El proceso de Galton-Watson es un proceso estocástico ramificado que surge de la investigación estadística de Francis Galton sobre la extinción de los apellidos . El proceso modela los apellidos como patrilineales (pasan de padre a hijo), mientras que los descendientes son aleatoriamente masculinos o femeninos, y los apellidos se extinguen si la línea del apellido se extingue (los poseedores del apellido mueren sin descendientes varones). Esta es una descripción precisa de la transmisión del cromosoma Y en genética, y el modelo es, por lo tanto, útil para comprender los haplogrupos de ADN del cromosoma Y humano . Del mismo modo, dado que las mitocondrias se heredan solo por línea materna, la misma formulación matemática describe la transmisión de las mitocondrias. La fórmula es de utilidad limitada para comprender las distribuciones reales de los apellidos, ya que en la práctica los apellidos cambian por muchas otras razones, y la desaparición de la línea del apellido es solo un factor.
Entre los victorianos existía la preocupación de que los apellidos aristocráticos [ ejemplo necesario ] se estaban extinguiendo.
En 1869, Galton publicó El genio hereditario , en el que trataba la extinción de diferentes grupos sociales.
Galton planteó originalmente una pregunta matemática sobre la distribución de apellidos en una población idealizada en una edición de 1873 de The Educational Times: [1]
Una gran nación, de la que sólo nos ocuparemos de los varones adultos, N en número, y que cada uno lleva apellidos diferentes, coloniza un distrito. Su ley de población es tal que, en cada generación, un 0 por ciento de los varones adultos no tiene hijos varones que lleguen a la edad adulta; un 1 tiene un hijo varón; un 2 tiene dos; y así sucesivamente hasta un 5 que tiene cinco. Halla qué proporción de sus apellidos se habrán extinguido después de r generaciones; y cuántos casos habrá de que el apellido sea usado por m personas.
El reverendo Henry William Watson respondió con una solución. [2] Juntos escribieron un artículo en 1874 titulado "Sobre la probabilidad de extinción de las familias" en el Journal of the Anthropological Institute of Great Britain and Ireland (actualmente Journal of the Royal Anthropological Institute ). [3] Galton y Watson parecen haber derivado su proceso independientemente del trabajo anterior de IJ Bienaymé ; véase. [4] Su solución es incompleta, según la cual todos los apellidos se extinguen con una probabilidad de 1.
Bienaymé publicó la respuesta al problema en 1845, [5] con la promesa de publicar la derivación más tarde, sin embargo no se conoce ninguna publicación de su solución. (Sin embargo, Bru (1991) [6] pretende reconstruir la prueba). Se inspiró en Émile Littré [7] y Louis-François Benoiston de Châteauneuf (un amigo de Bienaymé). [8] [9]
Cournot publicó una solución en 1847, en el capítulo 36 de De l'origine et des limites de la correspondencia entre l'algèbre et la géométrie. [10] El problema en su formulación es
En 1922, Ronald A. Fisher estudió el mismo problema en términos genéticos. En lugar de la extinción de los apellidos, estudió la probabilidad de que un gen mutante desaparezca en una población numerosa. [11] Haldane resolvió el problema en 1927. [12]
Agner Krarup Erlang era miembro de la prominente familia Krarup, que estaba en vías de extinción. En 1929, publicó el mismo problema póstumamente (su obituario aparece junto al problema). Erlang murió sin descendencia. Steffensen lo resolvió en 1930.
Para una historia detallada, véase Kendall (1966 [13] y 1975 [9] ) y [14] y también la Sección 17 de. [15]
Supongamos, a los efectos del modelo, que los apellidos se transmiten a todos los hijos varones por su padre. Supongamos que el número de hijos de un hombre es una variable aleatoria distribuida en el conjunto {0, 1, 2, 3, ...}. Supongamos además que el número de hijos de distintos hombres son variables aleatorias independientes , todas con la misma distribución.
Entonces, la conclusión matemática sustancial más simple es que si el número promedio de hijos de un hombre es 1 o menos, entonces su apellido casi seguramente desaparecerá, y si es más de 1, entonces hay más de cero probabilidades de que sobreviva durante cualquier número dado de generaciones.
Las aplicaciones modernas incluyen las probabilidades de supervivencia de un nuevo gen mutante , o el inicio de una reacción nuclear en cadena , o la dinámica de los brotes de enfermedades en sus primeras generaciones de propagación, o las posibilidades de extinción de pequeñas poblaciones de organismos ; así como explicar (quizás lo más cercano al interés original de Galton) por qué solo un puñado de hombres en el pasado profundo de la humanidad ahora tienen descendientes sobrevivientes de la línea masculina, lo que se refleja en un número bastante pequeño de haplogrupos distintivos de ADN del cromosoma Y humano .
Un corolario de las altas probabilidades de extinción es que si un linaje ha sobrevivido, es probable que haya experimentado, puramente por casualidad, una tasa de crecimiento inusualmente alta en sus primeras generaciones, al menos en comparación con el resto de la población.
Un proceso de Galton-Watson es un proceso estocástico { X n } que evoluciona de acuerdo con la fórmula de recurrencia X 0 = 1 y
donde es un conjunto de variables aleatorias con valores numéricos naturales, independientes y distribuidas de manera idéntica .
En la analogía con los apellidos, X n puede considerarse como el número de descendientes (a lo largo de la línea masculina) en la n ª generación, y puede considerarse como el número de hijos (varones) del j º de estos descendientes. La relación de recurrencia establece que el número de descendientes en la n + 1.ª generación es la suma, sobre todos los descendientes de la n ª generación, del número de hijos de ese descendiente.
La probabilidad de extinción (es decir, la probabilidad de extinción final) viene dada por
Esto es claramente igual a cero si cada miembro de la población tiene exactamente un descendiente. Excluyendo este caso (generalmente llamado caso trivial) existe una condición necesaria y suficiente simple, que se da en la siguiente sección.
En el caso no trivial, la probabilidad de extinción final es igual a 1 si E { ξ 1 } ≤ 1 y estrictamente menor que 1 si E { ξ 1 } > 1.
El proceso puede tratarse analíticamente utilizando el método de funciones generadoras de probabilidad .
Si el número de hijos ξ j en cada nodo sigue una distribución de Poisson con parámetro λ, se puede encontrar una recurrencia particularmente simple para la probabilidad de extinción total x n para un proceso que comienza con un solo individuo en el momento n = 0:
dando las curvas anteriores.
En el proceso de apellido familiar clásico Galton-Watson descrito anteriormente, solo se deben considerar los hombres, ya que solo los varones transmiten su apellido a sus descendientes. Esto significa que, en la práctica, la reproducción se puede modelar como asexual. (De la misma manera, si se analiza la transmisión mitocondrial, solo se deben considerar las mujeres, ya que solo las mujeres transmiten sus mitocondrias a sus descendientes).
Un modelo que sigue más de cerca la reproducción sexual real es el llamado "proceso bisexual de Galton-Watson", donde solo las parejas se reproducen. [ cita requerida ] ( Bisexual en este contexto se refiere al número de sexos involucrados, no a la orientación sexual ). En este proceso, se supone que cada niño es masculino o femenino, independientemente de los demás, con una probabilidad específica, y una llamada "función de apareamiento" determina cuántas parejas se formarán en una generación dada. Como antes, la reproducción de diferentes parejas se considera independiente entre sí. Ahora, el análogo del caso trivial corresponde al caso de cada macho y hembra reproduciéndose en exactamente una pareja, teniendo un descendiente masculino y uno femenino, y que la función de apareamiento toma el valor del mínimo del número de machos y hembras (que luego son los mismos a partir de la siguiente generación en adelante).
Dado que la reproducción total dentro de una generación depende ahora fuertemente de la función de apareamiento, en general no existe una condición necesaria y suficiente simple para la extinción final como es el caso en el proceso clásico de Galton-Watson. [ cita requerida ] Sin embargo, excluyendo el caso no trivial, el concepto de la media de reproducción promedio (Bruss (1984)) permite una condición suficiente general para la extinción final, tratada en la siguiente sección.
Si en el caso no trivial la media de reproducción promedio por pareja permanece limitada a lo largo de todas las generaciones y no excede 1 para un tamaño de población suficientemente grande, entonces la probabilidad de extinción final es siempre 1.
Citar ejemplos históricos del proceso Galton-Watson es complicado debido a que la historia de los apellidos a menudo se desvía significativamente del modelo teórico. Cabe destacar que se pueden crear nuevos nombres, los nombres existentes se pueden cambiar a lo largo de la vida de una persona y, históricamente, las personas a menudo han adoptado nombres de personas no relacionadas, en particular de la nobleza. Por lo tanto, un pequeño número de apellidos en la actualidad no es en sí mismo evidencia de que los nombres se hayan extinguido con el tiempo, o que lo hayan hecho debido a la desaparición de las líneas de apellidos; eso requiere que haya habido más nombres en el pasado y que desaparezcan debido a la desaparición de la línea, en lugar de que el nombre cambie por otras razones, como que los vasallos asuman el nombre de su señor.
Los nombres chinos son un ejemplo bien estudiado de la extinción de apellidos: actualmente solo hay alrededor de 3100 apellidos en uso en China, en comparación con cerca de 12 000 registrados en el pasado, [16] [17] con un 22% de la población compartiendo los nombres Li , Wang y Zhang (que suman cerca de 300 millones de personas), y los 200 nombres principales (6½%) cubren el 96% de la población. Los nombres han cambiado o se han extinguido por varias razones, como la gente que toma los nombres de sus gobernantes, simplificaciones ortográficas, tabúes contra el uso de caracteres del nombre de un emperador , entre otros. [17] Si bien la extinción de las líneas de apellidos puede ser un factor en la extinción de los apellidos, de ninguna manera es el único o incluso un factor significativo. De hecho, el factor más significativo que afecta la frecuencia de los apellidos es que otros grupos étnicos se identifican como Han y adoptan nombres Han. [17] Además, si bien han surgido nuevos nombres por varias razones, esto se ha visto compensado por la desaparición de nombres antiguos. [17]
En cambio, algunas naciones han adoptado apellidos sólo recientemente. Esto significa que no han experimentado la extinción de los apellidos durante un período prolongado y que los nombres se adoptaron cuando la nación tenía una población relativamente grande, en lugar de las poblaciones más pequeñas de la antigüedad. [17] Además, estos nombres a menudo se han elegido de manera creativa y son muy diversos. Algunos ejemplos incluyen:
Por otra parte, algunos ejemplos de alta concentración de apellidos no se deben principalmente al proceso Galton-Watson:
En China sólo se utilizan 3.100 apellidos [...] en comparación con los casi 12.000 del pasado. La "disminución evolutiva" de los apellidos es algo común en todas las sociedades [...] Pero en China, dice [Du], donde los apellidos se han utilizado durante mucho más tiempo que en la mayoría de los demás lugares, la escasez se ha agudizado.
