Intercambio de sitios

Notación utilizada para describir patrones de malabarismo.

Los ritmos de intercambio de sitios se muestran como altura relativa ^{[1] [2]}

Siteswap , también llamado malabarismo cuántico o notación de Cambridge , es una notación de malabarismo numérico utilizada para describir o representar patrones de malabarismo . El término también puede usarse para describir patrones de intercambio de sitios , posibles patrones transcritos mediante intercambio de sitios. Los lanzamientos están representados por números enteros no negativos que especifican el número de latidos en el futuro cuando el objeto se lanza nuevamente: "La idea detrás del intercambio de sitios es realizar un seguimiento del orden en que se lanzan y atrapan las bolas, y solo eso". ^[3] Es una herramienta invaluable para determinar qué combinaciones de lanzamientos producen patrones de malabarismo válidos para un número determinado de objetos, y ha llevado a patrones previamente desconocidos (como 441). Sin embargo, no describe movimientos corporales como detrás de la espalda y debajo de la pierna. Siteswap asume que "los lanzamientos ocurren en ritmos que están igualmente espaciados en el tiempo". ^[4]

Por ejemplo, una cascada de tres bolas se puede escribir "3", mientras que una lluvia se puede escribir "5 1". ^[4]

Origen

La notación fue inventada por Paul Klimek en Santa Cruz, California en 1981, y posteriormente desarrollada por los estudiantes Bruce "Boppo" Tiemann, Joel David Hamkins y el fallecido Bengt Magnusson en el Instituto de Tecnología de California en 1985, y por Mike Day, matemático. Colin Wright y el matemático Adam Chalcraft en Cambridge, Inglaterra, en 1985 (de donde surge un nombre alternativo). ^{[5] [a]} Hamkins escribió código de computadora en 1985 para generar sistemáticamente patrones de intercambio de sitios; las impresiones se llevaron inmediatamente al jardín del Athenaeum en Caltech para que él mismo, Tiemann y Magnusson las probaran. Los números se derivan del número de bolas utilizadas en los patrones de malabarismo más comunes. Siteswap ha sido descrito como "quizás el nombre más popular". ^[8]

El nombre de intercambio de sitios proviene de la capacidad de generar patrones "intercambiando" los tiempos de aterrizaje de 2 "sitios" cualesquiera en un intercambio de sitios utilizando la propiedad de intercambio. ^[9] Por ejemplo, intercambiar los tiempos de aterrizaje de los lanzamientos "5" y "1" en el intercambio de sitios "51" genera el intercambio de sitios "24".

Vainilla

Diagrama de alguien "haciendo malabarismos" con la notación de intercambio de sitios y el estado

Su forma más simple, a veces llamada intercambio de sitios básico, describe solo patrones cuyos lanzamientos se alternan con las manos y en los que se lanza una pelota desde cada mano a la vez. Si uno estuviera haciendo malabares mientras caminaba hacia adelante, se vería desde arriba algo parecido al diagrama adyacente, a veces llamado diagrama espacio-temporal o diagrama de escalera . En este diagrama, se hacen malabarismos con tres bolas. El tiempo avanza de arriba a abajo.

Este patrón se puede describir indicando cuántos lanzamientos después se atrapa cada pelota. Por ejemplo, en el primer lanzamiento en el diagrama, la bola violeta se lanza al aire (fuera de la pantalla, hacia la parte inferior izquierda) con la mano derecha, luego la bola azul, la bola verde, la bola verde nuevamente, y la bola azul nuevamente y finalmente la bola morada es atrapada y lanzada por la mano izquierda en el quinto lanzamiento, esto le da al primer lanzamiento una cuenta de 5 . Esto produce una secuencia de números que indican la altura de cada lanzamiento que se realizará. Dado que las manos se alternan, los tiros con números impares envían la pelota a la otra mano, mientras que los tiros con números pares envían la pelota a la misma mano. Un 3 representa un lanzamiento hacia la mano opuesta a la altura de la cascada básica de tres ; un 4 representa un lanzamiento a la misma mano a la altura de las cuatro fuentes , y así sucesivamente.

Hay tres lanzamientos especiales: un 0 es una pausa con la mano vacía, un 1 es un pase rápido directo a la otra mano y un 2 es una sujeción momentánea de un objeto. Los lanzamientos de más de 9 tiempos reciben letras que comienzan con . El número de latidos que una pelota está en el aire generalmente corresponde a qué tan alto fue lanzada, por lo que mucha gente se refiere a los números como alturas, pero esto no es técnicamente correcto; lo único que importa es el número de golpes en el aire, no la altura a la que se lanza. Por ejemplo, hacer rebotar una pelota lleva más tiempo que lanzarla en el aire a la misma altura y, por lo tanto, puede tener un valor de intercambio de sitios más alto y, al mismo tiempo, ser un lanzamiento más bajo.

Cada patrón se repite después de una cierta cantidad de lanzamientos, lo que se denomina período del patrón. El período es el número de dígitos en la representación más corta y no repetida de un patrón. Por ejemplo, el patrón diagramado a la derecha es 53145305520 que tiene 11 dígitos y por lo tanto tiene un período de 11. Si el período es un número impar, como este, entonces cada vez que se repite la secuencia, la secuencia comienza con la otra mano. , y el patrón es simétrico porque cada mano hace lo mismo (aunque en momentos diferentes). Si el período es un número par, entonces en cada repetición del patrón, cada mano hace lo mismo que hizo la última vez y el patrón es asimétrico .

El número de bolas utilizadas para el patrón es el promedio de los números de lanzamiento en el patrón. ^[2] Por ejemplo, 441 es un patrón de tres objetos porque (4+4+1)/3 es 3 y 86 es un patrón de siete objetos. Por lo tanto, todos los patrones deben tener una secuencia de intercambio de sitios cuyo promedio sea un número entero . No todas estas secuencias describen patrones; por ejemplo 543 con un promedio entero de 4 pero sus tres lanzamientos aterrizan al mismo tiempo, chocando.

Algunos mantienen la convención de que un intercambio de sitios se escribe con sus números más altos primero. Un inconveniente de hacerlo es evidente en el patrón 51414 , un patrón de 3 bolas que no se puede insertar en el medio de una serie de 3 lanzamientos, a diferencia de su rotación 45141 que sí puede.

Sincrónico

Diagrama de escalera para caja: (4,2x)(2x,4)

La notación de intercambio de sitios se puede ampliar para indicar patrones que contienen lanzamientos sincrónicos con ambas manos. Los números de los dos lanzamientos se combinan entre paréntesis y se separan por una coma. Dado que los lanzamientos sincrónicos solo se realizan en tiempos pares, solo se permiten números pares. ^[10] Los lanzamientos que se mueven hacia la otra mano están marcados con una x después del número. Por lo tanto, una ducha sincrónica de tres accesorios se denota (4x,2x) , lo que significa que una mano lanza continuamente un tiro bajo o "zip" a la mano opuesta, mientras que la otra continuamente realiza un tiro más alto a la primera. Las secuencias de pares entre corchetes se escriben sin marcadores delimitadores. Los patrones que se repiten en imagen especular en el lado opuesto se pueden abreviar con un *. Por ejemplo, en lugar de (4,2x)(2x,4) (patrón de caja de 3 bolas ), se puede abreviar como (4,2x)* .

Multiplexación

Cascada de 3 bolas con triplex: [333]33

Una extensión adicional permite a Siteswap anotar patrones que involucran múltiples lanzamientos de una o ambas manos al mismo tiempo en un patrón múltiple . Los números de lanzamientos múltiples con una sola mano se escriben juntos entre corchetes. Por ejemplo, [33]33 es una cascada normal de 3 bolas, con un par de bolas siempre lanzadas juntas.

Paso

Cuenta hasta cuatro, o "Todos los demás": <333P|333P>

Malabarismo simultáneo: la notación <xxx|yyy> significa que un malabarista hace 'xxx' mientras que otro hace 'yyy'. 'p' se utiliza para representar un pase. Por ejemplo, <3p 3|3p 3> es un patrón de pases de 'cuenta 2' de 6 accesorios, donde todos los lanzamientos con la mano izquierda son pases y los lanzamientos con la mano derecha son uno mismo. Esto también se puede utilizar con patrones sincrónicos; una 'ducha' para dos personas es entonces <(4xp,2x)|(4xp,2x)>

Notación fraccionaria

Si el patrón contiene fracciones, por ejemplo <4,5 3 3 | 3 4 3.5> Se supone que el malabarista después de la barra está media cuenta más tarde, y todas las fracciones son pasadas.

intercambio de sitios sociales

Si ambos hacen malabares con el mismo patrón (aunque cambiado en el tiempo), el patrón se llama intercambio de sitios sociales y solo es necesario escribir la mitad del patrón: <4p 3| 3 4p> se convierte en 4p 3 y <4.5 3 3| 3 4,5 3> se convierte en 4,5 3 3 . (tenga en cuenta que en el último caso, 4,5 serán pases directos de un malabarista, pases cruzados (es decir, de izquierda a izquierda o de derecha a derecha) del otro malabarista. También se pueden crear intercambios de sitios sociales para más de 2 malabaristas (por ejemplo, 4p 3 3 o 3,7 3 para 3 malabaristas, donde 3,7 significa 3,66666.... o 3 2 ⁄ 3. Entonces cada malabarista debe comenzar a contar 1 ⁄ 3 después del anterior).

Tenga en cuenta que algunos malabaristas usan fracciones para notar patrones de varias manos.

con varias manos

La notación multimano fue desarrollada por Ed Carstens en 1992 para usarla con su programa de malabarismo JugglePro. ^[7] La ​​notación Siteswap en su forma más simple ("Vanilla siteswap") supone que solo se lanza una bola a la vez. De ello se deduce que cualquier intercambio de sitio válido para dos manos también lo será para cualquier número de manos, con la condición de que las manos se lancen una detrás de la otra. Los intercambios de sitios con varias manos que se utilizan habitualmente son el intercambio de sitios con una mano (diábolo) y el intercambio de sitios con cuatro manos (de paso) .

1 mano (diábolo)

El intercambio de sitios se realiza con una sola mano o con un jugador de diábolo que lanza diábolos a diferentes alturas.

4 manos

Los intercambios de sitios válidos pueden ser realizados por un malabarista de 4 manos, o por 2 malabaristas coordinando 4 manos, con la condición de que las manos lancen alternativamente.

En la práctica, esto se obtiene más fácilmente si los malabaristas lanzan por turnos, siendo una secuencia (mano derecha del malabarista A, mano derecha del malabarista B, mano izquierda de A, mano izquierda de B).

notación mezclada

Algunos malabaristas, al observar el intercambio de sitios a 4 manos, dividen los valores del intercambio de sitios por el número de malabaristas. Esto lleva a una notación fraccionaria similar a la notación para los intercambios de sitios sociales, pero el orden de la notación puede ser diferente.

Diagramas de estado

Diagrama de estado para 3 bolas con un lanzamiento máximo de '5'

Justo después de lanzar una pelota (o una maza u otro objeto de malabarismo), todas las pelotas están en el aire y bajo la influencia de la gravedad. Suponiendo que las bolas se atrapan a un nivel constante, entonces el momento en que caen las bolas ya está determinado. Podemos marcar cada punto en el tiempo en el que una bola va a aterrizar con una x , y cada punto en el tiempo en el que aún no hay una bola programada para aterrizar con un - . Esto describe el estado actual y determina qué bola numérica se puede lanzar a continuación. Por ejemplo, podemos observar el estado justo después de nuestro primer paso en el diagrama, es xx--x. Podemos usar el estado para determinar qué se puede lanzar a continuación. Primero quitamos la x del lado izquierdo (esa es la bola que aterriza a continuación) y desplazamos todo lo demás hacia la izquierda completando un - a la derecha. Esto nos deja con x--x-. Como atrapamos una pelota (la x que quitamos de la izquierda), no podemos "lanzar" un 0 a continuación. Tampoco podemos tirar un 1 o un 4, porque ya hay bolas programadas para caer allí. Entonces, suponiendo que lo más alto que podemos lanzar una pelota con precisión es a una altura de 5, entonces solo podemos lanzar un 2, 3 o un 5. En este diagrama, el malabarista lanzó un 3, por lo que una x va en el tercer lugar. , reemplazando el -, y tenemos x-xx- como el nuevo estado.

El diagrama mostrado ilustra todos los estados posibles para alguien que hace malabares con tres elementos y una altura máxima de 5. Desde cada estado se pueden seguir las flechas y los números correspondientes producen el intercambio de sitios. Cualquier ruta que produzca un ciclo genera un intercambio de sitios válido y todos los intercambios de sitios se pueden generar de esta manera. El diagrama se vuelve rápidamente más grande cuando se introducen más bolas o lanzamientos más altos, ya que hay más estados posibles y más lanzamientos posibles.

Otro método para representar los estados de intercambio de sitios es representar una bola con un 1 en lugar de una x, y representar un lugar donde no hay ninguna bola programada para aterrizar con un 0 en lugar de un -. Entonces el estado se puede representar con un número binario, como el binario 10011. Este formato permite representar estados multiplex, es decir, el número 2 representa que 2 bolas caen en ese tiempo.

Un diagrama de estado de intercambio de sitios también se puede representar como una tabla de transición de estado , como se muestra a la derecha. Para generar un intercambio de sitios, elija una fila de estado inicial. Indexe la fila a través de la columna de lanzamiento correspondiente. La entrada del estado en la intersección es la transición al estado cuando se realiza ese lanzamiento. Desde el nuevo estado, se puede volver a indexar la tabla. Este proceso se puede repetir para que cuando se alcance el estado original, se cree un intercambio de sitios válido.

Propiedades matemáticas

Validez

Diagrama de estado de Siteswap 531

No todas las secuencias de intercambio de sitios son válidas. ^[10] Todas las secuencias de intercambio de sitios básicas, síncronas y multiplex son válidas si sus transiciones de estado crean un ciclo en su gráfico de diagrama de estado. ^[10] Las secuencias que no crean un ciclo no son válidas. Por ejemplo, el patrón 531 se puede asignar a un diagrama de estado como se muestra a la derecha. Dado que las transiciones en esta secuencia crean un ciclo en el gráfico, este patrón es válido.

Existen otros métodos para determinar la validez de una secuencia según el tipo de intercambio de sitios.

Una secuencia básica de intercambio de sitios donde es el período del intercambio de sitios es válida cuando la cardinalidad del conjunto (escrita en notación Set-builder ) es igual al período donde ${\displaystyle a_{0}a_{1}a_{2}...a_{n-1}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle S=\{(a_{i}+i){\bmod {n}}|0\leq i\leq n-1\}}$$

^[11] ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2}$

Por ejemplo, el patrón 531 produciría o . Dado que el patrón 531 tiene un período de 3, los resultados del ejemplo anterior producirían o . En este caso, 531 es válido ya que todos los números son únicos. Otro ejemplo, 513 es un patrón no válido porque el primer paso produce o , el segundo paso produce o y la secuencia final contiene al menos un duplicado de un número, en este caso un 2. ${\displaystyle 5+0,3+1,1+2}$ ${\displaystyle 5,4,3}$ ${\displaystyle 5{\bmod {3}},4{\bmod {3}},3{\bmod {3}}}$ ${\displaystyle 2,1,0}$ ${\displaystyle 2,1,0}$ ${\displaystyle 5+0,1+1,3+2}$ ${\displaystyle 5,2,5}$ ${\displaystyle 5{\bmod {3}},2{\bmod {3}},5{\bmod {3}}}$ ${\displaystyle 2,2,2}$

Un intercambio de sitios sincrónico es válido si

1. solo contiene números pares y
2. se puede convertir en un intercambio de sitios básico válido utilizando la propiedad de diapositiva.

de lo contrario no es válido ^{[ cita requerida ]} .

Permutar propiedad

Se pueden generar nuevas secuencias estándar válidas intercambiando elementos adyacentes de otra secuencia de intercambio de sitios estándar válida, sumando 1 al número que se intercambia a la derecha y restando 1 del número que se intercambia a la izquierda. ^[11] La propiedad de intercambio convertirá la secuencia válida con un valor arbitrario para generar la nueva secuencia válida . ${\textstyle a_{0}a_{1}a_{2}...a_{i}a_{i+1}...a_{n-1}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle a_{0}a_{1}a_{2}...(a_{i+1}+1)(a_{i}-1)...a_{n-1}}$

Por ejemplo, la propiedad de intercambio realizada en los dos lanzamientos internos de la secuencia 4413 movería el 4 hacia la derecha restándole 1 para convertirse en 3 y movería el 1 hacia la izquierda sumándole 1 para convertirse en 2. Esto produce la nueva propiedad válida patrón de intercambio de sitios 4233.

Propiedad de diapositiva

Una secuencia síncrona válida se puede convertir en una secuencia asíncrona válida y viceversa utilizando la propiedad slide. Dada la secuencia sincrónica, se pueden formar las nuevas secuencias básicas: donde ${\displaystyle (a_{0},a_{1})(a_{2},a_{3})...(a_{n-2},a_{n-1})}$ ${\textstyle b_{0}b_{1}...b_{n-1}}$

$${\displaystyle b_{i}={\begin{cases}a_{i}+1,&{\text{if }}i{\text{ is even and }}a_{i}{\text{ crosses hands}}\\a_{i}-1,&{\text{if }}i{\text{ is odd and }}a_{i}{\text{ crosses hands}}\\a_{i},&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

${\displaystyle c_{0}c_{1}...c_{n-1}}$

$${\displaystyle c_{i}={\begin{cases}a_{i+1}+1,&{\text{if }}i{\text{ is even and }}a_{i}{\text{ crosses hands}}\\a_{i-1}-1,&{\text{if }}i{\text{ is odd and }}a_{i}{\text{ crosses hands}}\\a_{i+1},&{\text{if }}i{\text{ is even and }}a_{i}{\text{ does not cross}}\\a_{i-1},&{\text{if }}i{\text{ is odd and }}a_{i}{\text{ does not cross}}\end{cases}}}$$

^[10]

Por ejemplo, el intercambio de sitios (8x,4x)(4,4) crearía dos intercambios de sitios asincrónicos (vainilla) usando la propiedad de diapositiva: 9344 y 5744.

Patrones primarios

Los intercambios de sitios pueden considerarse primarios o compuestos. ^[10] Un intercambio de sitios es primo si la ruta creada en su diagrama de estado no atraviesa ningún estado más de una vez. Los intercambios de sitios que no son principales se denominan compuestos.

Un método no riguroso pero más simple para determinar si un intercambio de sitios es principal es intentar dividirlo en cualquier patrón más corto válido que utilice la misma cantidad de accesorios. ^[10] Por ejemplo, 44404413 se puede dividir en 4440, 441 y 3; por lo tanto, 44404413 es un compuesto. Otro ejemplo, 441, que usa tres accesorios, es primo, ya que 1, 4, 41 y 44 no son patrones de tres accesorios válidos (ya que 1/1≠3, 4/1≠3, (4+1)/2≠ 3, y (4+4)/2≠3). A veces este proceso no funciona; por ejemplo, 153 (más conocido por su rotación 531) parece que se puede dividir en 15 y 3, pero comprobar que el ciclo no tiene nodos repetidos en el recorrido del gráfico indica que es primo según la definición más rigurosa.

Se ha demostrado empíricamente que los intercambios de sitios principales más largos delimitados por la altura contienen principalmente los throws y . ^[12] Jack Boyce enumeró los patrones primos más largos con una altura de 22 (con un máximo de 3 bolas), para 9 bolas (con una altura máxima de 13) y para alturas y recuentos de bolas intermedios en febrero de 1999 utilizando un programa llamado jdeep. ^[13] La lista completa de los intercambios de sitios principales más largos generados por jdeep (con lanzamientos '0' representados por un '-' y lanzamientos de altura máxima representados por un '+') se puede encontrar aquí. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle h}$

Conexiones matemáticas

Conexiones con el álgebra abstracta

Los patrones de intercambio de sitios básicos pueden verse como ciertos elementos del grupo simétrico afín (el grupo Weyl afín de tipo ). ^[14] Una presentación de este grupo es como el conjunto de funciones biyectivas f sobre los números enteros tales que, para un n fijo : f ( i + n ) = f ( i ) + n para todos los números enteros i . Si el elemento f satisface la condición adicional de que f ( i ) ≥ i para todo i , entonces f corresponde al patrón de intercambio de sitios (infinitamente repetido) cuyo i- ésimo número es f ( i ) − i : es decir, la pelota lanzada en el momento Aterrizaré en el momento f ( i ). ${\displaystyle {\tilde {A}}_{n}}$

Conexiones a la topología

Un subconjunto de estos patrones de intercambio de sitios etiqueta naturalmente los estratos en la estratificación de positroides del Grassmanniano . ^[15]

Lista de símbolos

• Número: Duración relativa (altura) de un lanzamiento. 1, 2, 3...
• Corchetes []: Multiplex. [333]33.
• Galones y barra vertical <|>: Patrones simultáneos y de paso.
  • P: Pasa. <333P|333P>
  • Fracción: Pasa 1/y latidos más tarde. <4,5 3 3 | 3 4 3.5>
• Paréntesis (): Patrón sincrónico.
  • *: Patrón sincrónico que cambia de lado. (4,2x)(2x,4) = (4,2x)*
  • x: Lanzar hacia la otra mano durante un patrón sincrónico.

Programas

Hay muchos programas informáticos gratuitos disponibles que simulan patrones de malabarismo.

• Animador de Juggling Lab: un animador de código abierto escrito en Java e interpreta casi toda la sintaxis de intercambio de sitios.
• Jongl: animador 3D capaz de mostrar patrones de múltiples manos (pasos).
• ¡JoePass! funciona en Windows, Macintosh y Wine (para Linux)
• Gunswap: una biblioteca de patrones y animador de malabarismo 3D basado en la web y de código abierto.

También hay algunos juegos para jugar con siteswap:

• Juego Siteswap desarrollado por Sebi Haushofer (para Java)

Ver también

• Lista de intercambios de sitios

Notas

1. • "Inventado de forma independiente alrededor de 1985 por Paul Klimek de la Universidad de California en Santa Cruz, Bruce Tiemann del Instituto de Tecnología de California y Michael Day de la Universidad de Cambridge". ^[4]
   • "...patrones de intercambio de sitios... en la forma inventada por algunos de Bruce Tiemann, Bengt Magnusson y Joel Hamkins" ^[6]
   • "Inventado alrededor de 1985 por tres personas de forma independiente: Bruce "Boppo" Tiemann en Caltech, Paul Klimek en Santa Cruz y Mike Day en Cambridge". ^[3]
   • "...Bruce Tiemann (Boppo) y el fallecido Bengt Magnusson....Otros contribuyentes al desarrollo de la teoría del intercambio de sitios incluyen a Jack Boyce, Allen Knutson, Ed Carstens y malabaristas de la red informática". ^[7]
   • "A Jack Boyce (también en Caltech) se le ocurrió el modelo de estado de malabarismo para explicar el fenómeno de los trucos de estado excitado". ^[3]
   • "Para dar crédito a quien lo merece, la notación presentada aquí fue inventada de forma independiente (y previamente) por Paul Klimek, con quien hemos tenido conversaciones útiles". ^[2]

Referencias

1. Donahue, Bill (3 de diciembre de 2004). "Las matemáticas de... los malabares". Revista Descubre . Consultado el 30 de junio de 2017 .
2. Tiemann, Bruce y Magnusson, Bengt (1991). "Una notación para trucos de malabarismo, MUCHOS trucos de malabarismo", Juggle.org . Consultado el 8 de julio de 2014. URL original.
3. Knutson, Allen. "Preguntas frecuentes sobre intercambio de sitios". Malabares.org . Consultado el 30 de junio de 2017 .
4. Beek, Peter J.; Lewbel, Arthur (noviembre de 1995). "Las matemáticas del malabarismo" (PDF) . La ciencia del malabarismo . vol. 273, págs. 92–97. Código Bib : 1995SciAm.273e..92B. doi : 10.1038/scientificamerican1195-92. ISSN  0036-8733. Archivado desde el original (PDF) el 4 de marzo de 2016. {{cite book}}: |journal=ignorado ( ayuda ) También disponible en Juggling.org.
5. Hayes, David F.; Shubin, Tatiana (2004). Aventuras matemáticas para estudiantes y aficionados. Asociación Matemática de América. pag. 99.ISBN​ 0883855488. OCLC  56020214.
6. Knutson, Allen. "(en) Programas IBM-PC". Malabares.org . Consultado el 3 de octubre de 2023 .
7. Lewbel, Arthur (1996). "El malabarista académico: la invención de las notaciones de malabarismo Archivado el 14 de julio de 2014 en Wayback Machine ", Juggle.org .
8. Sethares, William Arthur (2007). Ritmo y Transformaciones . Saltador . pag. 40.ISBN​ 9781846286407. OCLC  261225487.
9. Boyce, Jack (11 de octubre de 1997). "Patrones del Taller de Lodi 1997". sonic.net . Archivado desde el original el 7 de diciembre de 2004 . Consultado el 8 de julio de 2020 .
10. , Ben (2001). "Guía de Siteswap Ben sobre patrones de malabarismo", p.6, JugglingEdge.com . BenBeever.com en Wayback Machine (archivado el 10 de agosto de 2015).
11. Polster, Burkard. "Las matemáticas del malabarismo" (PDF) . qedcat.com . Consultado el 22 de abril de 2020 .
12. Boyce, Jack. "Los patrones de intercambio de sitios Prime más largos" (PDF) . jonglage.net . Consultado el 27 de abril de 2020 .
13. Boyce, Jack (17 de febrero de 1999). "jdeep.c". sonic.net . Archivado desde el original el 7 de diciembre de 2004 . Consultado el 27 de abril de 2020 .
14. Ehrenborg, Richard; Ready, Margaret (1 de octubre de 1996). "Malabarismos y aplicaciones a q-análogos". Matemáticas discretas . 157 (1): 107–125. doi : 10.1016/S0012-365X(96)83010-X . ISSN  0012-365X.
15. Knutson, Allen; Lam, Tomás; Speyer, David (15 de noviembre de 2011). "Variedades de positroides: malabares y geometría". arXiv : 1111.3660 [matemáticas.AG].

Otras lecturas

• Polster, Burkard (2003). Las matemáticas del malabarismo. Nueva York: Springer. ISBN 0-387-95513-5. Consultado el 23 de agosto de 2012 .

enlaces externos

• "Patrones de paso simétricos", PassingDB.com .
• DSSS: El simulador de intercambio de sitios de Diabolo, ArtofDiabolo.com .
• Laboratorio de malabares (animador descargable)
• Gunswap Malabares (animador en línea)
• Calculadora de intercambio de sitios TWJC (útil validador de intercambio de sitios Vanilla, Multiplex y síncrono)
• "Patrones de pases simétricos escalonados para 2 malabaristas" por Sean Gandini (intercambios de sitios sociales)
• Smith, HJ "Juggler Numbers" en Wayback Machine (archivado el 6 de agosto de 2003)
• Wright, Colin. «Malabarismo con números» (vídeo) . YouTube . Brady Harán . Consultado el 4 de octubre de 2017 .