Principio de mínima restricción de Gauss

Formulación en mecánica clásica.

Gauss y Hertz idearon los principios variacionales de la mecánica.

El principio de mínima restricción es una formulación variacional de la mecánica clásica enunciada por Carl Friedrich Gauss en 1829, equivalente a todas las demás formulaciones de la mecánica analítica . Intuitivamente, dice que la aceleración de un sistema físico restringido será lo más similar posible a la del correspondiente sistema no restringido. ^[1]

Declaración

El principio de mínima restricción es un principio de mínimos cuadrados que establece que las verdaderas aceleraciones de un sistema mecánico de masas son el mínimo de la cantidad. ${\displaystyle n}$

${\displaystyle Z\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\sum _{j=1}^{n}m_{j}\cdot \left|\,{\ddot {\mathbf {r} }}_{j}-{\frac {\mathbf {F} _{j}}{m_{j}}}\right|^{2}}$

donde la j -ésima partícula tiene masa , vector de posición y fuerza aplicada sin restricción que actúa sobre la masa. ${\displaystyle m_{j}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{j}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{j}}$

La notación indica la derivada temporal de una función vectorial , es decir, la posición. Las aceleraciones correspondientes satisfacen las restricciones impuestas, que en general dependen del estado actual del sistema . ${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ ${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}_{j}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {r} _{j}(t),{\dot {\mathbf {r} }}_{j}(t)\}}$

Se recuerda el hecho de que debido a la aplicación de fuerzas activas y reactivas (restricción) , con la resultante , un sistema experimentará una aceleración . ${\displaystyle \mathbf {F} _{j}}$ ${\displaystyle \mathbf {F_{c}} _{j}}$ ${\textstyle \mathbf {R} =\sum _{j=1}^{n}\mathbf {F} _{j}+\mathbf {F_{c}} _{j}}$ ${\textstyle {\ddot {\mathbf {r} }}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\mathbf {F} _{j}}{m_{j}}}+{\frac {\mathbf {F_{c}} _{j}}{m_{j}}}=\sum _{j=1}^{n}\mathbf {a} _{j}+\mathbf {a_{c}} _{j}}$

Conexiones con otras formulaciones.

El principio de Gauss es equivalente al principio de D'Alembert .

El principio de mínima restricción es cualitativamente similar al principio de Hamilton , que establece que el verdadero camino seguido por un sistema mecánico es un extremo de la acción . Sin embargo, el principio de Gauss es un principio mínimo verdadero (local) , mientras que el otro es un principio extremo .

Principio de Hertz de mínima curvatura

El principio de curvatura mínima de Hertz es un caso especial del principio de Gauss, restringido por las tres condiciones de que no hay fuerzas aplicadas externamente, no hay interacciones (que generalmente se pueden expresar como energía potencial ) y todas las masas son iguales. Sin pérdida de generalidad, las masas pueden igualarse a uno. En estas condiciones, la cantidad minimizada de Gauss se puede escribir

${\displaystyle Z=\sum _{j=1}^{n}\left|{\ddot {\mathbf {r} }}_{j}\right|^{2}}$

La energía cinética también se conserva en estas condiciones. ${\displaystyle T}$

${\displaystyle T\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}\left|{\dot {\mathbf {r} }}_{j}\right|^{2}}$

Dado que el elemento de línea en el espacio dimensional de las coordenadas está definido ${\displaystyle ds^{2}}$ ${\displaystyle 3N}$

${\displaystyle ds^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{j=1}^{n}\left|d\mathbf {r} _{j}\right|^{2}}$

la conservación de la energía también se puede escribir

${\displaystyle \left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}=2T}$

Al dividir por se obtiene otra cantidad mínima ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle 2T}$

${\displaystyle K\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{j=1}^{n}\left|{\frac {d^{2}\mathbf {r} _{j}}{ds^{2}}}\right|^{2}}$

Dado que es la curvatura local de la trayectoria en el espacio dimensional de las coordenadas, la minimización de es equivalente a encontrar la trayectoria de menor curvatura (una geodésica ) que sea consistente con las restricciones. ${\displaystyle {\sqrt {K}}}$ ${\displaystyle 3n}$ ${\displaystyle K}$

El principio de Hertz es también un caso especial de la formulación de Jacobi del principio de acción mínima .

Filosofía

Hertz diseñó el principio para eliminar el concepto de fuerza y ​​dinámica, de modo que la física consistiría exclusivamente en cinemática, en puntos materiales en movimiento restringido. Criticó la "oscuridad lógica" que rodea la idea de fuerza.

Quisiera mencionar la experiencia de que es extremadamente difícil exponer a oyentes reflexivos esa misma introducción a la mecánica sin sentirnos avergonzados de vez en cuando, sin sentirnos tentados de vez en cuando a disculparnos, sin querer pasar lo más rápidamente posible a los rudimentos y a los ejemplos. que hablan por sí solos. Me imagino que el propio Newton debió sentir esta vergüenza...

Para reemplazar el concepto de fuerza, propuso que la aceleración de las masas visibles debe explicarse, no por la fuerza, sino por restricciones geométricas sobre las masas visibles y sus vínculos geométricos con las masas invisibles. En esto, se consideraba a sí mismo como una continuación de la tradición de la filosofía mecánica cartesiana , como la explicación de Boltzmann del calor mediante el movimiento atómico y la explicación de Maxwell del electromagnetismo mediante el movimiento del éter . Aunque tanto los átomos como el éter sólo eran observables a través de sus efectos, lograron explicar mecánicamente fenómenos aparentemente no mecánicos. Al tratar de explicar la "fuerza mecánica", Hertz estaba "mecanizando la mecánica clásica". ^[2]

Ver también

• Ecuación de movimiento de Appell

Literatura

• Gauss, CF (1829). "Über ein neues allgemeines Grundgesetz der Mechanik". Diario de Crelle . 1829 (4): 232–235. doi :10.1515/crll.1829.4.232. S2CID  199545985.
• Gauss, Carl Friedrich. Werke [ Obras completas ]. vol. 5. pág. 23–28.
• Hertz, Heinrich (1896). Principios de la Mecánica . Artículos varios. vol. III. Macmillan.
• Lanczos, Cornelio (1986). "IV §8 Principio de mínima restricción de Gauss". Los principios variacionales de la mecánica (Reimpresión de la Universidad de Toronto 1970, 4ª ed.). Mensajero Dover. págs. 106-110. ISBN 978-0-486-65067-8.
• Papastavridis, John G. (2014). "6.6 El principio de Gauss (tratamiento extensivo)". Mecánica analítica: un tratado completo sobre la dinámica de sistemas restringidos (Reimpresión ed.). Singapur, Hackensack Nueva Jersey, Londres: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. págs. 911–930. ISBN 978-981-4338-71-4.

Referencias

1. Azad, Morteza; Babič, Jan; Mistry, Michael (1 de octubre de 2019). "Efectos de la matriz de ponderación sobre la manipulabilidad dinámica de los robots". Robots Autónomos . 43 (7): 1867–1879. doi : 10.1007/s10514-018-09819-y . hdl : 20.500.11820/855c5529-d9cd-434d-8f8b-4a61248137a2 . ISSN  1573-7527.
2. Klein, Martin J. (1974), Seeger, Raymond J.; Cohen, Robert S. (eds.), "Boltzmann, monociclos y explicación mecánica", Fundamentos filosóficos de la ciencia , vol. 11, Dordrecht: Springer Países Bajos, págs. 155-175, doi :10.1007/978-94-010-2126-5_8, ISBN 978-90-277-0376-7, recuperado el 28 de mayo de 2024

Enlaces externos

• [1] Una discusión moderna y prueba del principio de Gauss.
• Principio de Gauss en la Enciclopedia de Matemáticas
• Principio de Hertz en la Enciclopedia de Matemáticas