Descomposición de Hironaka

En matemáticas, una descomposición de Hironaka es una representación de un álgebra sobre un cuerpo como un módulo libre finitamente generado sobre una subálgebra polinómica o un anillo local regular . Estas descomposiciones reciben su nombre de Heisuke Hironaka , quien la utilizó en su tesis de maestría inédita en la Universidad de Kioto (Nagata 1962, p. 217).

El criterio de Hironaka (Nagata 1962, teorema 25.16), a veces llamado planitud milagrosa , establece que un anillo local R que es un módulo finitamente generado sobre un anillo local noetheriano regular S es Cohen-Macaulay si y solo si es un módulo libre sobre S . Existe un resultado similar para anillos que están graduados sobre un cuerpo en lugar de ser locales.

Descomposición explícita de un álgebra invariante

Sea un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero, , que lleva una representación de un grupo , y considérese el álgebra polinómica sobre , . El álgebra lleva una gradación con , que es heredada por la subálgebra invariante ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K[V]}$ ${\displaystyle K[V]}$ ${\displaystyle (K[V])_{0}=K}$

${\displaystyle K[V]^{G}=\{f\in K[V]\mid g\circ f=f,\forall g\in G\}}$.

Un resultado famoso de la teoría de invariantes, que proporcionó la respuesta al decimocuarto problema de Hilbert , es que si es un grupo linealmente reductivo y es una representación racional de , entonces es finitamente generado. Otro resultado importante, debido a Noether , es que cualquier álgebra graduada finitamente generada con admite un sistema homogéneo de parámetros (HSOP) (no necesariamente único). Un HSOP (también denominado invariante primario ) es un conjunto de polinomios homogéneos, , que satisfacen dos propiedades: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K[V]}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R_{0}=K}$ ${\displaystyle \{\theta _{i}\}}$

1. Son algebraicamente independientes. ${\displaystyle \{\theta _{i}\}}$
2. El conjunto cero de , , coincide con el cono nulo (enlace) de . ${\displaystyle \{\theta _{i}\}}$ ${\displaystyle \{v\in V|\theta _{i}=0\}}$ ${\displaystyle R}$

Es importante destacar que esto implica que el álgebra puede entonces expresarse como un módulo finitamente generado sobre el subálgebra generada por el HSOP, . En particular, se puede escribir ${\displaystyle K[\theta _{1},\dots ,\theta _{l}]}$

${\displaystyle K[V]^{G}=\sum _{k}\eta _{k}K[\theta _{1},\dots ,\theta _{l}]}$,

donde se llaman invariantes secundarios . ${\displaystyle \eta _{k}}$

Ahora bien, si es Cohen–Macaulay, lo que es el caso si es linealmente reductivo, entonces es un módulo libre (y como ya se dijo, finitamente generado) sobre cualquier HSOP. Por lo tanto, de hecho, se tiene una descomposición de Hironaka. ${\displaystyle K[V]^{G}}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle K[V]^{G}=\bigoplus _{k}\eta _{k}K[\theta _{1},\dots ,\theta _{l}]}$.

En particular, cada elemento en se puede escribir de forma única como 􏰐 , donde , y el producto de dos secundarios cualesquiera está dado de forma única por , donde . Esto especifica la multiplicación en de forma inequívoca. ${\displaystyle K[V]^{G}}$ ${\displaystyle \sum \nolimits _{j}\eta _{j}f_{j}}$ ${\displaystyle f_{j}\in K[\theta _{1},\dots ,\theta _{l}]}$ ${\displaystyle \eta _{k}\eta _{m}=\sum \nolimits _{j}\eta _{j}f_{km}^{j}}$ ${\displaystyle f_{km}^{j}\in K[\theta _{1},\dots ,\theta _{l}]}$ ${\displaystyle K[V]^{G}}$

Véase también

• Descomposición de Rees
• Descomposición de Stanley

Referencias

• Nagata, Masayoshi (1962), Anillos locales , Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, vol. 13, Nueva York-Londres: Interscience Publishers, una división de John Wiley & Sons, ISBN 0-88275-228-6, Sr.  0155856
• Sturmfels, Bernd ; White, Neil (1991), "Computación de descomposiciones combinatorias de anillos", Combinatorica , 11 (3): 275–293, doi :10.1007/BF01205079, MR  1122013