Enredo de formación

Definición en la teoría de la información cuántica

El entrelazamiento de formación es una cantidad que mide el entrelazamiento de un estado cuántico bipartito . ^{[1] [2]}

Definición

Para un estado cuántico bipartito puro , utilizando la descomposición de Schmidt , vemos que las matrices de densidad reducida de los sistemas A y B, y , tienen el mismo espectro. La entropía de von Neumann de la matriz de densidad reducida se puede utilizar para medir el entrelazamiento del estado . Denotamos este tipo de medida como , y la llamamos entropía de entrelazamiento . Esto también se conoce como el entrelazamiento de formación de un estado puro. ${\displaystyle |\psi \rangle _{AB}}$ ${\displaystyle \rho _{A}}$ ${\displaystyle \rho _{B}}$ ${\displaystyle S(\rho _{A})=S(\rho _{B})}$ ${\displaystyle |\psi \rangle _{AB}}$ ${\displaystyle E_{f}(|\psi \rangle _{AB})=S(\rho _{A})=S(\rho _{B})}$

Para un estado bipartito mixto , una generalización natural es considerar todas las realizaciones de conjunto del estado mixto. Definimos el entrelazamiento de formación para estados mixtos minimizando todas estas realizaciones de conjunto, ${\displaystyle \rho _{AB}}$

${\displaystyle E_{f}(\rho _{AB})=\inf \left\{\sum _{i}p_{i}E_{f}(|\psi _{i}\rangle _{AB})\right\}}$, donde el ínfimo se hace cargo de todas las formas posibles en que uno puede descomponerse en estados puros . ${\displaystyle \rho _{AB}}$ ${\displaystyle \rho _{AB}=\sum _{i}p_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|_{AB}}$

Este tipo de extensión de una cantidad definida en algún conjunto (aquí los estados puros) a su envoltura convexa (aquí los estados mixtos) se denomina construcción de techo convexo.

Propiedades

El entrelazamiento de formación cuantifica cuánto entrelazamiento (medido en ebits) es necesario, en promedio, para preparar el estado. La medida coincide claramente con la entropía de entrelazamiento para estados puros. Es cero para todos los estados separables y no cero para todos los estados entrelazados. Por construcción, es convexo . ${\displaystyle E_{f}}$

Se sabe que el entrelazamiento de formación es una medida no aditiva del entrelazamiento. ^[3] Es decir, hay estados cuánticos bipartitos tales que el entrelazamiento de formación del estado conjunto es menor que la suma del entrelazamiento de los estados individuales, es decir, . Nótese que para otros estados (por ejemplo, estados puros o separables) se cumple la igualdad. ${\displaystyle \rho _{AB},\sigma _{AB}}$ ${\displaystyle \rho _{AB}\otimes \sigma _{AB}}$ ${\displaystyle E_{f}(\rho _{AB}\otimes \sigma _{AB})<E_{f}(\rho _{AB})+E_{f}(\sigma _{AB})}$

Además, se ha demostrado que el entrelazamiento regularizado de formación es igual al costo de entrelazamiento . Es decir, para grandes el entrelazamiento de formación de copias de un estado dividido por converge al costo de entrelazamiento ^[4] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }E_{f}(\rho ^{\otimes n})/n=E_{c}(\rho )}$

La no aditividad de esto implica que hay estados cuánticos para los cuales hay un “descuento por volumen” al prepararlos a partir de estados puros mediante operaciones locales: es más barato, en promedio, preparar muchos juntos que cada uno por separado. ${\displaystyle E_{f}}$

Relación con la concurrencia

Para estados de dos cúbits, el entrelazamiento de formación tiene una relación estrecha con la concurrencia . Para un estado dado , su entrelazamiento de formación está relacionado con su concurrencia : ${\displaystyle \rho _{AB}}$ ${\displaystyle E_{f}(\rho _{AB})}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle E_{f}=h\left({\frac {1+{\sqrt {1-C^{2}}}}{2}}\right)}$

¿Dónde está la función de entropía de Shannon ? ${\displaystyle h(x)}$

${\displaystyle h(x)=-x\log _{2}x-(1-x)\log _{2}(1-x).}$

Referencias

1. Hill, Scott; Wootters, William K. (30 de junio de 1997). "Entrelazamiento de un par de bits cuánticos". Physical Review Letters . 78 (26). American Physical Society (APS): 5022–5025. arXiv : quant-ph/9703041 . doi :10.1103/physrevlett.78.5022. ISSN  0031-9007.
2. Wootters, William K. (9 de marzo de 1998). "Entrelazamiento de la formación de un estado arbitrario de dos cúbits". Physical Review Letters . 80 (10). American Physical Society (APS): 2245–2248. arXiv : quant-ph/9709029 . doi :10.1103/physrevlett.80.2245. ISSN  0031-9007.
3. Horodecki, Ryszard; Horodecki, Pawel; Horodecki, Michal; Horodecki, Karol (2009). "Enredo cuántico". Mod. Rev. Física . 81 : 907–908. arXiv : quant-ph/0702225 . doi : 10.1103/RevModPhys.81.865.
4. Hayden, Patrick M.; Horodecki, Michal; Terhal, Barbara M. (200). "El costo del entrelazamiento asintótico de preparar un estado cuántico". J. Phys. A: Math. Gen. 34 ( 35): 6891–6898. arXiv : quant-ph/0008134 . doi :10.1088/0305-4470/34/35/314.