de la energía de lanzamiento requerida y de las maniobras necesarias para la captura en Marte. Este enfoque se utiliza a menudo junto con la aproximación cónica parcheada .

Este es también un método para determinar la órbita . Si se conocen con buena precisión dos posiciones de una nave espacial en momentos diferentes (por ejemplo, mediante una posición GPS ), se puede derivar la órbita completa con este algoritmo, es decir, se obtiene una interpolación y una extrapolación de estas dos posiciones fijas.

Parametrización de las trayectorias de transferencia

Es posible parametrizar todas las órbitas posibles que pasen por los dos puntos y utilizando un único parámetro . ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$ ${\displaystyle \gamma }$

El recto semilato está dado por ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle p={\frac {\left(\left|\mathbf {r} _{1}\right|+\left|\mathbf {r} _{2}\right|\right)\left(\left|\mathbf {r} _{1}\right|\left|\mathbf {r} _{2}\right|-\mathbf {r} _{1}\cdot \mathbf {r} _{2}+\gamma {\hat {\mathbf {N} }}\cdot (\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2})\right)}{\left|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}\right|^{2}}}}$$

El vector de excentricidad viene dado por donde es la normal a la órbita. Existen dos valores especiales de ${\displaystyle \mathbf {e} }$ $${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {\left(\left(|\mathbf {r} _{1}|-|\mathbf {r} _{2}|\right)\left(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}\right)-\gamma \left(r_{1}+r_{2}\right){\hat {\mathbf {N} }}\times (\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})\right)}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{2}}}}$$ ${\textstyle {\hat {\mathbf {N} }}=\pm {\frac {\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}}{\left|\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}\right|}}}$ ${\displaystyle \gamma }$

El extremal : ${\displaystyle \gamma }$ $${\displaystyle \gamma _{0}=-{\frac {\left|\mathbf {r} _{1}\right|\left|\mathbf {r} _{2}\right|-\mathbf {r} _{1}\cdot \mathbf {r} _{2}}{{\hat {\mathbf {N} }}\cdot (\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2})}}}$$

La que produce una parábola: ${\displaystyle \gamma }$ $${\displaystyle \gamma _{p}={\frac {\sqrt {2\left(\left|\mathbf {r} _{1}\right|\left|\mathbf {r} _{2}\right|-\mathbf {r} _{1}\cdot \mathbf {r} _{2}\right)}}{\left|\mathbf {r} _{1}+\mathbf {r} _{2}\right|}}}$$

Código fuente abierto

• Desde el centro de MATLAB
• PyKEP es una biblioteca de Python para la mecánica de vuelos espaciales y la astrodinámica (contiene un solucionador de Lambert, implementado en C++ y expuesto a Python a través de Boost Python)

Referencias

1. ER Lancaster y RC Blanchard, Una forma unificada del teorema de Lambert, Centro de vuelo espacial Goddard, 1968
2. James F. Jordon, La aplicación del teorema de Lambert a la solución de problemas de transferencia interplanetaria, Laboratorio de Propulsión a Chorro, 1964

Enlaces externos

• El teorema de Lambert a través de una lente afín . Artículo de Alain Albouy que contiene un análisis moderno del problema de Lambert y una cronología histórica. arXiv :1711.03049
• Revisión del problema de Lambert . Documento de Dario Izzo que contiene un algoritmo para proporcionar una estimación precisa del método iterativo del jefe de hogar que es tan preciso como el procedimiento de Gooding y, al mismo tiempo, computacionalmente más eficiente. doi :10.1007/s10569-014-9587-y
• Teorema de Lambert: una solución completa en serie . Documento de James D. Thorne con una solución algebraica directa basada en la reversión de series hipergeométricas de todos los casos hiperbólicos y elípticos del problema de Lambert. ^[1]

1. THORNE, JAMES (17 de agosto de 1990). "Reversión/inversión en serie de la función temporal de Lambert". Conferencia de Astrodinámica . Reston, Virginia: Instituto Americano de Aeronáutica y Astronáutica. doi :10.2514/6.1990-2886.