Cubo de snub

Sólido arquimediano con 38 caras

En geometría , el cubo romo , o cuboctaedro romo , es un sólido arquimediano con 38 caras: 6 cuadrados y 32 triángulos equiláteros . Tiene 60 aristas y 24 vértices . Kepler lo nombró por primera vez en latín como cubus simus en 1619 en su Harmonices Mundi . ^[1] HSM Coxeter , notando que podría derivarse igualmente del octaedro como el cubo, lo llamó cuboctaedro romo , con un símbolo de Schläfli extendido verticalmente , y que representa una alternancia de un cuboctaedro truncado , que tiene el símbolo de Schläfli . ${\displaystyle s\scriptstyle {\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$ ${\displaystyle t\scriptstyle {\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$

Construcción

El cubo romo se puede generar tomando las seis caras del cubo, tirando de ellas hacia afuera para que ya no se toquen, y luego dándoles a cada una una pequeña rotación en sus centros (todas en el sentido de las agujas del reloj o todas en el sentido contrario a las agujas del reloj) hasta que los espacios entre ellas se puedan llenar con triángulos equiláteros . ^[2]

Proceso de construcción de un cubo romo mediante el rombicuboctaedro

El cubo romo también puede construirse a partir de un rombicuboctaedro . Se empezó por torcer su cara cuadrada (en azul), lo que permitió que sus triángulos (en rojo) se torcieran automáticamente en direcciones opuestas, formando otras caras cuadradas (en blanco) que serían cuadriláteros sesgados que pueden llenarse con dos triángulos equiláteros. ^[3]

El cubo romo también puede derivarse del cuboctaedro truncado mediante el proceso de alternancia . 24 vértices del cuboctaedro truncado forman un poliedro topológicamente equivalente al cubo romo; los otros 24 forman su imagen especular. El poliedro resultante es transitivo por vértices pero no uniforme.

Alternancia uniforme de un cuboctaedro truncado

Coordenadas cartesianas

Las coordenadas cartesianas para los vértices de un cubo romo son todas las permutaciones pares de con un número par de signos más, junto con todas las permutaciones impares con un número impar de signos más, donde es la constante de Tribonacci . ^[4] Al tomar las permutaciones pares con un número impar de signos más y las permutaciones impares con un número par de signos más, se obtiene un cubo romo diferente, la imagen especular. Al tomarlas juntas se obtiene el compuesto de dos cubos romos . $${\displaystyle \left(\pm 1,\pm {\frac {1}{t}},\pm t\right),}$$ ${\displaystyle t\approx 1.83929}$

Este cubo romo tiene aristas de longitud , un número que satisface la ecuación y puede escribirse como Para obtener un cubo romo con una longitud de arista unitaria, divida todas las coordenadas anteriores por el valor α dado anteriormente. ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {2+4t-2t^{2}}}}$ $${\displaystyle \alpha ^{6}-4\alpha ^{4}+16\alpha ^{2}-32=0,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &={\sqrt {{\frac {4}{3}}-{\frac {16}{3\beta }}+{\frac {2\beta }{3}}}}\approx 1.609\,72\\\beta &={\sqrt[{3}]{26+6{\sqrt {33}}}}.\end{aligned}}}$$

Propiedades

Modelo 3D de un cubo de forma chata

Para un cubo romo con una longitud de arista , su área de superficie y volumen son: ^[5] ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\left(6+8{\sqrt {3}}\right)a^{2}&\approx 19.856a^{2}\\V&={\frac {8t+6}{3{\sqrt {2(t^{2}-3)}}}}a^{3}&\approx 7.889a^{3}.\end{aligned}}}$$

El cubo romo es un sólido arquimediano , lo que significa que es un poliedro altamente simétrico y semirregular, y dos o más caras poligonales regulares diferentes se encuentran en un vértice. ^[6] Es quiral , lo que significa que hay dos formas distintas siempre que se reflejan . Por lo tanto, el cubo romo tiene simetría octaédrica rotacional . ^{[7] [8]} Las caras poligonales que se encuentran en cada vértice son cuatro triángulos equiláteros y un cuadrado, y la figura del vértice de un cubo romo es . El poliedro dual de un cubo romo es icositetraedro pentagonal , un sólido de Catalan . ^[9] ${\displaystyle \mathrm {O} }$ ${\displaystyle 3^{4}\cdot 4}$

Gráfico

La gráfica de un cubo romo

El esqueleto de un cubo romo se puede representar como un gráfico con 24 vértices y 60 aristas, un gráfico arquimediano . ^[10]

Referencias

1. Conway, John H.; Burgiel, Heidi; Goodman-Struss, Chaim (2008). Las simetrías de las cosas. CRC Press . p. 287. ISBN 978-1-4398-6489-0.
2. Holme, A. (2010). Geometría: nuestro patrimonio cultural. Springer . doi :10.1007/978-3-642-14441-7. ISBN. 978-3-642-14441-7.
3. Conway, Burgiel y Goodman-Struss (2008), pág. 287–288.
4. Collins, Julian (2019). Números en minutos. Hachette. pág. 36-37. ISBN 978-1-78747-730-8.
5. Berman, Martin (1971). "Poliedros convexos de caras regulares". Revista del Instituto Franklin . 291 (5): 329–352. doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8. MR  0290245.
6. Diudea, MV (2018). Cúmulos poliédricos de múltiples capas. Springer . p. 39. doi :10.1007/978-3-319-64123-2. ISBN 978-3-319-64123-2.
7. Koca, M.; Koca, NO (2013). "Grupos de Coxeter, cuaterniones, simetrías de poliedros y politopos 4D". Física matemática: Actas de la 13.ª Conferencia regional, Antalya, Turquía, 27-31 de octubre de 2010. World Scientific. pág. 49.
8. Cromwell, Peter R. (1997). Poliedros. Cambridge University Press . pág. 386. ISBN 978-0-521-55432-9.
9. Williams, Robert (1979). La base geométrica de la estructura natural: un libro de consulta sobre diseño. Dover Publications, Inc., pág. 85. ISBN 978-0-486-23729-9.
10. Read, RC; Wilson, RJ (1998), Un atlas de gráficos , Oxford University Press , pág. 269

• Jayatilake, Udaya (marzo de 2005). "Cálculos sobre poliedros regulares de caras y vértices". Mathematical Gazette . 89 (514): 76–81. doi :10.1017/S0025557200176818. S2CID  125675814.
• Williams, Robert (1979). La base geométrica de la estructura natural: un libro de consulta sobre diseño . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X.(Sección 3-9)

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Cubo romo" ("Sólido arquimediano") en MathWorld .
  • Weisstein, Eric W. "Gráfico cúbico romo". MathWorld .
• Klitzing, Richard. "Poliedros uniformes convexos 3D s3s4s - snic".
• Los poliedros uniformes
• Poliedros de realidad virtual La enciclopedia de poliedros
• Red editable e imprimible de un cubo Snub con vista 3D interactiva