Concurrencia (computación cuántica)

Un invariante de estado que involucra qubits, en la ciencia de la información cuántica

En la ciencia de la información cuántica , la concurrencia es un estado invariante que involucra qubits.

Definición

La concurrencia es un entrelazamiento monótono (una forma de medir el entrelazamiento) definido para un estado mixto de dos qubits como: ^{[1] [2] [3] [4]}

${\displaystyle {\mathcal {C}}(\rho )\equiv \max(0,\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3}-\lambda _{4})}$

donde están los valores propios, en orden decreciente, de la matriz hermítica ${\displaystyle \lambda _{1},...,\lambda _{4}}$

${\displaystyle R={\sqrt {{\sqrt {\rho }}{\tilde {\rho }}{\sqrt {\rho }}}}}$

con

${\displaystyle {\tilde {\rho }}=(\sigma _{y}\otimes \sigma _{y})\rho ^{*}(\sigma _{y}\otimes \sigma _{y})}$

el estado de espín invertido de y una matriz de espín de Pauli . La conjugación compleja se toma en la base propia de la matriz de Pauli . Además, aquí, para una matriz semidefinida positiva , denota una matriz semidefinida positiva tal que . Nótese que es una matriz única así definida. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma _{y}}$ ${\displaystyle {}^{*}}$ ${\displaystyle \sigma _{z}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\sqrt {A}}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B^{2}=A}$ ${\displaystyle B}$

Una versión generalizada de concurrencia para estados puros de múltiples partículas en dimensiones arbitrarias ^{[5] [6]} (incluido el caso de variables continuas en dimensiones infinitas ^[7] ) se define como:

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\mathcal {M}}(\rho )={\sqrt {2(1-{\text{Tr}}\rho _{\mathcal {M}}^{2})}}}$

en la que se encuentra la matriz de densidad reducida (o su análogo de variable continua ^[7] ) a través de la bipartición del estado puro, y mide cuánto se desvían las amplitudes complejas de las restricciones requeridas para la separabilidad del tensor. La naturaleza fiel de la medida admite condiciones necesarias y suficientes de separabilidad para estados puros. ${\displaystyle \rho _{\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

Otras formulaciones

Alternativamente, las ' representan las raíces cuadradas de los valores propios de la matriz no hermítica . ^[2] Nótese que cada uno es un número real no negativo. A partir de la concurrencia, se puede calcular el entrelazamiento de formación . ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \rho {\tilde {\rho }}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$

Propiedades

Para los estados puros, el cuadrado de la concurrencia (también conocido como el enredo ) es un polinomio invariante en los coeficientes del estado. ^[8] Para los estados mixtos, la concurrencia se puede definir mediante la extensión del techo convexo. ^[3] ${\displaystyle SL(2,\mathbb {C} )^{\otimes 2}}$

Para el enredo, existe monogamia de entrelazamiento , ^{[9] [10]} es decir, el enredo de un qubit con el resto del sistema nunca puede exceder la suma de los enredos de pares de qubits de los que forma parte.

Referencias

1. Scott Hill y William K. Wootters, Entrelazamiento de un par de bits cuánticos, 1997.
2. William K. Wootters, Entrelazamiento de la formación de un estado arbitrario de dos qubits 1998.
3. Roland Hildebrand, La concurrencia revisitada, 2007
4. Ryszard Horodecki, Paweł Horodecki, Michał Horodecki, Karol Horodecki, Enredo cuántico, 2009
5. P. Rungta; V. Bužek; CM Caves; M. Hillery; GJ Milburn (2001). "Inversión de estado universal y concurrencia en dimensiones arbitrarias". Phys. Rev. A . 64 (4): 042315. arXiv : quant-ph/0102040 . Código Bibliográfico :2001PhRvA..64d2315R. doi :10.1103/PhysRevA.64.042315. S2CID  12594864.
6. Bhaskara, Vineeth S.; Panigrahi, Prasanta K. (2017). "Medida de concurrencia generalizada para cuantificación fiel del entrelazamiento de estado puro de múltiples partículas utilizando la identidad de Lagrange y el producto de cuña". Procesamiento de información cuántica . 16 (5): 118. arXiv : 1607.00164 . Código Bibliográfico :2017QuIP...16..118B. doi :10.1007/s11128-017-1568-0. S2CID  43754114.
7. Swain, S. Nibedita; Bhaskara, Vineeth S.; Panigrahi, Prasanta K. (27 de mayo de 2022). "Medida de entrelazamiento generalizada para sistemas de variable continua". Physical Review A . 105 (5): 052441. arXiv : 1706.01448 . Código Bibliográfico :2022PhRvA.105e2441S. doi :10.1103/PhysRevA.105.052441. S2CID  239885759 . Consultado el 27 de mayo de 2022 .
8. D. Ž. Ðoković y A. Osterloh, Sobre invariantes polinomiales de varios qubits, 2009
9. Valerie Coffman, Joydip Kundu y William K. Wootters, Entrelazamiento distribuido, 2000
10. Tobias J. Osborne y Frank Verstraete, Desigualdad general de monogamia para entrelazamiento de cúbits bipartitos, 2006