Círculos concéntricos mágicos de Yang Hui: los números en cada círculo y diámetro (ignorando el 9 del medio) suman 138
Los círculos mágicos fueron inventados por el matemático chino Yang Hui (c. 1238-1298) de la dinastía Song (960-1279) . Se trata de la disposición de los números naturales en círculos donde la suma de los números en cada círculo y la suma de los números en los diámetros son idénticas. Uno de sus círculos mágicos se construyó a partir de los números naturales del 1 al 33 dispuestos en cuatro círculos concéntricos , con el 9 en el centro.
Círculos mágicos de Yang Hui
La serie de círculos mágicos de Yang Hui se publicó en su Xugu Zhaiqi Suanfa《續古摘奇算法》(Secuela de Extractos de Maravillas Matemáticas) de 1275. Su serie de círculos mágicos incluye: 5 círculos mágicos en cuadrado, 6 círculos en anillo, ocho círculos mágicos en cuadrado, círculos concéntricos mágicos, 9 círculos mágicos en cuadrado.
Círculo concéntrico mágico de Yang Hui
El círculo concéntrico mágico de Yang Hui tiene las siguientes propiedades
La suma de los números de los cuatro diámetros = 147,
28 + 5 + 11 + 25 + 9 + 7 + 19 + 31 + 12 = 147
La suma de 8 números más 9 en el centro = 147;
28 + 27 + 20 + 33 + 12 + 4 + 6 + 8 + 9 = 147
La suma de ocho radios sin el 9 = número mágico 69: por ejemplo 27 + 15 + 3 + 24 = 69
La suma de todos los números en cada círculo (sin incluir el 9) = 2 × 69
Existen 8 semicírculos , donde la suma de números = número mágico 69; hay 16 segmentos de línea (semicírculos y radios) con número mágico 69, más que un cuadrado mágico de orden 6 con solo 12 números mágicos.
Ocho círculos mágicos de Yang Hui en un cuadrado
Yang Hui 8 círculos mágicos en un cuadrado 八阵图
Se disponen 64 números (1–64) en ocho círculos, cada uno con ocho números; cada círculo suma 260. La suma total de todos los números es 2080 (=8×260). Los círculos están dispuestos en una cuadrícula de 3×3 cuadrados con el área central abierta de manera que la suma horizontal/vertical a lo largo de las columnas y filas centrales también es 260, y la suma total de los números a lo largo de ambas diagonales es 520.
Los nueve círculos mágicos de Yang Hui en un cuadrado
Yang Hui 9 círculos mágicos en un cuadrado 连环图
72 números del 1 al 72, dispuestos en nueve círculos de ocho números en un cuadrado; con números vecinos formando cuatro círculos de ocho números adicionales: lo que hace un total de 13 círculos de ocho números:
El círculo extra x1 contiene números de los círculos NO, N, C y O; x2 contiene números de N, NE, E y C; x3 contiene números de O, C, S y SO; x4 contiene números de C, E, SE y S.
Suma total de 72 números = 2628;
suma de números en cualquier círculo de ocho números = 292;
sumas de tres círculos a lo largo de líneas horizontales = 876;
suma de tres círculos a lo largo de líneas verticales = 876;
suma de tres círculos a lo largo de las diagonales = 876.
Círculos mágicos de Ding Yidong
Círculos mágicos Ding Yidong: los números en cada círculo (color sólido) suman 200 y los números en cada diámetro (gris discontinuo) suman 325
Ding Yidong fue un matemático contemporáneo de Yang Hui. En su círculo mágico de 6 anillos, los números de unidad de los 5 anillos exteriores, combinados con el número de unidad del anillo central, forman el siguiente cuadrado mágico :
Método de construcción:
Sea el grupo radial 1 = 1,11,21,31,41
Sea el grupo radial 2=2,12,22,32,42
Sea el grupo radial 3=3,13,23,33,43
Sea el grupo radial 4=4,14,24,34,44
Sea el grupo radial 6=6,16,26,36,46
Sea el grupo radial 7=7,17,27,37,47
Sea el grupo radial 8=8,18,28,38,48
Sea el grupo radial 9=9,19,29,39,49
Sea el grupo central = 5, 15, 25, 35, 45
Ordene el grupo 1,2,3,4,6,7,9 radialmente de tal manera que
Cada número ocupa una posición en el círculo.
alternar la dirección de manera que un radial tenga el número más pequeño en el exterior y el radial adyacente tenga el número más grande en el exterior.
Cada grupo ocupa la posición radial correspondiente al número en el cuadrado mágico de Luoshu, es decir, el grupo 1 en la posición 1, el grupo 2 en la posición 2, etc.
Finalmente, disponga el grupo central en el círculo central, de modo que
Número 5 en el grupo 1 radial
Número 10 en el grupo 2 radial
Número 15 en el grupo 3 radial
...
Número 45 en el grupo 9 radial
Círculos mágicos de Cheng Dawei
Cheng Dawei, un matemático de la dinastía Ming, en su libro Suanfa Tongzong enumeró varios círculos mágicos.
Extensión a dimensiones superiores
Esfera de Andrews con números del 1 al 62 dispuestos a lo largo de las intersecciones de 5 círculos de latitud (gris discontinuo) y 6 círculos de longitud (sólido coloreado)
En 1917, WS Andrews publicó una disposición de los números 1, 2, 3 y 62 en once círculos de doce números cada uno sobre una esfera que representa los paralelos y meridianos de la Tierra, de modo que cada círculo tiene 12 números que suman un total de 378. [1]
Relación con los cuadrados mágicos
Círculo mágico derivado del cuadrado mágico
Se puede obtener un círculo mágico a partir de uno o más cuadrados mágicos colocando un número en cada intersección de un círculo y un radio. Se pueden agregar radios adicionales replicando las columnas del cuadrado mágico.
En el ejemplo de la figura, se copió el siguiente cuadrado mágico de 4 × 4 en la parte superior del círculo mágico. Cada número, con 16 añadido, se colocó en la intersección simétrica respecto del centro de los círculos. Esto da como resultado un círculo mágico que contiene los números del 1 al 32, y cada círculo y diámetro suman 132. [1]
Referencias
^ ab WS Andrews, CUADRADOS Y CUBOS MÁGICOS, segunda edición, revisada y ampliada, Open Court Basic Readers (1917), página 198, fig.337
Lam Lay Yong: Un estudio crítico de Hang Hui Suan Fa 《杨辉算法》 Singapore University Press 1977
Wu Wenjun (editor en jefe), Gran Serie de Historia de las Matemáticas Chinas, Vol. 6, Parte 6 Yang Hui, sección 2 Círculo mágico (吴文俊 主编 沈康身执笔 《中国数学史大系》 第六卷 第六篇 《杨辉》 第二节 《幻圆》) ISBN 7-303-04926-6 /O
