Número de Granville

En matemáticas , específicamente en teoría de números , los números de Granville , también conocidos como números perfectos, son una extensión de los números perfectos . ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

El conjunto Granville

En 1996, Andrew Granville propuso la siguiente construcción de un conjunto : ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Sea , y para cualquier entero mayor que 1, sea si ${\displaystyle 1\in {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\in {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle \sum _{d\mid n,\;d<n,\;d\in {\mathcal {S}}}d\leq n.}$

Un número de Granville es un elemento de para el cual se cumple la igualdad, es decir, es un número de Granville si es igual a la suma de sus divisores propios que también están en . Los números de Granville también se denominan números -perfectos. ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Propiedades generales

Los elementos de pueden ser k -deficientes, k -perfectos o k -abundantes. En particular, los números 2-perfectos son un subconjunto propio de . ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Números deficientes en S

Los números que cumplen la forma estricta de la desigualdad de la definición anterior se conocen como números deficientes. Es decir, los números deficientes son los números naturales para los cuales la suma de sus divisores en es estrictamente menor que ellos mismos: ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle \sum _{d\mid {n},\;d<n,\;d\in {\mathcal {S}}}d<{n}}$

Números S-perfectos

Los números que cumplen la igualdad en la definición anterior se conocen como números -perfectos. ^[1] Es decir, los números -perfectos son los números naturales que son iguales a la suma de sus divisores en . Los primeros números -perfectos son: ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

6, 24, 28, 96, 126, 224, 384, 496, 1536, 1792, 6144, 8128, 14336, ... (secuencia A118372 en la OEIS )

Todo número perfecto es también -perfecto. ^[1] Sin embargo, hay números como el 24 que son -perfectos pero no perfectos. El único número -perfecto conocido con tres factores primos distintos es 126 = 2 · 3 ² · 7. ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Todos los números de la forma 2^(n - 1) * (2^n - 1) * (2^n)^m donde m >= 0, donde 2^n - 1 es primo, son números de Granville. Por lo tanto, hay una cantidad infinita de números de Granville y la familia infinita tiene 2 factores primos: 2 y un primo de Mersenne. Otros números son 126, 5540590, 9078520, 22528935, 56918394 y 246650552, que tienen 3, 5, 5, 5, 5 y 5 factores primos.

Números S-abundantes

Los números que violan la desigualdad de la definición anterior se conocen como números -abundantes. Es decir, los números -abundantes son los números naturales para los cuales la suma de sus divisores en es estrictamente mayor que ellos mismos: ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle \sum _{d\mid {n},\;d<n,\;d\in {\mathcal {S}}}d>{n}}$

Pertenecen al complemento de . Los primeros números abundantes son: ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

12, 18, 20, 30, 42, 48, 56, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 102, 104, ... (secuencia A181487 en la OEIS )

Ejemplos

Todo número deficiente y todo número perfecto está en porque la restricción de la suma de los divisores a los miembros de disminuye la suma de los divisores o la deja sin cambios. El primer número natural que no está en es el número abundante más pequeño , que es 12. Los siguientes dos números abundantes, 18 y 20, tampoco están en . Sin embargo, el cuarto número abundante, 24, está en porque la suma de sus divisores propios en es: ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 = 24

En otras palabras, 24 es abundante pero no -abundante porque 12 no está en . De hecho, 24 es -perfecto - es el número más pequeño que es -perfecto pero no perfecto. ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

El número impar abundante más pequeño que existe es 2835, y el par más pequeño de números consecutivos que no existen son 5984 y 5985. ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Referencias

1. De Koninck JM, Ivić A (1996). "Sobre un problema de suma de divisores" (PDF) . Publicaciones del Institut Mathématique . 64 (78): 9–20 . Consultado el 27 de marzo de 2011 .
2. de Koninck, Jean-Marie (2008). Esos números fascinantes . Traducido por de Koninck, JM Providence, RI: American Mathematical Society . pág. 40. ISBN 978-0-8218-4807-4. Sr.  2532459. OCLC  317778112.