Entropía del entrelazamiento

Concepto en física cuántica

La entropía de entrelazamiento (o entropía de entrelazamiento ) es una medida del grado de entrelazamiento cuántico entre dos subsistemas que constituyen un sistema cuántico compuesto de dos partes . Dado un estado cuántico bipartito puro del sistema compuesto, es posible obtener una matriz de densidad reducida que describa el conocimiento del estado de un subsistema. La entropía de entrelazamiento es la entropía de Von Neumann de la matriz de densidad reducida para cualquiera de los subsistemas. Si es distinto de cero, es decir, el subsistema está en un estado mixto , indica que los dos subsistemas están entrelazados.

Más matemáticamente; Si un estado que describe dos subsistemas A y B es un estado separable, entonces la matriz de densidad reducida es un estado puro . Por tanto, la entropía del estado es cero. De manera similar, la matriz de densidad de B también tendría entropía 0. Por lo tanto, una matriz de densidad reducida que tiene una entropía distinta de cero es una señal de la existencia de entrelazamiento en el sistema. ${\displaystyle |\Psi _{AB}\rangle =|\phi _{A}\rangle |\phi _{B}\rangle }$ ${\displaystyle \rho _{A}=\operatorname {Tr} _{B}|\Psi _{AB}\rangle \langle \Psi _{AB}|=|\phi _{A}\rangle \langle \phi _{A}|}$

Entropía de entrelazamiento bipartito

Supongamos que un sistema cuántico consta de partículas. Una bipartición del sistema es una partición que divide el sistema en dos partes y , que contienen partículas y respectivamente con . La entropía de entrelazamiento bipartito se define con respecto a esta bipartición. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle k+l=N}$

Entropía de entrelazamiento de Von Neumann

La entropía de entrelazamiento bipartita de von Neumann se define como la entropía de von Neumann de cualquiera de sus estados reducidos, ya que son del mismo valor (se puede demostrar a partir de la descomposición de Schmidt del estado con respecto a la bipartición); el resultado es independiente de cuál elegimos. Es decir, para un estado puro , viene dado por: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \rho _{AB}=|\Psi \rangle \langle \Psi |_{AB}}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}(\rho _{A})=-\operatorname {Tr} [\rho _{A}\operatorname {log} \rho _{A}]=-\operatorname {Tr} [\rho _{B}\operatorname {log} \rho _{B}]={\mathcal {S}}(\rho _{B})}$

donde y son las matrices de densidad reducida para cada partición. ${\displaystyle \rho _{A}=\operatorname {Tr} _{B}(\rho _{AB})}$ ${\displaystyle \rho _{B}=\operatorname {Tr} _{A}(\rho _{AB})}$

La entropía de entrelazamiento se puede expresar utilizando los valores singulares de la descomposición del estado de Schmidt. Cualquier estado puro se puede escribir como donde y son estados ortonormales en subsistema y subsistema respectivamente. La entropía del entrelazamiento es simplemente: ${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}|u_{i}\rangle _{A}\otimes |v_{i}\rangle _{B}}$ ${\displaystyle |u_{i}\rangle _{A}}$ ${\displaystyle |v_{i}\rangle _{B}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\textstyle -\sum _{i}\alpha _{i}^{2}\log(\alpha _{i}^{2})}$

Esta forma de escribir la entropía deja explícitamente claro que la entropía de entrelazamiento es la misma independientemente de si se calcula la traza parcial sobre el subsistema o . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Muchas medidas de entrelazamiento se reducen a la entropía del entrelazamiento cuando se evalúan en estados puros. Entre ellos se encuentran:

• entrelazamiento destilable
• Costo de entrelazamiento
• Enredo de formación
• Entropía relativa del entrelazamiento
• Enredo aplastado

Algunas medidas de entrelazamiento que no se reducen a la entropía del entrelazamiento son:

• Negatividad
• Negatividad logarítmica
• Robustez del entrelazamiento ^[1]

Entropías de entrelazamiento de Renyi

Las entropías de entrelazamiento de Renyi también se definen en términos de matrices de densidad reducida y un índice de Renyi . Se define como la entropía de Rényi de las matrices de densidad reducida: ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha \geq 0}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{\alpha }(\rho _{A})={\frac {1}{1-\alpha }}\operatorname {log} \operatorname {tr} (\rho _{A}^{\alpha })={\mathcal {S}}_{\alpha }(\rho _{B})}$

Tenga en cuenta que en el límite , la entropía de entrelazamiento de Renyi se acerca a la entropía de entrelazamiento de Von Neumann. ${\displaystyle \alpha \rightarrow 1}$

Ejemplo con osciladores armónicos acoplados

Considere dos osciladores armónicos cuánticos acoplados , con posiciones y , momentos y , y sistema hamiltoniano ${\displaystyle q_{A}}$ ${\displaystyle q_{B}}$ ${\displaystyle p_{A}}$ ${\displaystyle p_{B}}$

${\displaystyle H=(p_{A}^{2}+p_{B}^{2})/2+\omega _{1}^{2}(q_{A}^{2}+q_{B}^{2})/{2}+{\omega _{2}^{2}(q_{A}-q_{B})^{2}}/{2}}$

Con , la matriz de densidad del estado fundamental puro del sistema es , que en base a la posición es . Entonces ^[2] ${\displaystyle \omega _{\pm }^{2}=\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2}\pm \omega _{2}^{2}}$ ${\displaystyle \rho _{AB}=|0\rangle \langle 0|}$ ${\displaystyle \langle q_{A},q_{B}|\rho _{AB}|q_{A}',q_{B}'\rangle \propto \exp \left(-{\omega _{+}(q_{A}+q_{B})^{2}}/{2}-{\omega _{-}(q_{A}-q_{B})^{2}}/{2}-{\omega _{+}(q'_{A}+q'_{B})^{2}}/{2}-{\omega _{-}(q'_{A}-q'_{B})^{2}}/{2}\right)}$

${\displaystyle \langle q_{A}|\rho _{A}|q_{A}'\rangle \propto \exp \left({\frac {2(\omega _{+}-\omega _{-})^{2}q_{A}q_{A}'-(8\omega _{+}\omega _{-}+(\omega _{+}-\omega _{-})^{2})(q_{A}^{2}+q_{A}'^{2})}{8(\omega _{+}+\omega _{-})}}\right)}$

Dado que resulta ser exactamente igual a la matriz de densidad de un único oscilador armónico cuántico de frecuencia en equilibrio térmico con la temperatura (tal que donde está la constante de Boltzmann ), los valores propios de son para números enteros no negativos . La entropía de Von Neumann es, por tanto, ${\displaystyle \rho _{A}}$ ${\displaystyle \omega \equiv {\sqrt {\omega _{+}\omega _{-}}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \omega /k_{B}T=\cosh ^{-1}\left({\frac {8\omega _{+}\omega _{-}+(\omega _{+}-\omega _{-})^{2}}{(\omega _{+}-\omega _{-})^{2}}}\right)}$ ${\displaystyle k_{B}}$ ${\displaystyle \rho _{A}}$ ${\displaystyle \lambda _{n}=(1-e^{-\omega /k_{B}T})e^{-n\omega /k_{B}T}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle -\sum _{n}\lambda _{n}\ln(\lambda _{n})={\frac {\omega /k_{B}T}{e^{\omega /k_{B}T}-1}}-\ln(1-e^{-\omega /k_{B}T})}$.

De manera similar, la entropía de Renyi . ${\displaystyle S_{\alpha }(\rho _{A})={\frac {(1-e^{-\omega /k_{B}T})^{\alpha }}{1-e^{-\alpha \omega /k_{B}T}}}/(1-\alpha )}$

Ley de área de entropía de entrelazamiento bipartito

Un estado cuántico satisface una ley de área si el término principal de la entropía de entrelazamiento crece como máximo proporcionalmente con el límite entre las dos particiones. Las leyes de área son notablemente comunes para los estados fundamentales de sistemas cuánticos de muchos cuerpos con espacios locales. Esto tiene aplicaciones importantes, una de las cuales es que reduce en gran medida la complejidad de los sistemas cuánticos de muchos cuerpos. El grupo de renormalización de la matriz de densidad y los estados del producto de la matriz , por ejemplo, se basan implícitamente en dichas leyes de área. ^[3]

Referencias/fuentes

1. Anónimo (23 de octubre de 2015). "Entropía del entrelazamiento". Cuántico . Consultado el 17 de octubre de 2019 .
2. Entropía y área Mark Srednicki Phys. Rev. Lett. 71, 666 – Publicado el 2 de agosto de 1993 en arXiv :hep-th/9303048
3. Eisert, J.; Cramer, M.; Plenio, MB (febrero de 2010). "Coloquio: Leyes de área para la entropía del entrelazamiento". Reseñas de Física Moderna . 82 (1): 277–306. arXiv : 0808.3773 . Código Bib : 2010RvMP...82..277E. doi : 10.1103/RevModPhys.82.277.

• Janzing, Dominik (2009). "Entropía del entrelazamiento". En Greenberger, Daniel; Hentschel, Klaus; Weinert, Friedel (eds.). Compendio de Física Cuántica . Saltador. págs. 205-209. doi :10.1007/978-3-540-70626-7_66. ISBN 978-3-540-70626-7.