Sistema de reacción-difusión

Tipo de modelo matemático

Una simulación de dos sustancias químicas virtuales que reaccionan y se difunden en un toro utilizando el modelo de Gray-Scott

Los sistemas de reacción-difusión son modelos matemáticos que corresponden a varios fenómenos físicos. El más común es el cambio en el espacio y en el tiempo de la concentración de una o más sustancias químicas: reacciones químicas locales en las que las sustancias se transforman entre sí, y difusión , que hace que las sustancias se dispersen sobre una superficie en el espacio.

Los sistemas de reacción-difusión se aplican naturalmente en química . Sin embargo, el sistema también puede describir procesos dinámicos de naturaleza no química. Se encuentran ejemplos en biología , geología y física (teoría de la difusión de neutrones) y ecología . Matemáticamente, los sistemas de reacción-difusión toman la forma de ecuaciones diferenciales parciales parabólicas semilineales . Se pueden representar en la forma general

${\displaystyle \partial _{t}{\boldsymbol {q}}={\underline {\underline {\boldsymbol {D}}}}\,\nabla ^{2}{\boldsymbol {q}}+{\boldsymbol {R}}({\boldsymbol {q}}),}$

donde q ( x , t ) representa la función vectorial desconocida, D es una matriz diagonal de coeficientes de difusión y R representa todas las reacciones locales. Las soluciones de las ecuaciones de reacción-difusión muestran una amplia gama de comportamientos, incluida la formación de ondas viajeras y fenómenos ondulatorios, así como otros patrones autoorganizados como rayas, hexágonos o estructuras más intrincadas como solitones disipativos . Estos patrones se han denominado " patrones de Turing ". ^[1] Cada función, para la que se cumple una ecuación diferencial de reacción-difusión, representa de hecho una variable de concentración .

Ecuaciones de reacción-difusión de un componente

La ecuación de reacción-difusión más simple está en una dimensión espacial en geometría plana,

${\displaystyle \partial _{t}u=D\partial _{x}^{2}u+R(u),}$

También se denomina ecuación de Kolmogorov-Petrovsky-Piskunov . ^[2] Si el término de reacción se anula, la ecuación representa un proceso de difusión puro. La ecuación correspondiente es la segunda ley de Fick . La elección R ( u ) = u (1 − u ) produce la ecuación de Fisher que se utilizó originalmente para describir la propagación de poblaciones biológicas , ^[3] la ecuación de Newell–Whitehead-Segel con R ( u ) = u (1 − u ² ) para describir la convección de Rayleigh–Bénard , ^{[4] [5]} la ecuación más general de Zeldovich–Frank-Kamenetskii con R ( u ) = u (1 − u )e ^{- β (1- u )} y 0 < β < ∞ ( número de Zeldovich ) que surge en la teoría de la combustión , ^[6] y su caso degenerado particular con R ( u ) = u ² − u ³ que a veces también se conoce como la ecuación de Zeldovich. ^[7]

La dinámica de los sistemas de un componente está sujeta a ciertas restricciones, ya que la ecuación de evolución también puede escribirse en forma variacional.

${\displaystyle \partial _{t}u=-{\frac {\delta {\mathfrak {L}}}{\delta u}}}$

y por lo tanto describe una disminución permanente de la "energía libre" dada por la función ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {L}}=\int _{-\infty }^{\infty }\left[{\tfrac {D}{2}}\left(\partial _{x}u\right)^{2}-V(u)\right]\,{\text{d}}x}$

con un potencial V ( u ) tal que R ( u ) = ⁠dV ( u )​/tú​⁠ .

Una solución de frente de onda viajera para la ecuación de Fisher.

En sistemas con más de una solución homogénea estacionaria, una solución típica está dada por frentes móviles que conectan los estados homogéneos. Estas soluciones se mueven con velocidad constante sin cambiar su forma y son de la forma u ( x , t ) = û ( ξ ) con ξ = x − ct , donde c es la velocidad de la onda viajera. Nótese que mientras que las ondas viajeras son estructuras genéricamente estables, todas las soluciones estacionarias no monótonas (por ejemplo, dominios localizados compuestos por un par frente-antifrente) son inestables. Para c = 0 , hay una prueba simple para esta afirmación: ^[8] si u ₀ ( x ) es una solución estacionaria y u = u ₀ ( x ) + ũ ( x , t ) es una solución infinitesimalmente perturbada, el análisis de estabilidad lineal produce la ecuación

${\displaystyle \partial _{t}{\tilde {u}}=D\partial _{x}^{2}{\tilde {u}}-U(x){\tilde {u}},\qquad U(x)=-R^{\prime }(u){\Big |}_{u=u_{0}(x)}.}$

Con el ansatz ũ = ψ ( x )exp(− λt ) llegamos al problema del valor propio

${\displaystyle {\hat {H}}\psi =\lambda \psi ,\qquad {\hat {H}}=-D\partial _{x}^{2}+U(x),}$

del tipo Schrödinger donde los valores propios negativos dan como resultado la inestabilidad de la solución. Debido a la invariancia traslacional, ψ = ∂ _x  u ₀ ( x ) es una función propia neutra con el valor propio λ = 0 , y todas las demás funciones propias se pueden ordenar de acuerdo con un número creciente de nodos con la magnitud del valor propio real correspondiente que aumenta monótonamente con el número de ceros. La función propia ψ = ∂ _x  u ₀ ( x ) debe tener al menos un cero, y para una solución estacionaria no monótona el valor propio correspondiente λ = 0 no puede ser el más bajo, lo que implica inestabilidad.

Para determinar la velocidad c de un frente en movimiento, uno puede ir a un sistema de coordenadas en movimiento y buscar soluciones estacionarias:

${\displaystyle D\partial _{\xi }^{2}{\hat {u}}(\xi )+c\partial _{\xi }{\hat {u}}(\xi )+R({\hat {u}}(\xi ))=0.}$

Esta ecuación tiene un bonito análogo mecánico como el movimiento de una masa D con posición û en el transcurso del "tiempo" ξ bajo la fuerza R con el coeficiente de amortiguamiento c, lo que permite un acceso bastante ilustrativo a la construcción de diferentes tipos de soluciones y la determinación de c .

Al pasar de una a más dimensiones espaciales, todavía se pueden aplicar una serie de afirmaciones de los sistemas unidimensionales. Los frentes de onda planos o curvos son estructuras típicas, y surge un nuevo efecto cuando la velocidad local de un frente curvo se vuelve dependiente del radio de curvatura local (esto se puede ver al pasar a las coordenadas polares ). Este fenómeno conduce a la llamada inestabilidad impulsada por la curvatura. ^[9]

Ecuaciones de reacción-difusión de dos componentes

Los sistemas de dos componentes permiten una gama mucho mayor de fenómenos posibles que sus contrapartes de un componente. Una idea importante que fue propuesta por primera vez por Alan Turing es que un estado que es estable en el sistema local puede volverse inestable en presencia de difusión . ^[10]

Sin embargo, un análisis de estabilidad lineal muestra que al linealizar el sistema general de dos componentes

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\partial _{t}u\\\partial _{t}v\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}D_{u}&0\\0&D_{v}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\partial _{xx}u\\\partial _{xx}v\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}F(u,v)\\G(u,v)\end{pmatrix}}}$

una perturbación de onda plana

${\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {q}}}_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}},t)={\begin{pmatrix}{\tilde {u}}(t)\\{\tilde {v}}(t)\end{pmatrix}}e^{i{\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}$

de la solución homogénea estacionaria satisfará

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\partial _{t}{\tilde {u}}_{\boldsymbol {k}}(t)\\\partial _{t}{\tilde {v}}_{\boldsymbol {k}}(t)\end{pmatrix}}=-k^{2}{\begin{pmatrix}D_{u}{\tilde {u}}_{\boldsymbol {k}}(t)\\D_{v}{\tilde {v}}_{\boldsymbol {k}}(t)\end{pmatrix}}+{\boldsymbol {R}}^{\prime }{\begin{pmatrix}{\tilde {u}}_{\boldsymbol {k}}(t)\\{\tilde {v}}_{\boldsymbol {k}}(t)\end{pmatrix}}.}$

La idea de Turing sólo puede realizarse en cuatro clases de equivalencia de sistemas caracterizados por los signos del jacobiano R ′ de la función de reacción. En particular, si se supone que un vector de onda finito k es el más inestable, el jacobiano debe tener los signos

${\displaystyle {\begin{pmatrix}+&-\\+&-\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}+&+\\-&-\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}-&+\\-&+\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}-&-\\+&+\end{pmatrix}}.}$

Esta clase de sistemas se denomina sistema activador-inhibidor por su primer representante: cerca del estado fundamental, un componente estimula la producción de ambos componentes mientras que el otro inhibe su crecimiento. Su representante más destacado es la ecuación de FitzHugh-Nagumo

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{t}u&=d_{u}^{2}\,\nabla ^{2}u+f(u)-\sigma v,\\\tau \partial _{t}v&=d_{v}^{2}\,\nabla ^{2}v+u-v\end{aligned}}}$

con f  ( u ) = λu − u ³ − κ que describe cómo un potencial de acción viaja a través de un nervio. ^{[11] [12]} Aquí, d _u , d _v , τ , σ y λ son constantes positivas. 

Cuando un sistema activador-inhibidor sufre un cambio de parámetros, se puede pasar de condiciones en las que un estado fundamental homogéneo es estable a condiciones en las que es linealmente inestable. La bifurcación correspondiente puede ser una bifurcación de Hopf a un estado homogéneo globalmente oscilante con un número de onda dominante k = 0 o una bifurcación de Turing a un estado globalmente modelado con un número de onda finito dominante. Esta última en dos dimensiones espaciales normalmente conduce a patrones de franjas o hexagonales.

• Bifurcación de Turing subcrítica: formación de un patrón hexagonal a partir de condiciones iniciales ruidosas en el sistema de reacción-difusión de dos componentes de tipo Fitzhugh-Nagumo mencionado anteriormente.
• Condiciones iniciales ruidosas en t  = 0.
• Estado del sistema en t  = 10.
• Estado casi convergente en t  = 100.

Para el ejemplo de Fitzhugh-Nagumo, las curvas de estabilidad neutral que marcan el límite de la región linealmente estable para la bifurcación de Turing y Hopf están dadas por

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{\text{n}}^{H}(k):&{}\quad {\frac {1}{\tau }}+\left(d_{u}^{2}+{\frac {1}{\tau }}d_{v}^{2}\right)k^{2}&=f^{\prime }(u_{h}),\\[6pt]q_{\text{n}}^{T}(k):&{}\quad {\frac {\kappa }{1+d_{v}^{2}k^{2}}}+d_{u}^{2}k^{2}&=f^{\prime }(u_{h}).\end{aligned}}}$

Si la bifurcación es subcrítica, a menudo se pueden observar estructuras localizadas ( solitones disipativos ) en la región histéresis donde el patrón coexiste con el estado fundamental. Otras estructuras que se encuentran con frecuencia comprenden trenes de pulsos (también conocidos como ondas viajeras periódicas ), ondas espirales y patrones de objetivo. Estos tres tipos de solución también son características genéricas de ecuaciones de reacción-difusión de dos (o más) componentes en las que la dinámica local tiene un ciclo límite estable ^[13].

• Otros patrones encontrados en el sistema de reacción-difusión de dos componentes de tipo Fitzhugh-Nagumo mencionado anteriormente.
• Espiral giratoria.
• Patrón objetivo.
• Pulso localizado estacionario (solitón disipativo).

Ecuaciones de reacción-difusión de tres o más componentes

Para una variedad de sistemas, se han propuesto ecuaciones de reacción-difusión con más de dos componentes, por ejemplo, la reacción de Belousov-Zhabotinsky , ^[14] para la coagulación sanguínea , ^[15] ondas de fisión ^{[16] o sistemas} de descarga de gas planar . ^[17]

Se sabe que los sistemas con más componentes permiten una variedad de fenómenos que no son posibles en sistemas con uno o dos componentes (por ejemplo, pulsos de funcionamiento estable en más de una dimensión espacial sin retroalimentación global). ^{[18 ]} En [19] se presenta una introducción y una descripción sistemática de los posibles fenómenos en función de las propiedades del sistema subyacente.

Aplicaciones y universalidad

En los últimos tiempos, los sistemas de reacción-difusión han atraído mucho interés como modelo prototipo para la formación de patrones . ^[20] Los patrones mencionados anteriormente (frentes, espirales, objetivos, hexágonos, rayas y solitones disipativos) se pueden encontrar en varios tipos de sistemas de reacción-difusión a pesar de grandes discrepancias, por ejemplo, en los términos de reacción locales. También se ha argumentado que los procesos de reacción-difusión son una base esencial para los procesos conectados con la morfogénesis en biología ^{[21] [22]} e incluso pueden estar relacionados con los pelajes animales y la pigmentación de la piel. ^{[23] [24]} Otras aplicaciones de las ecuaciones de reacción-difusión incluyen invasiones ecológicas, ^[25] propagación de epidemias, ^[26] crecimiento tumoral, ^{[27] [28] [29]} dinámica de las ondas de fisión, ^[30] cicatrización de heridas ^[31] y alucinaciones visuales. ^[32] Otra razón del interés en los sistemas de reacción-difusión es que, aunque son ecuaciones diferenciales parciales no lineales, a menudo existen posibilidades de un tratamiento analítico. ^{[8] [9] [33] [34] [35] [20]}

Experimentos

Hasta ahora, se han llevado a cabo experimentos bien controlables en sistemas de reacción-difusión química de tres maneras. En primer lugar, se pueden utilizar reactores de gel ^[36] o tubos capilares llenos ^[37] . En segundo lugar, se han investigado pulsos de temperatura en superficies catalíticas . ^{[38] [39]} En tercer lugar, se modela la propagación de pulsos nerviosos en movimiento utilizando sistemas de reacción-difusión. ^{[11] [40]}

Aparte de estos ejemplos genéricos, se ha demostrado que, en circunstancias adecuadas, los sistemas de transporte eléctrico, como los plasmas ^[41] o los semiconductores ^[42], pueden describirse mediante un enfoque de reacción-difusión. Para estos sistemas se han llevado a cabo varios experimentos sobre la formación de patrones.

Tratamientos numéricos

Un sistema de reacción-difusión se puede resolver utilizando métodos de matemáticas numéricas . Existen varios tratamientos numéricos en la literatura de investigación. ^{[43] [20] [44]} También se proponen métodos de solución numérica para geometrías complejas . ^{[45] [46]} Con el mayor grado de detalle, los sistemas de reacción-difusión se describen con herramientas de simulación basadas en partículas como SRSim o ReaDDy ^[47] que emplean, por ejemplo, dinámicas de reacción de partículas interactuantes reversibles. ^[48]

Véase también

• Onda automática
• Reacción controlada por difusión
• Cinética química
• Método del espacio de fases
• Reacciones autocatalíticas y creación de órdenes
• Formación de patrones
• Patrones en la naturaleza
• Onda viajera periódica
• Geometría estocástica
• MClona
• La base química de la morfogénesis
• Patrón de Turing
• Modelado multiestado de biomoléculas

Ejemplos

• Ecuación de Fisher
• Ecuación de Zeldovich-Frank-Kamenetskii
• Modelo FitzHugh-Nagumo
• Pintura arrugada

Referencias

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Enlaces externos

• Reacción-difusión según el modelo de Gray-Scott: parametrización de Pearson, un mapa visual del espacio de parámetros de la reacción-difusión de Gray-Scott.
• Una tesis sobre patrones de reacción-difusión con una descripción general del campo
• RD Tool: una aplicación web interactiva para la simulación de reacción-difusión