Gas fotónico

Colección de fotones similar a un gas

En física, un gas de fotones es una colección de fotones similar a un gas , que tiene muchas de las mismas propiedades de un gas convencional como el hidrógeno o el neón , incluidas la presión, la temperatura y la entropía. El ejemplo más común de un gas de fotones en equilibrio es la radiación del cuerpo negro .

Los fotones son parte de una familia de partículas conocidas como bosones , partículas que siguen la estadística de Bose-Einstein y con espín entero . Un gas de bosones con un solo tipo de partícula se describe de forma única mediante tres funciones de estado, como la temperatura , el volumen y el número de partículas . Sin embargo, para un cuerpo negro, la distribución de energía se establece por la interacción de los fotones con la materia, generalmente las paredes del recipiente, y el número de fotones no se conserva. Como resultado, el potencial químico del gas de fotones del cuerpo negro es cero en el equilibrio termodinámico. El número de variables de estado necesarias para describir un estado de cuerpo negro se reduce así de tres a dos (por ejemplo, temperatura y volumen).

Termodinámica de un gas de fotones de cuerpo negro

En un gas ideal clásico con partículas masivas, la energía de las partículas se distribuye de acuerdo con una distribución de Maxwell-Boltzmann . Esta distribución se establece cuando las partículas chocan entre sí, intercambiando energía (y momento) en el proceso. En un gas de fotones, también habrá una distribución de equilibrio, pero los fotones no chocan entre sí (excepto en condiciones muy extremas, véase física de dos fotones ), por lo que la distribución de equilibrio debe establecerse por otros medios. La forma más común en que se establece una distribución de equilibrio es mediante la interacción de los fotones con la materia. ^[1] Si los fotones son absorbidos y emitidos por las paredes del sistema que contiene el gas de fotones, y las paredes están a una temperatura particular, entonces la distribución de equilibrio para los fotones será una distribución de cuerpo negro a esa temperatura. ^[2]

Una diferencia muy importante entre un gas de Bose genérico (gas de bosones masivos) y un gas de fotones con una distribución de cuerpo negro es que el número de fotones en el gas de fotones no se conserva. Un fotón puede crearse mediante la excitación térmica de un átomo en la pared hasta un estado electrónico superior, seguida de la emisión de un fotón cuando el átomo vuelve a un estado energético inferior. Este tipo de generación de fotones se denomina emisión térmica. El proceso inverso también puede tener lugar, lo que da como resultado que un fotón se destruya y se elimine del gas. Se puede demostrar que, como resultado de tales procesos, no hay ninguna restricción en el número de fotones en el sistema, y ​​el potencial químico de los fotones debe ser cero para la radiación de cuerpo negro.

La termodinámica de un gas de fotones de cuerpo negro se puede derivar utilizando argumentos mecánico-estadísticos cuánticos , con el campo de radiación en equilibrio con los átomos en la pared. La derivación produce la densidad de energía espectral u , que es la energía del campo de radiación por unidad de volumen por unidad de intervalo de frecuencia, dada por: ^[3]

${\displaystyle u(\nu ,T)={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}~{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}}$.

donde h es la constante de Planck , c   es la velocidad de la luz, ν   es la frecuencia, k   es la constante de Boltzmann y T   es la temperatura.

Integrando sobre la frecuencia y multiplicando por el volumen, V , se obtiene la energía interna de un gas de fotones de cuerpo negro:

${\displaystyle U=\left({\frac {8\pi ^{5}k^{4}}{15(hc)^{3}}}\right)VT^{4}}$. ^[4]

La derivación también produce el número (esperado) de fotones N :

${\displaystyle N=\left({\frac {16\pi k^{3}\zeta (3)}{(hc)^{3}}}\right)VT^{3}}$,

donde es la función zeta de Riemann . Nótese que para una temperatura particular, el número de partículas N varía con el volumen de una manera fija, ajustándose para tener una densidad constante de fotones. ${\displaystyle \zeta (n)}$

Si observamos que la ecuación de estado para un gas cuántico ultrarrelativista (que describe inherentemente a los fotones) está dada por

${\displaystyle U=3PV}$,

Luego podemos combinar las fórmulas anteriores para producir una ecuación de estado que se parece mucho a la de un gas ideal:

${\displaystyle PV={\frac {\zeta (4)}{\zeta (3)}}NkT\approx 0.9\,NkT}$.

La siguiente tabla resume las funciones de estado termodinámicas para un gas de fotón de cuerpo negro. Observe que la presión se puede escribir en la forma , que es independiente del volumen ( b es una constante). ${\displaystyle P=bT^{4}}$

Transformaciones isotérmicas

Como ejemplo de un proceso termodinámico que involucra un gas de fotones, considere un cilindro con un pistón móvil. Las paredes interiores del cilindro son "negras" para que la temperatura de los fotones pueda mantenerse a una temperatura particular. Esto significa que el espacio dentro del cilindro contendrá un gas de fotones distribuidos como un cuerpo negro. A diferencia de un gas masivo, este gas existirá sin que los fotones se introduzcan desde el exterior: las paredes proporcionarán los fotones para el gas. Suponga que el pistón se empuja hasta el fondo del cilindro de modo que haya un volumen extremadamente pequeño. El gas de fotones dentro del volumen presionará contra el pistón, moviéndolo hacia afuera, y para que la transformación sea isotérmica, se deberá aplicar una fuerza contraria de casi el mismo valor al pistón para que el movimiento del pistón sea muy lento. Esta fuerza será igual a la presión por el área de la sección transversal ( A ) del pistón. Este proceso puede continuar a una temperatura constante hasta que el gas de fotones tenga un volumen V ₀ . Integrando la fuerza sobre la distancia ( x ) recorrida se obtiene el trabajo total realizado para crear este gas de fotones en este volumen.

${\displaystyle W=-\int _{0}^{x_{0}}P(A\mathrm {d} x)}$,

  donde se ha utilizado la relación V = Ax . Definiendo

${\displaystyle b={\frac {8\pi ^{5}k^{4}}{15c^{3}h^{3}}}}$. ^[4]

La presión es

${\displaystyle P(x)={\frac {bT^{4}}{3}}\,}$.

Integrando, el trabajo realizado es justo

${\displaystyle W=-{\frac {bT^{4}Ax_{0}}{3}}=-{\frac {bT^{4}V_{0}}{3}}}$.

La cantidad de calor que se debe agregar para crear el gas es

${\displaystyle Q=U-W=H_{0}\,}$.

donde H ₀ es la entalpía al final de la transformación. Se ve que la entalpía es la cantidad de energía necesaria para crear el gas fotónico.

Gases fotónicos con potencial químico ajustable

En sistemas de baja dimensión, por ejemplo, en microcavidades ópticas llenas de solución colorante con una distancia entre los espejos resonadores en el rango de longitudes de onda donde la situación se vuelve bidimensional, también se pueden crear gases de fotones con potencial químico ajustable. Un gas de fotones de este tipo se comporta en muchos aspectos como un gas de partículas materiales. Una consecuencia del potencial químico ajustable es que, a altas densidades de espacio de fase, se observa la condensación de fotones de Bose-Einstein . ^[6]

Véase también

• Gas en una caja : derivación de funciones de distribución para todos los gases ideales
• Gasolina Bose
• Gas de Fermi
• Ley de Planck de la radiación del cuerpo negro : distribución de las energías de los fotones en función de la frecuencia o la longitud de onda
• Ley de Stefan-Boltzmann : el flujo total emitido por un cuerpo negro
• Presión de radiación

Referencias

1. Einstein, A. (1917). "Zur Quantentheorie der Strahlung". Physikalische Zeitschrift . 18 : 121-128. Código bibliográfico : 1917PhyZ...18..121E. Traducido por Ter Haar, D. (1967). "Sobre la teoría cuántica de la radiación". La antigua teoría cuántica . Pergamon Press . Págs. 167–183. LCCN  66029628.Véase también [1].
   • Einstein, A. (1993). The Collected Papers of Albert Einstein . Vol. 3. Traducción al inglés de Beck, A. Princeton University Press . ISBN 978-0-691-10250-4.
2. Kittel, Charles ; Herbert Kroemer (15 de enero de 1980). Física térmica (2.ª ed.). WH Freeman.
3. Ley de Planck Planck, M. (1900). "Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspectrum". Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft . 2 : 237–245. Traducido por Ter Haar, D. (1967). "Sobre la teoría de la ley de distribución de energía del espectro normal" (PDF) . La antigua teoría cuántica . Pergamon Press . Pág. 82. LCCN  66029628.
4. Leff, Harvey S. (12 de julio de 2002). "Enseñanza del gas fotón en la física introductoria". American Journal of Physics . 70 (8): 792–797. Bibcode :2002AmJPh..70..792L. doi :10.1119/1.1479743. ISSN  0002-9505.
5. Schwabl, Franz (13 de junio de 2006). "4.5 Gas de fotones". Mecánica estadística . Springer Science & Business Media. ISBN 9783540323433.
6. J. Klaers; J. Schmitt; F. Vewinger y M. Weitz (2010). "Condensación de Bose-Einstein de fotones en una microcavidad óptica". Nature . 468 : 545–548. arXiv : 1007.4088 . doi :10.1038/nature09567. PMID  21107426. S2CID  4349640.

Lectura adicional

• Baierlein, Ralph (abril de 2001). "El elusivo potencial químico" (PDF) . American Journal of Physics . 69 (4): 423–434. Bibcode :2001AmJPh..69..423B. doi :10.1119/1.1336839.
• Herrmann, F.; Würfel, P. (agosto de 2005). "Luz con potencial químico distinto de cero" (PDF) . American Journal of Physics . 73 (8): 717–723. Bibcode :2005AmJPh..73..717H. doi :10.1119/1.1904623. Archivado desde el original (PDF) el 2016-03-04 . Consultado el 2012-06-29 .