En geometría , una cadena de Steiner es un conjunto de n círculos, todos los cuales son tangentes a dos círculos dados que no se intersecan (azul y rojo en la Figura 1), donde n es finito y cada círculo en la cadena es tangente a los círculos anterior y siguiente en la cadena. En las cadenas de Steiner cerradas habituales, el primer y el último ( n -ésimo) círculo también son tangentes entre sí; por el contrario, en las cadenas de Steiner abiertas , no necesitan serlo. Los círculos dados α y β no se intersecan, pero por lo demás no están restringidos; el círculo más pequeño puede estar completamente dentro o fuera del círculo más grande. En estos casos, los centros de los círculos de la cadena de Steiner se encuentran en una elipse o una hipérbola , respectivamente.
Las cadenas de Steiner reciben su nombre de Jakob Steiner , quien las definió en el siglo XIX y descubrió muchas de sus propiedades. Un resultado fundamental es el porismo de Steiner , que establece:
El método de inversión de círculos es útil para tratar cadenas de Steiner. Dado que conserva tangencias, ángulos y círculos, la inversión transforma una cadena de Steiner en otra con el mismo número de círculos. Una elección particular de inversión transforma los círculos dados α y β en círculos concéntricos; en este caso, todos los círculos de la cadena de Steiner tienen el mismo tamaño y pueden "rodar" en el anillo entre los círculos de manera similar a cojinetes de bolas . Esta configuración estándar permite derivar varias propiedades de las cadenas de Steiner, por ejemplo, sus puntos de tangencia siempre se encuentran en un círculo. Existen varias generalizaciones de las cadenas de Steiner, las más notables son las cadenas hexlet de Soddy y Pappus . [1]
Los dos círculos dados α y β no pueden intersecarse; por lo tanto, el círculo dado más pequeño debe estar dentro o fuera del más grande. Los círculos generalmente se muestran como un anillo , es decir, con el círculo dado más pequeño dentro del más grande. En esta configuración, los círculos de la cadena de Steiner son externamente tangentes al círculo dado interior e internamente tangentes al círculo exterior. Sin embargo, el círculo más pequeño también puede estar completamente fuera del más grande (Figura 2). Los círculos negros de la Figura 2 satisfacen las condiciones para una cadena de Steiner cerrada: todos son tangentes a los dos círculos dados y cada uno es tangente a sus vecinos en la cadena. En esta configuración, los círculos de la cadena de Steiner tienen el mismo tipo de tangencia a ambos círculos dados, ya sea externa o internamente tangentes a ambos. Si los dos círculos dados son tangentes en un punto, la cadena de Steiner se convierte en una cadena de Pappus infinita , que a menudo se analiza en el contexto del arbelos ( cuchillo de zapatero ), una figura geométrica hecha de tres círculos. No existe un nombre general para una secuencia de círculos tangentes a dos círculos dados que se intersecan en dos puntos.
Los dos círculos dados α y β tocan los n círculos de la cadena de Steiner, pero cada círculo C k de una cadena de Steiner toca solo cuatro círculos: α , β y sus dos vecinos, C k −1 y C k +1 . Por defecto, se supone que las cadenas de Steiner son cerradas , es decir, el primer y el último círculo son tangentes entre sí. Por el contrario, una cadena de Steiner abierta es aquella en la que el primer y el último círculo, C 1 y C n , no son tangentes entre sí; estos círculos son tangentes solo a tres círculos. Las cadenas de Steiner multicíclicas envuelven el círculo interior más de una vez antes de cerrarse, es decir, antes de ser tangentes al círculo inicial.
Las cadenas de Steiner cerradas son los sistemas de círculos obtenidos como representación del teorema de empaquetamiento circular de una bipirámide .
El tipo más simple de cadena de Steiner es una cadena cerrada de n círculos de igual tamaño que rodean un círculo inscrito de radio r ; la cadena de círculos está rodeada a su vez por un círculo circunscrito de radio R . Los círculos inscrito y circunscrito dados son concéntricos, y los círculos de la cadena de Steiner se encuentran en el anillo entre ellos. Por simetría, el ángulo 2 θ entre los centros de los círculos de la cadena de Steiner es de 360°/ n . Debido a que los círculos de la cadena de Steiner son tangentes entre sí, la distancia entre sus centros es igual a la suma de sus radios, aquí el doble de su radio ρ . La bisectriz (verde en la Figura) crea dos triángulos rectángulos, con un ángulo central de θ = 180°/ n . El seno de este ángulo puede escribirse como la longitud de su segmento opuesto, dividido por la hipotenusa del triángulo rectángulo
Dado que θ se conoce a partir de n , esto proporciona una ecuación para el radio desconocido ρ de los círculos de la cadena de Steiner.
Los puntos tangentes de un círculo de cadena de Steiner con los círculos interior y exterior dados se encuentran en una línea que pasa por su centro común; por lo tanto, el radio exterior R = r + 2 ρ .
Estas ecuaciones proporcionan un criterio para la viabilidad de una cadena de Steiner para dos círculos concéntricos dados. Una cadena de Steiner cerrada de n círculos requiere que la relación de los radios R / r de los círculos dados sea exactamente igual
Como se muestra a continuación, este criterio de relación de radios para círculos concéntricos dados se puede extender a todos los tipos de círculos dados mediante la distancia inversa δ de los dos círculos dados. Para círculos concéntricos, esta distancia se define como un logaritmo de la relación de sus radios.
Utilizando la solución para círculos concéntricos, el criterio general para una cadena de Steiner de n círculos se puede escribir
Si una cadena de Steiner anular multicíclica tiene n círculos en total y da m vueltas antes de cerrarse, el ángulo entre los círculos de la cadena de Steiner es igual a
En lo demás, el criterio de viabilidad no cambia.
La inversión de círculo transforma una cadena de Steiner en otra con el mismo número de círculos.
En la cadena transformada, los puntos tangentes entre círculos adyacentes de la cadena de Steiner se encuentran todos en un círculo, es decir, el círculo concéntrico a medio camino entre los dos círculos concéntricos fijos. Dado que las tangencias y los círculos se conservan bajo inversión, esta propiedad de todas las tangencias que se encuentran en un círculo también es cierta en la cadena original. Esta propiedad también se comparte con la cadena de círculos de Pappus, que puede interpretarse como un caso límite especial de la cadena de Steiner.
En la cadena transformada, las líneas tangentes desde O a los círculos de la cadena de Steiner están separadas por ángulos iguales. En la cadena original, esto corresponde a ángulos iguales entre los círculos tangentes que pasan por el centro de inversión utilizado para transformar los círculos originales en un par concéntrico.
En la cadena transformada, las n líneas que conectan los pares de puntos tangentes de los círculos de Steiner con los círculos concéntricos pasan todas por O , el centro común. De manera similar, las n líneas tangentes a cada par de círculos adyacentes en la cadena de Steiner también pasan por O. Dado que las líneas que pasan por el centro de inversión son invariantes bajo inversión, y dado que la tangencia y la concurrencia se conservan bajo inversión, las 2 n líneas que conectan los puntos correspondientes en la cadena original también pasan por un único punto , O.
Una cadena de Steiner entre dos círculos que no se intersecan siempre se puede transformar en otra cadena de Steiner de círculos de igual tamaño intercalados entre dos círculos concéntricos. Por lo tanto, cualquier cadena de Steiner de este tipo pertenece a una familia infinita de cadenas de Steiner relacionadas por la rotación de la cadena transformada alrededor de O , el centro común de los círculos delimitadores transformados.
Los centros de los círculos de una cadena de Steiner se encuentran en una sección cónica . Por ejemplo, si el círculo más pequeño dado se encuentra dentro del más grande, los centros se encuentran en una elipse . Esto es cierto para cualquier conjunto de círculos que sean internamente tangentes a un círculo dado y externamente tangentes al otro; tales sistemas de círculos aparecen en la cadena de Pappus , el problema de Apolonio y el hexlete tridimensional de Soddy . De manera similar, si algunos círculos de la cadena de Steiner son externamente tangentes a ambos círculos dados, sus centros deben estar en una hipérbola, mientras que aquellos que son internamente tangentes a ambos se encuentran en una hipérbola diferente.
Los círculos de la cadena de Steiner son tangentes a dos círculos fijos, denotados aquí como α y β , donde β está encerrado por α . Sean los radios de estos dos círculos denotados como r α y r β , respectivamente, y sean sus respectivos centros los puntos A y B . Sean el radio, el diámetro y el punto central del k ésimo círculo de la cadena de Steiner denotados como r k , d k y P k , respectivamente.
Todos los centros de los círculos de la cadena de Steiner están ubicados en una elipse común , por la siguiente razón. [2] La suma de las distancias desde el punto central del círculo k -ésimo de la cadena de Steiner hasta los dos centros A y B de los círculos fijos es igual a una constante
Así, para todos los centros de los círculos de la cadena de Steiner, la suma de las distancias a A y B es igual a la misma constante, r α + r β . Esto define una elipse, cuyos dos focos son los puntos A y B , los centros de los círculos, α y β , que encierran la cadena de círculos de Steiner.
La suma de las distancias a los focos es igual al doble del semieje mayor a de una elipse; por lo tanto,
Sea p igual a la distancia entre los focos A y B. Entonces, la excentricidad e está definida por 2 ae = p , o
A partir de estos parámetros se puede determinar el semieje menor b y el semilato recto L
Por lo tanto, la elipse puede describirse mediante una ecuación en términos de su distancia d a un foco.
donde θ es el ángulo con la línea que une los dos focos.
Si una cadena de Steiner tiene un número par de círculos, entonces dos círculos diametralmente opuestos en la cadena pueden tomarse como los dos círculos dados de una nueva cadena de Steiner a la que pertenecen los círculos originales. Si la cadena de Steiner original tiene n círculos en m vueltas, y la nueva cadena tiene p círculos en q vueltas, entonces la ecuación es válida
Un ejemplo sencillo se da en cadenas de Steiner de cuatro círculos ( n = 4) y una vuelta ( m = 1). En este caso, los círculos dados y los círculos de la cadena de Steiner son equivalentes en el sentido de que ambos tipos de círculos son tangentes a otros cuatro; de manera más general, los círculos de la cadena de Steiner son tangentes a cuatro círculos, pero los dos círculos dados son tangentes a n círculos. En este caso, cualquier par de miembros opuestos de la cadena de Steiner puede seleccionarse como los círculos dados de otra cadena de Steiner que involucre a los círculos dados originales. Como m = p = 1 y n = q = 4, se satisface la ecuación de Steiner:
La generalización más simple de una cadena de Steiner es permitir que los círculos dados se toquen o se intersequen entre sí. En el primer caso, esto corresponde a una cadena de Pappus , que tiene un número infinito de círculos.
El hexlet de Soddy es una generalización tridimensional de una cadena de Steiner de seis círculos. Los centros de las seis esferas (el hexlet ) recorren la misma elipse que los centros de la cadena de Steiner correspondiente. La envolvente de las esferas del hexlet es un ciclidro de Dupin , la inversión de un toro . Las seis esferas no solo son tangentes a la esfera interna y externa, sino también a otras dos esferas, centradas por encima y por debajo del plano de los centros del hexlet.
Otra generalización son los anillos múltiples de cadenas de Steiner. Una cadena de Steiner ordinaria se obtiene invirtiendo una cadena anular de círculos tangentes delimitada por dos círculos concéntricos. Esto se puede generalizar a la inversión de tres o más círculos concéntricos que intercalan cadenas anulares de círculos tangentes.
Las cadenas de Steiner jerárquicas son otra generalización. Si los dos círculos dados de una cadena de Steiner ordinaria están anidados, es decir, si uno se encuentra completamente dentro del otro, entonces el círculo dado más grande circunscribe los círculos de la cadena de Steiner. En una cadena de Steiner jerárquica, cada círculo de una cadena de Steiner es en sí mismo el círculo dado que circunscribe otra cadena de Steiner dentro de ella; este proceso puede repetirse indefinidamente, formando un fractal .
![{\displaystyle {\frac {R}{r}}=1+{\frac {2\sin \theta }{1-\sin \theta }}={\frac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}=\left[\sec \theta +\tan \theta \right]^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/126fd8aa646cb371dfb8ff48820f52d2c66f2225)
