Leyes de Lanchester

Fórmulas para la fuerza relativa de las fuerzas militares

Las leyes de Lanchester son fórmulas matemáticas para calcular la fuerza relativa de las fuerzas militares . Las ecuaciones de Lanchester son ecuaciones diferenciales que describen la dependencia temporal de la fuerza de dos ejércitos A y B en función del tiempo, donde la función depende únicamente de A y B. ^{[1] [2]}

En 1915 y 1916, durante la Primera Guerra Mundial , M. Osipov ^{[3] : vii–viii} y Frederick Lanchester idearon de forma independiente una serie de ecuaciones diferenciales para demostrar las relaciones de potencia entre fuerzas opuestas. ^[4] Entre ellas se encuentran las conocidas como ley lineal de Lanchester (para el combate antiguo ) y ley cuadrada de Lanchester (para el combate moderno con armas de largo alcance, como las armas de fuego).

A partir de 2017, las variaciones modificadas de las ecuaciones de Lanchester siguen formando la base del análisis en muchas de las simulaciones de combate del Ejército de los EE. UU. ^[5], y en 2016 un informe de la Corporación RAND examinó mediante estas leyes el resultado probable en el caso de una invasión rusa en las naciones bálticas de Estonia, Letonia y Lituania. ^[6]

Ley lineal de Lanchester

En los combates antiguos, por ejemplo entre falanges de soldados con lanzas , cada soldado sólo podía luchar contra exactamente otro soldado a la vez. Si cada soldado mata y es asesinado por exactamente otro, entonces el número de soldados que quedan al final de la batalla es simplemente la diferencia entre el ejército más grande y el más pequeño, suponiendo que las armas son idénticas.

La ley lineal también se aplica al fuego no dirigido hacia una zona ocupada por el enemigo. La tasa de desgaste depende de la densidad de los objetivos disponibles en la zona objetivo, así como del número de armas que se disparan. Si dos fuerzas, que ocupan la misma superficie terrestre y utilizan las mismas armas, disparan al azar hacia la misma zona objetivo, ambas sufrirán la misma tasa y el mismo número de bajas, hasta que la fuerza más pequeña sea finalmente eliminada: la mayor probabilidad de que un disparo alcance a la fuerza más grande se equilibra con el mayor número de disparos dirigidos a la fuerza más pequeña.

Ley del cuadrado de Lanchester

La ley del cuadrado de Lanchester también se conoce como ley del N-cuadrado .

Descripción

Simulación idealizada de dos fuerzas que se dañan mutuamente, sin tener en cuenta ninguna otra circunstancia que no sea 1) el tamaño del ejército y 2) la tasa de daño. La imagen ilustra el principio de la ley del cuadrado de Lanchester.

Las armas de fuego se enfrentan entre sí directamente y disparan a distancia, lo que permite atacar a múltiples objetivos y recibir disparos desde múltiples direcciones. La tasa de desgaste depende ahora únicamente del número de armas que disparan. Lanchester determinó que el poder de una fuerza de este tipo no es proporcional al número de unidades que tiene, sino al cuadrado del número de unidades. Esto se conoce como la ley del cuadrado de Lanchester.

Más precisamente, la ley especifica las bajas que una fuerza de fuego infligirá durante un período de tiempo, en relación con las infligidas por la fuerza opuesta. En su forma básica, la ley solo es útil para predecir resultados y bajas por desgaste. No se aplica a ejércitos enteros, donde el despliegue táctico significa que no todas las tropas estarán en combate todo el tiempo. Solo funciona cuando cada unidad (soldado, barco, etc.) puede matar solo a una unidad equivalente a la vez. Por esta razón, la ley no se aplica a ametralladoras, artillería con municiones no guiadas o armas nucleares. La ley requiere una suposición de que las bajas se acumulan con el tiempo: no funciona en situaciones en las que las tropas opuestas se matan entre sí instantáneamente, ya sea disparando simultáneamente o porque un lado dispara primero e inflige múltiples bajas.

Téngase en cuenta que la ley del cuadrado de Lanchester no se aplica a la fuerza tecnológica, sino solo a la fuerza numérica; por lo que requiere un aumento de N veces al cuadrado en la calidad para compensar una disminución de N veces en la cantidad.

Ejemplos de ecuaciones

Supongamos que dos ejércitos, Rojo y Azul, se enfrentan en combate. Rojo dispara una ráfaga continua de balas a Azul, mientras que Azul dispara una ráfaga continua de balas a Rojo.

Sea el símbolo A el número de soldados de la fuerza roja. Cada uno tiene una potencia de fuego ofensiva α , que es la cantidad de soldados enemigos que puede incapacitar (por ejemplo, matar o herir) por unidad de tiempo. Del mismo modo, el azul tiene B soldados, cada uno con una potencia de fuego ofensiva β .

La ley del cuadrado de Lanchester calcula el número de soldados perdidos en cada bando utilizando el siguiente par de ecuaciones. ^[7] Aquí, dA/dt representa la tasa a la que cambia el número de soldados rojos en un instante particular. Un valor negativo indica la pérdida de soldados. De manera similar, dB/dt representa la tasa de cambio del número de soldados azules.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}=-\beta B}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} B}{\mathrm {d} t}}=-\alpha A}$

La solución de estas ecuaciones muestra que:

• Si α = β , es decir, los dos bandos tienen la misma potencia de fuego, el bando con más soldados al comienzo de la batalla ganará;
• Si A = B , es decir, los dos bandos tienen el mismo número de soldados, el bando con mayor potencia de fuego ganará;
• Si A > B y α > β , entonces Rojo ganará, mientras que si A < B y α < β , Azul ganará;
• Si A > B pero α < β , o A < B pero α > β , el bando ganador dependerá de si la razón β / α es mayor o menor que el cuadrado de la razón A / B . Por lo tanto, si los números y la potencia de fuego son desiguales en direcciones opuestas, se requiere una superioridad en potencia de fuego igual al cuadrado de la inferioridad en número para la victoria; o, para decirlo de otra manera, la eficacia del ejército aumenta proporcionalmente al cuadrado del número de personas que lo componen, pero solo linealmente con su capacidad de combate.

Las tres primeras conclusiones son obvias. La última es el origen del nombre "ley del cuadrado".

Relación con el modelo de combate de salvas

Las ecuaciones de Lanchester están relacionadas con las ecuaciones del modelo de combate de salvas más recientes , con dos diferencias principales.

En primer lugar, las ecuaciones originales de Lanchester forman un modelo de tiempo continuo, mientras que las ecuaciones básicas de salva forman un modelo de tiempo discreto. En un tiroteo, las balas o los proyectiles se disparan normalmente en grandes cantidades. Cada bala tiene una probabilidad relativamente baja de alcanzar su objetivo y causa una cantidad relativamente pequeña de daño. Por lo tanto, las ecuaciones de Lanchester modelan los disparos como un flujo de potencia de fuego que debilita continuamente la fuerza enemiga a lo largo del tiempo.

En comparación, los misiles de crucero suelen dispararse en cantidades relativamente pequeñas. Cada uno de ellos tiene una alta probabilidad de alcanzar su objetivo y lleva una ojiva relativamente potente. Por lo tanto, tiene más sentido modelarlos como un pulso discreto (o salva) de potencia de fuego en un modelo de tiempo discreto.

En segundo lugar, las ecuaciones de Lanchester incluyen sólo la potencia de fuego ofensiva, mientras que las ecuaciones de salvas también incluyen la potencia de fuego defensiva. Dado su pequeño tamaño y gran número, no es práctico interceptar balas y proyectiles en un tiroteo. En comparación, los misiles de crucero pueden ser interceptados (derribados) por misiles tierra-aire y cañones antiaéreos. Por lo tanto, los modelos de combate con misiles incluyen esas defensas activas.

La ley de Lanchester en uso

Las leyes de Lanchester se han utilizado para modelar batallas históricas con fines de investigación. Algunos ejemplos incluyen la carga de Pickett de la infantería confederada contra la infantería de la Unión durante la Batalla de Gettysburg de 1863 , ^{[8] la} Batalla de Gran Bretaña de 1940 entre las fuerzas aéreas británicas y alemanas, ^[9] y la Batalla de Kursk . ^[10]

En la guerra moderna, para tener en cuenta que hasta cierto punto tanto la lineal como la cuadrada se aplican a menudo, se utiliza un exponente de 1,5. ^{[11] [12] [3] : 7-5–7-8} Las leyes de Lanchester también se han utilizado para modelar la guerra de guerrillas . ^[13] Las leyes también se han aplicado a batallas repetidas con una variedad de estrategias de refuerzo entre batallas. ^[14]

Se han hecho intentos de aplicar las leyes de Lanchester a los conflictos entre grupos de animales. ^[15] Los ejemplos incluyen pruebas con chimpancés ^[16] y hormigas . La aplicación con chimpancés fue relativamente exitosa. Un estudio con hormigas carnívoras australianas y hormigas argentinas confirmó la ley del cuadrado, ^[17] pero un estudio con hormigas de fuego no confirmó la ley del cuadrado. ^[18]

Parámetros de Helmbold

Los parámetros de Helmbold proporcionan índices numéricos rápidos, concisos y exactos, basados ​​sólidamente en datos históricos, para comparar batallas en cuanto a su intensidad y el grado de ventaja de cada bando. Si bien su definición se basa en una solución de las ecuaciones diferenciales de la Ley del Cuadrado de Lanchester, sus valores numéricos se basan completamente en las fuerzas iniciales y finales de los oponentes y de ninguna manera dependen de la validez de la Ley del Cuadrado de Lanchester como modelo de desgaste durante el curso de una batalla.

La solución de la Ley del Cuadrado de Lanchester utilizada aquí se puede escribir como:

$${\displaystyle {\begin{aligned}a(t)&=\cosh(\lambda t)-\mu \sinh(\lambda t)\\d(t)&=\cosh(\lambda t)-\mu ^{-1}\sinh(\lambda t)\\\varepsilon &=\lambda T\end{aligned}}}$$

Dónde:

• ${\displaystyle t}$¿Es el tiempo transcurrido desde que comenzó la batalla?
• ${\displaystyle a(t)}$y son las fracciones supervivientes de las fuerzas del atacante y del defensor en ese momento ${\displaystyle d(t)}$ ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle \lambda }$es el parámetro de intensidad de Helmbold
• ${\displaystyle \mu }$¿Cuál es el parámetro de ventaja del defensor de Helmbold?
• ${\displaystyle T}$es la duración de la batalla
• ${\displaystyle \varepsilon }$es el parámetro de amargor de Helmbold.

Si se conocen las fuerzas iniciales y finales de los dos bandos, es posible calcular los parámetros , , , y . Si también se conoce la duración de la batalla , entonces es posible calcular . ^{[19] [20] [21]} ${\displaystyle a(T)}$ ${\displaystyle d(T)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \lambda }$

Si, como suele ser el caso, es suficientemente pequeña como para que las funciones hiperbólicas puedan, sin ningún error significativo, reemplazarse por su expansión en serie hasta términos en la primera potencia de , y si las abreviaturas adoptadas para las fracciones de bajas son y , entonces las relaciones aproximadas que se cumplen incluyen y . ^[22] Esa es una especie de "promedio" (específicamente, la media geométrica ) de las fracciones de bajas que justifica su uso como índice de la amargura de la batalla. ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle F_{A}=1-a(T)}$ ${\displaystyle F_{D}=1-d(T)}$ ${\displaystyle \varepsilon ={\sqrt {F_{A}F_{D}}}}$ ${\displaystyle \mu =F_{A}/F_{D}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

El trabajo estadístico prefiere los logaritmos naturales de los parámetros de Helmbold. Se los denomina , , y . ${\displaystyle \log \mu }$ ${\displaystyle \log \varepsilon }$ ${\displaystyle \log \lambda }$

Principales hallazgos

Véase Helmbold (2021):

1. Los parámetros de Helmbold son estadísticamente independientes, es decir, miden características distintas de una batalla. ^[23] ${\displaystyle \log \varepsilon }$ ${\displaystyle \log \mu }$
2. La probabilidad de que el defensor gane, , está relacionada con el parámetro de ventaja del defensor a través de la función logística , , con . ^[24] Esta función logística es casi exactamente antisimétrica con respecto a , aumentando desde en , pasando por en , hasta en . Debido a que la probabilidad de victoria depende del parámetro de ventaja de Helmbold en lugar de la relación de fuerzas, está claro que la relación de fuerzas es un predictor inferior y poco confiable de la victoria en la batalla. ${\displaystyle P(D_{wins})}$ ${\displaystyle P(D_{wins})=(1+\exp(-z))^{-1}}$ ${\displaystyle z=-0.1794+5.8694*\log \mu }$ ${\displaystyle \log \mu =0}$ ${\displaystyle P(D_{wins})=0.1}$ ${\displaystyle \log \mu =-0.4}$ ${\displaystyle P(D_{wins})=0.5}$ ${\displaystyle \log \mu =0}$ ${\displaystyle P(D_{wins})=0.9}$ ${\displaystyle \log \mu =+0.4}$
3. Aunque la ventaja del defensor varía ampliamente de una batalla a otra, en promedio ha sido prácticamente constante desde el año 1600 d. C. ^[25]
4. La mayoría de los demás parámetros de batalla (específicamente la fuerza inicial, las proporciones de fuerza iniciales, el número de bajas, las proporciones de intercambio de bajas, la duración de la batalla y las distancias recorridas por el atacante) han cambiado tan lentamente desde 1600 d.C. que solo los observadores más agudos probablemente notarían algún cambio a lo largo de su carrera militar nominal de 50 años. ^[26]
5. La amargura ( ), las fracciones de víctimas ( y en la notación anterior) y la intensidad ( ) también cambiaron lentamente antes de 1939 d. C. Pero desde entonces han seguido una curva descendente sorprendentemente más pronunciada. ^[27] ${\displaystyle \log \varepsilon }$ ${\displaystyle F_{A}}$ ${\displaystyle F_{D}}$ ${\displaystyle \log \lambda }$

Algunos observadores han notado una disminución similar en las bajas posteriores a la Segunda Guerra Mundial, en el nivel de guerras en lugar de batallas. ^{[28] [29] [30] [31]}

Véase también

• Guerra de desgaste
• Las ecuaciones de Lotka-Volterra son un modelo matemático similar para la dinámica depredador-presa
• Guerra de maniobras
• Modelo matemático similar al multiplicador de Petrie para el sexismo
• Lewis Fry Richardson
• Modelo de combate de salvas

Referencias

1. Lanchester FW, Matemáticas en la guerra en The World of Mathematics, vol. 4 (1956) Ed. Newman, JR , Simon and Schuster , 2138–2157; antologizado de Aircraft in Warfare (1916)
2. Davis, Paul K. (1995). "Ecuaciones de Lanchester y sistemas de puntuación". Agregación, desagregación y las reglas 3:1 en el combate terrestre. Rand Corporation. doi :10.7249/MR638.
3. Osipov, M. (1991) [1915]. "La influencia de la fuerza numérica de las fuerzas enfrentadas en sus bajas" Влияние Численности Сражающихся Сторонъ На Ихъ Потери (PDF) . Colección militar del diario ruso zarista El sbornik venezolanoTraducido por Helmbold, Robert; Rehm, Allan. Agencia de Análisis de Conceptos del Ejército de los Estados Unidos. Archivado (PDF) del original el 4 de noviembre de 2021. Consultado el 23 de enero de 2022 .
4. Wrigge, Staffan; Fransen, Ame; Wigg, Lars (septiembre de 1995). "La teoría del combate de Lanchester y algunos temas relacionados" (PDF) . FORSVARETS FORSKNINGSANSTALT.
5. Christian, MAJ Joshua T. (23 de mayo de 2019). Un examen de las proporciones de fuerza (PDF) . Fort Leavenworth, KS: Escuela de Comando y Estado Mayor del Ejército de EE. UU. Este artículo incorpora material de dominio público de sitios web o documentos del Ejército de los Estados Unidos .
6. David A. Shlapak y Michael W. Johnson, Reforzando la disuasión en el flanco oriental de la OTAN (Santa Mónica, CA: RAND Corporation, 2016)
7. Taylor JG. 1983. Modelos Lanchester de guerra, volúmenes I y II. Sociedad de Investigación de Operaciones de Estados Unidos.
8. Armstrong MJ, Sodergren SE, 2015, Refighting Pickett's Charge: modelado matemático del campo de batalla de la Guerra Civil, Social Science Quarterly.
9. MacKay N, Price C, 2011, Seguridad en números: Ideas de concentración en la defensa de los cazas de la Royal Air Force desde Lanchester hasta la Batalla de Gran Bretaña, Historia 96, 304–325.
10. Lucas, Thomas W.; Turkes, Turker (2004). "Ajuste de las ecuaciones de Lanchester a las batallas de Kursk y Ardenas: ecuaciones de Lanchester para las batallas de Kursk y Ardenas". Naval Research Logistics (NRL) . 51 (1): 95–116. doi :10.1002/nav.10101. hdl : 10945/44169 . S2CID  4809135.
11. La carrera hacia lo veloz: reflexiones sobre la guerra en el siglo XXI, por Richard E. Simpkin
12. FOWLER, CHARLES A. "BERT" (1 de marzo de 2006). "Guerra asimétrica: una introducción".
13. Deitchman, SJ (1962). "Un modelo Lanchester de guerra de guerrillas". Investigación de operaciones . 10 (6): 818–827. doi :10.1287/opre.10.6.818. ISSN  0030-364X. JSTOR  168104.
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15. Clifton, E. (2020). Una breve reseña sobre la aplicación de los modelos de combate de Lanchester en animales no humanos. Psicología ecológica, 32, 181-191. doi:10.1080/10407413.2020.1846456
16. Wilson, ML, Britton, NF y Franks, NR (2002). Los chimpancés y las matemáticas de la batalla. Actas de la Royal Society B: Biological Sciences, 269, 1107-1112. doi:10.1098/rspb.2001.1926
17. Lymbery, Samuel J. (2023). "Los campos de batalla complejos favorecen a los soldados fuertes sobre los ejércitos grandes en la guerra social animal". PNAS . 120 (37): e2217973120. Bibcode :2023PNAS..12017973L. doi :10.1073/pnas.2217973120. PMC 10500280 . PMID  37639613 . Consultado el 18 de septiembre de 2023 . 
18. Plowes, NJR y Adams, ES (2005). Una prueba empírica de la ley del cuadrado de Lanchester: mortalidad durante las batallas de la hormiga de fuego Solenopsis invicta. Proceedings of the Royal Society B: Biological Sciences, 272, 1809-1814. doi:10.1098/rspb.2005.3162
19. Helmbold 1961a.
20. Helmbold 1961b.
21. Helmbold 2021, págs. ap. A.
22. Helmbold 2021, págs. 14-16, apéndice A.
23. Helmbold 2021, págs. 18-19.
24. Helmbold 2021, págs. 17-18.
25. Helmbold 2021, págs. 20, 68–69.
26. Helmbold 2021, págs. 20, apéndice C.
27. Helmbold 2021, págs. 21, apéndice C parte 4.
28. Lacina, Bethany y Nils Petter Gleditsch (2005) "Seguimiento de las tendencias en el combate flotante: un nuevo conjunto de datos sobre muertes en batalla", Journal of Population (2005) 21:145-166
29. Lacina, Bethany, Nils Petter Gleditsch y Bruce Russett (2006) "El riesgo decreciente de muerte en batalla", International Studies Quyarterly 50(3), 673-680
30. Lacina, Bethany y Nils Petter Gleditsch, (2012) Revista de resolución de conflictos 57(6) 1109-1127
31. Lacina, Bethany y Nils Petter Gleditsch, (2012) "El declive de la guerra es real: una respuesta a Gohdes y Price", Journal of Conflict Resolution

Bibliografía

• Czarnecki, Joseph. Ley del N-cuadrado: un análisis de una de las teorías matemáticas que sustentan el acorazado Dreadnought Armas navales del mundo
• Dupuy, Col TN (1979). Números, predicciones y guerra . Macdonald y Jane's.
• Helmbold, Robert L. (14 de febrero de 1961a). Parámetros de Lanchester para algunas batallas de los últimos doscientos años . Documento del personal de CORG CORG-SP-122.
• Helmbold, Robert L. (1961b). "Ecuaciones de Lanchester, batallas históricas y juegos de guerra". Actas del octavo simposio de la Sociedad de Investigación de Operaciones Militares, 18-20 de octubre de 1961 .
• Helmbold, Robert L. (12 de mayo de 2021). La clave de la victoria: aprendizaje automático: lecciones de la historia . ISBN 9781668525289.
• Lanchester, Frederick W. (1916). Aeronaves en la guerra.
• Modelos de combate de Niall J. MacKay Lanchester, Mathematics Today , 2006, vol. 42/5, páginas 170–173.

Enlaces externos

• "Kicking Butt By the Numbers: Lanchester's Laws", una columna de Designer's Notebook escrita por Ernest Adams en el sitio web Game Developer