En matemáticas , una caminata que se evita a sí misma ( SAW ) es una secuencia de movimientos en una red (un camino de red ) que no visita el mismo punto más de una vez. Este es un caso especial de la noción teórica de grafo de camino . Un polígono que se evita a sí mismo ( SAP ) es un camino cerrado que se evita a sí mismo sobre una celosía. Se sabe muy poco rigurosamente sobre la caminata autoevitiva desde una perspectiva matemática, aunque los físicos han proporcionado numerosas conjeturas que se creen ciertas y están firmemente respaldadas por simulaciones numéricas.
En física computacional , una caminata que se evita a sí misma es un camino en forma de cadena en R 2 o R 3 con un cierto número de nodos, generalmente una longitud de paso fija y tiene la propiedad de que no se cruza consigo mismo ni con otro camino. Un sistema de SAW satisface la llamada condición de volumen excluido . En dimensiones superiores, se cree que el SAW se comporta de forma muy parecida a un paseo aleatorio ordinario .
Los SAW y SAP desempeñan un papel central en el modelado del comportamiento topológico y teórico de nudos de moléculas en forma de hilos y bucles, como las proteínas . De hecho, es posible que los SAW hayan sido introducidos por primera vez por el químico Paul Flory [1] [ dudoso ] para modelar el comportamiento en la vida real de entidades en forma de cadena, como solventes y polímeros , cuyo volumen físico prohíbe la ocupación múltiple del mismo. punto espacial.
Los SAW son fractales . Por ejemplo, en d = 2 la dimensión fractal es 4/3, para d = 3 se acerca a 5/3 mientras que para d ≥ 4 la dimensión fractal es 2 . La dimensión se denomina dimensión crítica superior por encima de la cual el volumen excluido es insignificante. Recientemente se estudió una SAW que no satisface la condición de volumen excluido para modelar la geometría de superficie explícita resultante de la expansión de una SAW. [2] [ se necesita aclaración ]
Las propiedades de las SAW no se pueden calcular analíticamente, por lo que se emplean simulaciones numéricas. El algoritmo de pivote es un método común para las simulaciones Monte Carlo de la cadena de Markov para la medida uniforme en caminatas autoevitadas de n pasos. El algoritmo de pivote funciona realizando una caminata que se evita a sí misma y eligiendo aleatoriamente un punto en esta caminata, y luego aplicando transformaciones simétricas (rotaciones y reflexiones) en la caminata después del enésimo paso para crear una nueva caminata.
Calcular el número de recorridos que se evitan por sí solos en cualquier red dada es un problema computacional común . Actualmente no existe una fórmula conocida, aunque existen métodos rigurosos de aproximación. [3] [4]
Uno de los fenómenos asociados con los paseos autoevitados y los modelos de física estadística en general es la noción de universalidad , es decir, la independencia de los observables macroscópicos de los detalles microscópicos, como la elección de la red. Una cantidad importante que aparece en las conjeturas sobre leyes universales es la constante conectiva , definida de la siguiente manera. Sea c n el número de caminatas autoevitadas de n pasos. Dado que cada caminata para evitar uno mismo ( n + m ) pasos se puede descomponer en una caminata para evitar uno mismo de n pasos y una caminata para evitar uno mismo de m pasos, se deduce que c n + m ≤ c n cm . Por lo tanto, la secuencia {log c n } es subaditiva y podemos aplicar el lema de Fekete para demostrar que existe el siguiente límite:
μ se llama constante conectiva , ya que c n depende de la red particular elegida para el paseo y μ también . El valor exacto de μ sólo se conoce para la red hexagonal, donde es igual a: [5]
Para otras redes, μ solo se ha aproximado numéricamente y se cree que ni siquiera es un número algebraico . Se conjetura que [6]
como n → ∞ , donde μ depende de la red, pero la corrección de la ley de potencia no; en otras palabras, se cree que esta ley es universal.
Las caminatas para evitar a uno mismo también se han estudiado en el contexto de la teoría de redes . [7] En este contexto, es habitual tratar el SAW como un proceso dinámico, de modo que en cada paso de tiempo un caminante salta aleatoriamente entre nodos vecinos de la red. La caminata termina cuando el caminante llega a un estado sin salida, de modo que ya no puede avanzar hacia los nuevos nodos no visitados. Recientemente se descubrió que en las redes Erdős-Rényi , la distribución de las longitudes de camino de tales SAW crecidas dinámicamente se puede calcular analíticamente y sigue la distribución de Gompertz . [8] Para redes arbitrarias, la distribución de las longitudes de los caminos recorridos, la distribución de grados de la red no visitada y la distribución del tiempo de primer acceso a un nodo se pueden obtener resolviendo un conjunto de ecuaciones de recurrencia acopladas. [9]
Considere la medida uniforme en caminatas autoevitadas de n pasos en el plano completo. Actualmente se desconoce si el límite de la medida uniforme cuando n → ∞ induce una medida en infinitos paseos en el plano completo. Sin embargo, Harry Kesten ha demostrado que existe una medida de este tipo para los paseos autoevitados en el semiplano. Una cuestión importante que involucra las caminatas que se evitan por sí mismas es la existencia y la invariancia conforme del límite de escala , es decir, el límite cuando la longitud de la caminata llega al infinito y la malla de la red llega a cero. Se conjetura que el límite de escala de la caminata autoevitada se describe mediante la evolución de Schramm-Loewner con el parámetro κ =8/3.
