En educación matemática , el modelo de Van Hiele es una teoría que describe cómo los estudiantes aprenden geometría . La teoría se originó en 1957 en las disertaciones doctorales de Dina van Hiele-Geldof y Pierre van Hiele (esposa y esposo) en la Universidad de Utrecht , en los Países Bajos . Los soviéticos investigaron la teoría en la década de 1960 e integraron sus hallazgos en sus planes de estudio. Los investigadores estadounidenses realizaron varios estudios a gran escala sobre la teoría de van Hiele a fines de la década de 1970 y principios de la de 1980, concluyendo que los bajos niveles de van Hiele de los estudiantes dificultaban el éxito en los cursos de geometría orientados a la prueba y aconsejando una mejor preparación en los niveles de grado anteriores. [1] [2] Pierre van Hiele publicó Structure and Insight en 1986, describiendo más a fondo su teoría. El modelo ha influido enormemente en los planes de estudio de geometría en todo el mundo a través del énfasis en el análisis de las propiedades y la clasificación de las formas en los niveles de grado iniciales. En Estados Unidos, la teoría ha influido en la vertiente geométrica de los Estándares publicados por el Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas y los Estándares Básicos Comunes .
El alumno aprende de memoria a operar con relaciones [matemáticas] que no comprende y cuyo origen no ha visto… Por lo tanto, el sistema de relaciones es una construcción independiente que no tiene relación con otras experiencias del niño. Esto significa que el alumno sólo conoce lo que se le ha enseñado y lo que se ha deducido de ello. No ha aprendido a establecer conexiones entre el sistema y el mundo sensorial. No sabrá cómo aplicar lo que ha aprendido en una nueva situación. - Pierre van Hiele, 1959 [3]
La parte más conocida del modelo de van Hiele son los cinco niveles que los van Hiele postularon para describir cómo los niños aprenden a razonar en geometría. No se puede esperar que los estudiantes demuestren teoremas geométricos hasta que hayan desarrollado una comprensión amplia de los sistemas de relaciones entre ideas geométricas. Estos sistemas no se pueden aprender de memoria, sino que deben desarrollarse mediante la familiaridad experimentando numerosos ejemplos y contraejemplos, las diversas propiedades de las figuras geométricas, las relaciones entre las propiedades y cómo se ordenan estas propiedades. Los cinco niveles postulados por los van Hiele describen cómo los estudiantes avanzan en esta comprensión.
Los cinco niveles de van Hiele a veces se malinterpretan como descripciones de cómo los estudiantes entienden la clasificación de formas, pero los niveles en realidad describen la forma en que los estudiantes razonan sobre las formas y otras ideas geométricas. Pierre van Hiele notó que sus estudiantes tendían a "estancarse" en ciertos puntos en su comprensión de la geometría e identificó estos puntos de estancamiento como niveles . [4] En general, estos niveles son un producto de la experiencia y la instrucción más que de la edad. Esto contrasta con la teoría del desarrollo cognitivo de Piaget , que depende de la edad. Un niño debe tener suficientes experiencias (en el aula o en otro lugar) con estas ideas geométricas para pasar a un nivel superior de sofisticación. A través de experiencias enriquecedoras, los niños pueden alcanzar el Nivel 2 en la escuela primaria. Sin tales experiencias, muchos adultos (incluidos los maestros) permanecen en el Nivel 1 toda su vida, incluso si toman un curso formal de geometría en la escuela secundaria. [5] Los niveles son los siguientes:
Nivel 0. Visualización : En este nivel, el pensamiento del niño se centra en las formas individuales, que el niño está aprendiendo a clasificar juzgando su apariencia holística. Los niños simplemente dicen: "Eso es un círculo", generalmente sin más descripción. Los niños identifican prototipos de figuras geométricas básicas ( triángulo , círculo , cuadrado ). Estos prototipos visuales se utilizan luego para identificar otras formas. Una forma es un círculo porque parece un sol; una forma es un rectángulo porque parece una puerta o una caja; y así sucesivamente. Un cuadrado parece ser un tipo de forma diferente a un rectángulo, y un rombo no se parece a otros paralelogramos, por lo que estas formas se clasifican completamente por separado en la mente del niño. Los niños ven las figuras holísticamente sin analizar sus propiedades. Si una forma no se parece lo suficiente a su prototipo, el niño puede rechazar la clasificación. Por lo tanto, los niños en esta etapa pueden resistirse a llamar "triángulo" a un triángulo delgado con forma de cuña (con lados 1, 20, 20 o lados 20, 20, 39), porque su forma es muy diferente a la de un triángulo equilátero , que es el prototipo habitual de "triángulo". Si la base horizontal del triángulo está arriba y el vértice opuesto debajo, el niño puede reconocerlo como un triángulo, pero afirmar que está "al revés". Las formas con lados redondeados o incompletos pueden aceptarse como "triángulos" si tienen un parecido holístico con un triángulo equilátero. [6] Los cuadrados se llaman "rombos" y no se reconocen como cuadrados si sus lados están orientados a 45° con respecto a la horizontal. Los niños en este nivel a menudo creen que algo es cierto basándose en un solo ejemplo.
Nivel 1. Análisis : En este nivel, las formas se convierten en portadoras de sus propiedades. Los objetos del pensamiento son clases de formas, que el niño ha aprendido a analizar como poseedoras de propiedades. Una persona en este nivel podría decir: "Un cuadrado tiene 4 lados iguales y 4 ángulos iguales. Sus diagonales son congruentes y perpendiculares, y se bisecan entre sí". Las propiedades son más importantes que la apariencia de la forma. Si se dibuja una figura en la pizarra y el maestro afirma que se pretende que tenga lados y ángulos congruentes, los estudiantes aceptan que es un cuadrado, incluso si está mal dibujada. Las propiedades aún no están ordenadas en este nivel. Los niños pueden discutir las propiedades de las figuras básicas y reconocerlas por estas propiedades, pero generalmente no permiten que las categorías se superpongan porque entienden cada propiedad aisladamente de las demás. Por ejemplo, seguirán insistiendo en que "un cuadrado no es un rectángulo ". (Pueden introducir propiedades extrañas para apoyar tales creencias, como definir un rectángulo como una forma con un par de lados más largo que el otro par de lados). Los niños comienzan a notar muchas propiedades de las formas, pero no ven las relaciones entre las propiedades; por lo tanto, no pueden reducir la lista de propiedades a una definición concisa con condiciones necesarias y suficientes. Por lo general, razonan inductivamente a partir de varios ejemplos, pero aún no pueden razonar deductivamente porque no entienden cómo se relacionan las propiedades de las formas.
Nivel 2. Abstracción : En este nivel, las propiedades están ordenadas. Los objetos de pensamiento son propiedades geométricas, que el estudiante ha aprendido a conectar deductivamente. El estudiante entiende que las propiedades están relacionadas y que un conjunto de propiedades puede implicar otra propiedad. Los estudiantes pueden razonar con argumentos simples sobre figuras geométricas. Un estudiante en este nivel podría decir: " Los triángulos isósceles son simétricos, por lo que sus ángulos de base deben ser iguales". Los estudiantes reconocen las relaciones entre los tipos de formas. Reconocen que todos los cuadrados son rectángulos, pero no todos los rectángulos son cuadrados, y entienden por qué los cuadrados son un tipo de rectángulo basándose en la comprensión de las propiedades de cada uno. Pueden decir si es posible o no tener un rectángulo que sea, por ejemplo, también un rombo. Entienden las condiciones necesarias y suficientes y pueden escribir definiciones concisas. Sin embargo, aún no entienden el significado intrínseco de la deducción. No pueden seguir un argumento complejo, entender el lugar de las definiciones o captar la necesidad de los axiomas, por lo que aún no pueden entender el papel de las pruebas geométricas formales.
Nivel 3. Deducción : Los estudiantes en este nivel comprenden el significado de la deducción. El objeto del pensamiento es el razonamiento deductivo (pruebas simples), que el estudiante aprende a combinar para formar un sistema de pruebas formales ( geometría euclidiana ). Los estudiantes pueden construir pruebas geométricas a un nivel de escuela secundaria y comprender su significado. Entienden el papel de los términos indefinidos, las definiciones, los axiomas y los teoremas en la geometría euclidiana. Sin embargo, los estudiantes en este nivel creen que los axiomas y las definiciones son fijos, en lugar de arbitrarios, por lo que aún no pueden concebir la geometría no euclidiana . Las ideas geométricas aún se entienden como objetos en el plano euclidiano.
Nivel 4. Rigor : En este nivel, la geometría se entiende al nivel de un matemático. Los estudiantes comprenden que las definiciones son arbitrarias y no necesitan referirse a ninguna realización concreta. El objeto del pensamiento son los sistemas geométricos deductivos, para los cuales el estudiante compara sistemas axiomáticos . Los estudiantes pueden estudiar geometrías no euclidianas con comprensión. Las personas pueden comprender la disciplina de la geometría y cómo difiere filosóficamente de los estudios no matemáticos.
Los investigadores estadounidenses renumeraron los niveles del 1 al 5 para poder añadir un "Nivel 0" que describiera a los niños pequeños que no podían identificar formas en absoluto. Ambos sistemas de numeración siguen en uso. Algunos investigadores también dan nombres diferentes a los niveles.
Los niveles de van Hiele tienen cinco propiedades:
1. Secuencia fija : los niveles son jerárquicos. Los estudiantes no pueden "saltearse" un nivel. [5] Los van Hieles afirman que gran parte de la dificultad que experimentan los estudiantes de geometría se debe a que se les enseña en el nivel de Deducción cuando aún no han alcanzado el nivel de Abstracción.
2. Adyacencia : las propiedades que son intrínsecas en un nivel se vuelven extrínsecas en el siguiente. (Las propiedades están presentes en el nivel de visualización, pero el estudiante aún no es consciente de ellas hasta el nivel de análisis. Las propiedades están, de hecho, relacionadas en el nivel de análisis, pero los estudiantes aún no son conscientes explícitamente de las relaciones).
3. Distinción : cada nivel tiene sus propios símbolos lingüísticos y su red de relaciones. El significado de un símbolo lingüístico es más que su definición explícita; incluye las experiencias que el hablante asocia con el símbolo dado. Lo que puede ser "correcto" en un nivel no necesariamente lo es en otro nivel. En el nivel 0, un cuadrado es algo que parece una caja. En el nivel 2, un cuadrado es un tipo especial de rectángulo. Ninguna de estas es una descripción correcta del significado de "cuadrado" para alguien que razona en el nivel 1. Si al estudiante simplemente se le da la definición y sus propiedades asociadas, sin permitirle desarrollar experiencias significativas con el concepto, el estudiante no podrá aplicar este conocimiento más allá de las situaciones utilizadas en la lección.
4. Separación : un profesor que razona en un nivel determinado habla un "lenguaje" diferente al de un alumno de un nivel inferior, lo que impide la comprensión. Cuando un profesor habla de un "cuadrado", se refiere a un tipo especial de rectángulo. Un alumno de nivel 0 o 1 no tendrá la misma comprensión de este término. El alumno no entiende al profesor, y el profesor no entiende cómo razona el alumno, y con frecuencia concluye que las respuestas del alumno son simplemente "incorrectas". Los van Hieles creían que esta propiedad era una de las principales razones del fracaso en geometría. Los profesores creen que se están expresando con claridad y lógica, pero su razonamiento de nivel 3 o 4 no es comprensible para los alumnos de niveles inferiores, ni los profesores entienden los procesos de pensamiento de sus alumnos. Lo ideal es que el profesor y los alumnos compartan experiencias detrás de su lenguaje.
5. Logro : Los van Hieles recomendaron cinco fases para guiar a los estudiantes de un nivel a otro en un tema determinado: [7]
Para su tesis doctoral, Dina van Hiele-Geldof realizó un experimento pedagógico con niños de 12 años en una escuela secundaria Montessori de los Países Bajos. Según sus informes, con este método logró elevar el nivel de los alumnos del 0 al 1 en 20 lecciones y del 1 al 2 en 50 lecciones.
Utilizando los niveles de van Hiele como criterio, casi la mitad de los estudiantes de geometría son ubicados en un curso en el que sus posibilidades de tener éxito son solo del 50-50. — Zalman Usiskin, 1982 [1]
Los investigadores descubrieron que los niveles de van Hiele de los estudiantes estadounidenses son bajos. Los investigadores europeos han encontrado resultados similares para los estudiantes europeos. [8] Muchos, tal vez la mayoría, de los estudiantes estadounidenses no alcanzan el nivel de Deducción incluso después de completar con éxito un curso de geometría de secundaria orientado a la demostración, [1] probablemente porque el material se aprende de memoria, como afirmaron los van Hiele. [5] Esto parece deberse a que los cursos de geometría de secundaria estadounidenses asumen que los estudiantes ya están al menos en el Nivel 2, listos para pasar al Nivel 3, mientras que muchos estudiantes de secundaria todavía están en el Nivel 1, o incluso en el Nivel 0. [1] Vea la propiedad de Secuencia Fija anterior.
Los niveles son discontinuos, como se define en las propiedades anteriores, pero los investigadores han debatido hasta qué punto son discretos en realidad. Los estudios han descubierto que muchos niños razonan en múltiples niveles, o niveles intermedios, lo que parece estar en contradicción con la teoría. [6] Los niños también avanzan a través de los niveles a diferentes ritmos para diferentes conceptos, dependiendo de su exposición al tema. Por lo tanto, pueden razonar en un nivel para ciertas formas, pero en otro nivel para otras formas. [5]
Algunos investigadores [9] han descubierto que muchos niños en el nivel de visualización no razonan de una manera completamente holística, sino que pueden centrarse en un solo atributo, como los lados iguales de un cuadrado o la redondez de un círculo. Han propuesto cambiar el nombre de este nivel a nivel sincrético . También se han sugerido otras modificaciones [10] , como definir subniveles entre los niveles principales, aunque ninguna de estas modificaciones ha ganado popularidad todavía.
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