En matemáticas , los espacios perfectoides son espacios ádicos de tipo especial, que aparecen en el estudio de problemas de " característica mixta ", tales como cuerpos locales de característica cero que tienen cuerpos de residuos de característica prima p .
Un cuerpo perfectoide es un cuerpo topológico completo K cuya topología es inducida por una valoración no discreta de rango 1, tal que el endomorfismo de Frobenius Φ es sobreyectivo en K °/ p donde K ° denota el anillo de elementos acotados por potencia.
Los espacios perfeccionados pueden utilizarse para comparar situaciones características mixtas con situaciones características puramente finitas (y se inventaron para ello). Las herramientas técnicas para hacer esto preciso son la equivalencia de inclinación y el teorema de pureza casi absoluta. Los conceptos fueron introducidos en 2012 por Peter Scholze . [1]
Para cualquier cuerpo perfectoide K existe una inclinación K ♭ , que es un cuerpo perfectoide de característica finita p . Como conjunto , puede definirse como
Explícitamente, un elemento de K ♭ es una secuencia infinita ( x 0 , x 1 , x 2 , ...) de elementos de K tales que x i = xpi +
1La multiplicación en K ♭ se define término por término, mientras que la adición es más complicada. Si K tiene característica finita, entonces K ≅ K ♭ . Si K es la completitud p -ádica de , entonces K ♭ es la completitud t -ádica de .
Existen nociones de álgebras perfectoides y espacios perfectoides sobre un cuerpo perfectoide K , aproximadamente análogas a las álgebras conmutativas y esquemas sobre un cuerpo . La operación de inclinación se extiende a estos objetos. Si X es un espacio perfectoide sobre un cuerpo perfectoide K , entonces se puede formar un espacio perfectoide X ♭ sobre K ♭ . La equivalencia de inclinación es un teorema que establece que el funtor de inclinación (-) ♭ induce una equivalencia de categorías entre espacios perfectoides sobre K y espacios perfectoides sobre K ♭ . Nótese que mientras que un cuerpo perfectoide de característica finita puede tener varias "inclinaciones" no isomorfas , las categorías de los espacios perfectoides sobre ellos serían todas equivalentes.
Esta equivalencia de categorías respeta algunas propiedades adicionales de los morfismos. Muchas propiedades de los morfismos de esquemas tienen análogos para los morfismos de espacios ádicos. El teorema de pureza casi absoluta para espacios perfectoides se ocupa de los morfismos étale finitos . Es una generalización del teorema de pureza casi absoluta de Faltings en la teoría de Hodge p -ádica . El nombre alude a las matemáticas casi absolutas , que se utilizan en una prueba, y a un teorema clásico distante relacionado sobre la pureza del lugar geométrico de las ramas . [2]
El enunciado consta de dos partes. Sea K un cuerpo perfectoide.
Dado que los mapas de étale finitos en un cuerpo son exactamente extensiones de cuerpo separables finitas , el teorema de pureza casi absoluta implica que para cualquier cuerpo perfectoide K los grupos de Galois absolutos de K y K ♭ son isomorfos.
