Impulso cristalino

Existe una cantidad infinita de oscilaciones sinusoidales que se ajustan perfectamente a un conjunto de osciladores discretos, lo que hace imposible definir un vector k de manera inequívoca. Se trata de una relación entre las distancias entre osciladores y la frecuencia espacial de Nyquist de las ondas en la red. ^[1] Véase también Aliasing § Muestreo de funciones sinusoidales para obtener más información sobre la equivalencia de los vectores k.

En física del estado sólido , el momento cristalino o cuasimomento es un vector similar al momento asociado con los electrones en una red cristalina . ^[2] Se define por los vectores de onda asociados de esta red, según $\mathbf {k}$

{\mathbf {p} }_{\text{cristal}}\equiv \hbar {\mathbf {k} }

(donde es la constante de Planck reducida ). ^[3]^{: 139} Con frecuencia ^[^{aclaración necesaria}^] , el momento cristalino se conserva como el momento mecánico, lo que lo hace útil para los físicos y científicos de materiales como una herramienta analítica. ${\estilo de visualización \hbar}$

Orígenes de la simetría reticular

Un método común para modelar la estructura y el comportamiento de los cristales es considerar a los electrones como partículas mecánicas cuánticas que viajan a través de un potencial periódico infinito fijo de modo que ${\estilo de visualización V(x)}$

V({\mathbf {x} }+{\mathbf {a} })=V({\mathbf {x} }),

donde es un vector de red arbitrario . Este modelo es sensato porque los iones cristalinos que forman la estructura de red son típicamente del orden de decenas de miles de veces más masivos que los electrones, ^[4] lo que hace que sea seguro reemplazarlos con una estructura de potencial fija, y las dimensiones macroscópicas de un cristal son típicamente mucho mayores que un solo espaciado de red, lo que hace que los efectos de borde sean insignificantes. Una consecuencia de esta función de energía potencial es que es posible cambiar la posición inicial de un electrón por cualquier vector de red sin cambiar ningún aspecto del problema, definiendo así una simetría discreta . Técnicamente, un potencial periódico infinito implica que el operador de traslación de red conmuta con el hamiltoniano , asumiendo una forma cinética más potencial simple. ^[3]^{: 134} $\mathbf {a}$ $\mathbf {a}$ $Estilo de visualización T(a)$

Estas condiciones implican el teorema de Bloch , que establece

\psi _{n}({\mathbf {x} })=e^{i{\mathbf {k} {\mathbf {\cdot x} }}}u_{n{\mathbf {k} } }({\mathbf {x} }),\qquad u_{n{\mathbf {k} }}({\mathbf {x} }+{\mathbf {a} })=u_{n{\mathbf {k } }}({\mathbf {x} })

o que un electrón en una red, que puede ser modelado como una función de onda de una partícula individual , encuentra sus soluciones de estado estacionario en forma de una onda plana multiplicada por una función periódica . El teorema surge como consecuencia directa del hecho antes mencionado de que el operador de traslación de simetría de red conmuta con el hamiltoniano del sistema. ^[3]^{: 261–266}^[5] $\psi (\mathbf {x} )$ $u(\mathbf {x} )$

Uno de los aspectos destacables del teorema de Bloch es que muestra directamente que las soluciones en estado estacionario pueden identificarse con un vector de onda , lo que significa que este número cuántico sigue siendo una constante de movimiento. El momento del cristal se define entonces convencionalmente multiplicando este vector de onda por la constante de Planck: $\mathbf {k}$

{\mathbf {p} }_{\text{cristal}}=\hbar {\mathbf {k} }.

Si bien esto es, de hecho, idéntico a la definición que se podría dar para el momento regular (por ejemplo, al tratar los efectos del operador de traslación por los efectos de una partícula en el espacio libre ^[6] ), existen diferencias teóricas importantes. Por ejemplo, mientras que el momento regular se conserva completamente, el momento cristalino solo se conserva dentro de un vector reticular. Por ejemplo, un electrón puede describirse no solo por el vector de onda , sino también con cualquier otro vector de onda tal que $\mathbf {k}$ $\mathbf {k} '$

\mathbf {k'} =\mathbf {k} +\mathbf {K} ,

donde es un vector reticular recíproco arbitrario. ^[3]^{: 218} Esto es una consecuencia del hecho de que la simetría reticular es discreta en oposición a continua, y por lo tanto su ley de conservación asociada no se puede derivar utilizando el teorema de Noether . $\mathbf {K}$

Importancia física

La modulación de fase del estado de Bloch es la misma que la de una partícula libre con momento , es decir, da la periodicidad del estado, que no es la misma que la de la red. Esta modulación contribuye a la energía cinética de la partícula (mientras que la modulación es totalmente responsable de la energía cinética de una partícula libre). $\psi _{n}({\mathbf {x} })=e^{i{\mathbf {k} {\mathbf {\cdot x} }}}u_{n{\mathbf {k} } }({\mathbf {x} })$ $\hbar k$ ${\estilo de visualización k}$

En regiones donde la banda es aproximadamente parabólica, el momento cristalino es igual al momento de una partícula libre con momento si le asignamos a la partícula una masa efectiva relacionada con la curvatura de la parábola. $\hbar k$

Relación con la velocidad

Un paquete de ondas con dispersión , lo que hace que la velocidad de grupo y la velocidad de fase sean diferentes. Esta imagen es una onda real unidimensional , pero los paquetes de ondas de electrones son ondas complejas tridimensionales .

El momento cristalino corresponde al concepto físicamente medible de velocidad según ^[3]^{: 141}

{\mathbf {v} }_{n}({\mathbf {k} })={\frac {1}{\hbar }}\nabla _{\mathbf {k} }E_{n}( {\mathbf {k} }).

Esta es la misma fórmula que la velocidad de grupo de una onda . Más específicamente, debido al principio de incertidumbre de Heisenberg , un electrón en un cristal no puede tener tanto una k exactamente definida como una posición exacta en el cristal. Sin embargo, puede formar un paquete de ondas centrado en el momento k (con una ligera incertidumbre) y centrado en una cierta posición (con una ligera incertidumbre). La posición central de este paquete de ondas cambia a medida que la onda se propaga, moviéndose a través del cristal a la velocidad v dada por la fórmula anterior. En un cristal real, un electrón se mueve de esta manera (viajando en una cierta dirección a una cierta velocidad) solo por un corto período de tiempo, antes de chocar con una imperfección en el cristal que hace que se mueva en una dirección diferente y aleatoria. Estas colisiones, llamadas dispersión de electrones , son causadas más comúnmente por defectos cristalográficos , la superficie del cristal y vibraciones térmicas aleatorias de los átomos en el cristal ( fonones ). ^[3]^{: 216}

Respuesta a campos eléctricos y magnéticos

El momento cristalino también juega un papel fundamental en el modelo semiclásico de la dinámica electrónica, donde se deduce del teorema de aceleración ^[7]^[8] que obedece las ecuaciones de movimiento (en unidades cgs): ^[3]^{: 218}

{\mathbf {v} }_{n}({\mathbf {k} })={\frac {1}{\hbar }}\nabla _{\mathbf {k} }E_{n}( {\mathbf {k} }),

{\mathbf {\dot {p}} }_{\text{crystal}}=-e\left({\mathbf {E} }-{\frac {1}{c}}{\mathbf { v} }\times {\mathbf {H} }\right)

En este caso, la analogía entre el momento cristalino y el momento verdadero es quizás la más poderosa, ya que son precisamente las ecuaciones que obedece un electrón en el espacio libre en ausencia de cualquier estructura cristalina. El momento cristalino también tiene su oportunidad de brillar en este tipo de cálculos, ya que, para calcular la trayectoria de movimiento de un electrón utilizando las ecuaciones anteriores, solo es necesario considerar los campos externos, mientras que intentar el cálculo a partir de un conjunto de ecuaciones de movimiento basadas en el momento verdadero requeriría tener en cuenta las fuerzas individuales de Coulomb y Lorentz de cada ion reticular, además del campo externo.

Aplicaciones

Espectroscopia de fotoemisión con resolución angular (ARPES)

En la espectroscopia de fotoemisión con resolución angular (ARPES), la irradiación de luz sobre una muestra de cristal da como resultado la expulsión de un electrón fuera del cristal. A lo largo de la interacción, se permite combinar los dos conceptos de cristal y momento verdadero y, de ese modo, obtener conocimiento directo de la estructura de bandas de un cristal. Es decir, el momento cristalino de un electrón dentro del cristal se convierte en su momento verdadero después de que sale, y el momento verdadero puede inferirse posteriormente a partir de la ecuación

{\mathbf {p_{\paralelo}}}={\sqrt {2mE_{\text{kin}}}}\sin \theta

midiendo el ángulo y la energía cinética con la que el electrón sale del cristal, donde es la masa de un solo electrón. Debido a que la simetría del cristal en la dirección normal a la superficie del cristal se pierde en el límite del cristal, el momento del cristal en esta dirección no se conserva. En consecuencia, las únicas direcciones en las que se pueden obtener datos ARPES útiles son las direcciones paralelas a la superficie del cristal. ^[9] ${\estilo de visualización m}$

Referencias

^ "Tema 5-2: Frecuencia de Nyquist y velocidad de grupo" (PDF) . Física del estado sólido en pocas palabras . Escuela de Minas de Colorado . Archivado (PDF) desde el original el 27 de diciembre de 2015.
^ Gurevich VL; Thellung A. (octubre de 1990). "Quasimomentum en la teoría de la elasticidad y su conversión". Physical Review B . 42 (12): 7345–7349. Bibcode :1990PhRvB..42.7345G. doi :10.1103/PhysRevB.42.7345. PMID 9994874.
^ abcdefg Neil Ashcroft ; David Mermin (1976). Física del estado sólido . Brooks/Cole Thomson Learning . ISBN 0-03-083993-9.
^ Peter J. Mohr; Barry N. Taylor (2004). "Valores de las constantes físicas fundamentales recomendados por CODATA en 2002".
^ JJ Sakurai (1994). Mecánica cuántica moderna . Addison-Wesley. pág. 139. ISBN 0-201-53929-2.
^ Robert Littlejohn (2012). "Apuntes de clase de Física 221a 4: Grados espaciales de libertad".
^ Callaway, Joseph (1976). Teoría cuántica del estado sólido. Academic Press.
^ Grecchi, Vincenzo; Sacchetti, Andrea (2005). "Osciladores Bloch: movimiento de paquetes de ondas". arXiv : quant-ph/0506057 .
^ Damascelli, Andrea; Zahid Hussain; Zhi-Xun Shen (2003). "Estudios de fotoemisión con resolución angular de los superconductores de cuprato". Reseñas de Física Moderna . 75 (2): 473. arXiv : cond-mat/0208504 . Código Bibliográfico :2003RvMP...75..473D. doi :10.1103/RevModPhys.75.473. S2CID 118433150.