Libro Ábaco

Libro de matemáticas escrito en 1202 por Fibonacci

Una página del Liber Abaci de la Biblioteca Nacional Central . La lista de la derecha muestra los números 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 (la secuencia de Fibonacci ). El 2, el 8 y el 9 se parecen más a los números arábigos que a los números arábigos orientales o a los números indios .

El Liber Abaci o Liber Abbaci ^[1] ( en latín , «El libro del cálculo») fue una obra latina sobre aritmética de 1202 escrita por Leonardo de Pisa, conocido póstumamente como Fibonacci . Es famoso principalmente por ayudar a popularizar los números arábigos en Europa.

Premisa

El Liber Abaci fue uno de los primeros libros occidentales en describir el sistema de numeración hindú-arábigo y en utilizar símbolos similares a los " números arábigos " modernos. Al abordar las aplicaciones tanto de los comerciantes como de los matemáticos, promovió la superioridad del sistema y el uso de estos glifos. ^[2]

Aunque el título del libro se traduce a veces como "El libro del ábaco", Sigler (2002) señala que es un error leerlo como una referencia a dispositivos de cálculo llamados "ábaco". Más bien, la palabra "ábaco" se usaba en ese momento para referirse al cálculo en cualquier forma; la ortografía "abbacus" con dos "b" (que es como Leonardo la escribía en el manuscrito original en latín) se usaba, y todavía se usa en Italia, para referirse al cálculo utilizando numerales indoarábigos, lo que puede evitar confusiones. El libro describe métodos para hacer cálculos sin la ayuda de un ábaco y, como confirma Ore (1948), durante siglos después de su publicación los algorismistas (seguidores del estilo de cálculo demostrado en Liber Abaci ) siguieron en conflicto con los abacistas (tradicionalistas que continuaron usando el ábaco junto con los números romanos). El historiador de las matemáticas Carl Boyer destaca en su Historia de las matemáticas que aunque " Liber abaci ... no trata del ábaco" per se , sin embargo "... es un tratado muy completo sobre métodos y problemas algebraicos en el que se defiende firmemente el uso de los numerales indoarábigos". ^[3]

Resumen de secciones

La primera sección presenta el sistema de numeración hindú-arábigo, incluidos los métodos para realizar conversiones entre diferentes sistemas de representación. Esta sección también incluye la primera descripción conocida de la división por tanteo para comprobar si un número es compuesto y, en caso afirmativo, factorizarlo . ^[4]

La segunda sección presenta ejemplos del comercio, como conversiones de moneda y medidas, y cálculos de ganancias e intereses . ^{[ cita requerida ]}

La tercera sección analiza una serie de problemas matemáticos; por ejemplo, incluye (cap. II.12) el teorema del resto chino , los números perfectos y los primos de Mersenne , así como fórmulas para series aritméticas y para números piramidales cuadrados . Otro ejemplo en este capítulo involucra el crecimiento de una población de conejos, donde la solución requiere generar una secuencia numérica. Aunque el problema data de mucho antes de Leonardo, su inclusión en su libro es la razón por la que la secuencia de Fibonacci lleva su nombre en la actualidad. ^{[ cita requerida ]}

La cuarta sección deriva aproximaciones, tanto numéricas como geométricas, de números irracionales como las raíces cuadradas. ^{[ cita requerida ]}

El libro también incluye pruebas de geometría euclidiana . El método de Fibonacci para resolver ecuaciones algebraicas muestra la influencia del matemático egipcio de principios del siglo X Abū Kāmil Shujāʿ ibn Aslam . ^[5]

Notación de Fibonacci para fracciones

Al leer el Liber Abaci , es útil comprender la notación de Fibonacci para números racionales, una notación que es intermedia en forma entre las fracciones egipcias comúnmente utilizadas hasta ese momento y las fracciones vulgares todavía en uso hoy en día. ^[6]

La notación de Fibonacci difiere de la notación de fracciones moderna en tres aspectos clave: ^{[ cita requerida ]}

1. La notación moderna generalmente escribe una fracción a la derecha del número entero al que se suma, por ejemplo, 7/3. Fibonacci, en cambio, escribiría la misma fracción a la izquierda, es decir, . ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle 2\,{\tfrac {1}{3}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}\,2}$
2. Fibonacci utilizó una notación de fracción compuesta en la que una secuencia de numeradores y denominadores compartían la misma barra de fracción; cada uno de esos términos representaba una fracción adicional del numerador dado dividido por el producto de todos los denominadores debajo y a la derecha de él. Es decir, y . La notación se leía de derecha a izquierda. Por ejemplo, 29/30 podría escribirse como , que representa el valor . Esto puede verse como una forma de notación de radix mixto , y era muy conveniente para tratar con sistemas tradicionales de pesos, medidas y moneda. Por ejemplo, para unidades de longitud, un pie es 1/3 de una yarda y una pulgada es 1/12 de un pie, por lo que una cantidad de 5 yardas, 2 pies y pulgadas podría representarse como una fracción compuesta: yardas. Sin embargo, las notaciones típicas para medidas tradicionales, aunque se basan de manera similar en radix mixtos, no escriben los denominadores explícitamente; los denominadores explícitos en la notación de Fibonacci le permiten usar diferentes radix para diferentes problemas cuando sea conveniente. Sigler también señala un caso en el que Fibonacci utiliza fracciones compuestas en las que todos los denominadores son 10, lo que prefigura la notación decimal moderna para fracciones. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle {\tfrac {b\,\,a}{d\,\,c}}={\tfrac {a}{c}}+{\tfrac {b}{cd}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {c\,\,b\,\,a}{f\,\,e\,\,d}}={\tfrac {a}{d}}+{\tfrac {b}{de}}+{\tfrac {c}{def}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1\,\,2\,\,4}{2\,\,3\,\,5}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {4}{5}}+{\tfrac {2}{3\times 5}}+{\tfrac {1}{2\times 3\times 5}}}$ ${\displaystyle 7{\tfrac {3}{4}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3\ \,7\,\,2}{4\,\,12\,\,3}}\,5}$
3. Fibonacci a veces escribía varias fracciones una al lado de la otra, representando una suma de las fracciones dadas. Por ejemplo, 1/3+1/4 = 7/12, por lo que una notación como representaría el número que ahora se escribiría más comúnmente como el número mixto o simplemente la fracción impropia . La notación de esta forma se puede distinguir de las secuencias de numeradores y denominadores que comparten una barra de fracción por la ruptura visible en la barra. Si todos los numeradores son 1 en una fracción escrita en esta forma, y ​​todos los denominadores son diferentes entre sí, el resultado es una representación de fracción egipcia del número. Esta notación también se combinaba a veces con la notación de fracción compuesta: dos fracciones compuestas escritas una al lado de la otra representarían la suma de las fracciones. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\,{\tfrac {1}{3}}\,2}$ ${\displaystyle 2\,{\tfrac {7}{12}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {31}{12}}}$

La complejidad de esta notación permite escribir los números de muchas maneras diferentes, y Fibonacci describió varios métodos para convertir de un estilo de representación a otro. En particular, el capítulo II.7 contiene una lista de métodos para convertir una fracción impropia en una fracción egipcia, incluido el algoritmo voraz para fracciones egipcias , también conocido como expansión de Fibonacci-Sylvester. ^{[ cita requerida ]}

Modo Indorum

En el Liber Abaci , Fibonacci dice lo siguiente al introducir el Modus Indorum afirmativo (el método de los indios), hoy conocido como sistema de numeración hindú-arábigo o notación posicional de base 10. También introdujo dígitos que se parecían mucho a los números árabes modernos . ^{[ cita requerida ]}

Como mi padre era funcionario público fuera de nuestra patria, en la aduana de Bugía , establecida para los mercaderes pisanos que se reunían allí con frecuencia, me hizo traer a él en mi juventud, con la intención de buscarme un futuro útil y cómodo; quería que me dedicara allí al estudio de las matemáticas y que me enseñaran durante algunos días. Allí, además de una maravillosa instrucción en el arte de las nueve figuras indias, la introducción y el conocimiento de este arte me agradaron sobre todo lo demás, y aprendí de ellos, cualquiera que fuera el erudito en el tema, de Egipto, Siria, Grecia, Sicilia y Provenza, y sus diversos métodos, a cuyos lugares de negocios viajé mucho después para estudiar mucho, y aprendí de las disputas reunidas. Pero esto, en general, el algoritmo e incluso los arcos pitagóricos, todavía me parecían casi un error comparado con el método indio. Por eso, abrazando estrictamente el método indio y atento a su estudio, añadiendo de mi propio sentido algo y algo más del sutil arte geométrico euclidiano, aplicando a este libro la suma que pude percibir, trabajé para reunirlo en quince capítulos distintos, mostrando pruebas ciertas para casi todo lo que puse, de modo que, además, este método perfeccionado por encima de los demás, esta ciencia se instruye a los ansiosos y al pueblo italiano por encima de todos los demás, que hasta ahora se encuentran sin un mínimo. Si, por casualidad, omití algo menos o más adecuado o necesario, se ruega su indulgencia para conmigo, ya que no hay nadie que esté sin falta y en todas las cosas sea completamente circunspecto. ^[7]

Las nueve cifras indias son:
9 8 7 6 5 4 3 2 1
Con estas nueve cifras, y con el signo 0 que los árabes llaman zephir se escribe cualquier número... ^[8]

En otras palabras, en su libro defendía el uso de los dígitos del 0 al 9 y del valor posicional . Hasta ese momento, Europa utilizaba los números romanos, lo que hacía casi imposible la matemática moderna. Por tanto, el libro hizo una importante contribución a la difusión de los números decimales. Sin embargo, la difusión del sistema hindú-arábigo, como escribe Ore, fue "prolongada", y tardó muchos siglos más en difundirse ampliamente, y no se completó hasta finales del siglo XVI, acelerándose drásticamente recién en el siglo XVI con la llegada de la imprenta. ^{[ cita requerida ]}

Historia textual

La primera aparición del manuscrito fue en 1202. No se conocen copias de esta versión. Una versión revisada del Liber Abaci, dedicada a Michael Scot , apareció en 1227 d. C. ^{[9] [10]} Hay al menos diecinueve manuscritos existentes que contienen partes de este texto. ^[11] Hay tres versiones completas de este manuscrito de los siglos XIII y XIV. ^[12] Hay otras nueve copias incompletas conocidas entre los siglos XIII y XV, y puede que haya más aún sin identificar. ^{[12] [11]}

No se conoció ninguna versión impresa del Liber Abaci hasta la traducción italiana de Boncompagni de 1857. ^[11] La primera traducción completa al inglés fue el texto de Sigler de 2002. ^[11]

Referencias

Citas

1. "Liber Abaci (Libro de cálculo) de Fibonacci". The University of Utah . 13 de diciembre de 2009 . Consultado el 27 de noviembre de 2018 .
2. Devlin, Keith (2012). El hombre de los números: la revolución aritmética de Fibonacci . Walker Books. ISBN 978-0802779083.
3. Boyer, Carl (1968). Una historia de las matemáticas (PDF) . Nueva York, Londres, Sydney: John Wiley & Sons. pág. 280.
4. Mollin, Richard A. (2002). "Una breve historia de la factorización y las pruebas de primalidad BC (antes de las computadoras)". Revista de matemáticas . 75 (1): 18–29. doi :10.2307/3219180. JSTOR  3219180. MR  2107288.Véase también Sigler, págs. 65-66.
5. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (1999). "Abu Kamil Shuja ibn Aslam". Archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor .
6. Moyón, Marc; Spiesser, Maryvonne (3 de junio de 2015). "L'arithmétique des fraccions dans l'œuvre de Fibonacci: fundamentos y usos". Archivo de Historia de las Ciencias Exactas . 69 (4): 391–427. doi :10.1007/s00407-015-0155-y.
7. Devlin, Keith (2019). Finding Fibonacci: The Quest to Rediscover the Forgotten Mathematical Genius Who Changed the World [En busca de Fibonacci: la búsqueda para redescubrir al genio matemático olvidado que cambió el mundo]. Princeton, NJ: Princeton University Press. pp. 92–93 (citado en). ISBN 9780691192307. OCLC  975288613 . Consultado el 10 de julio de 2024 .
8. Sigler 2002; véase Grimm 1973 para otra traducción
9. Scott, TC; Marketos, P., "Michael Scot", en O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (eds.), Archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor , Universidad de St Andrews
10. Scott, TC; Marketos, P. (marzo de 2014), Sobre el origen de la secuencia de Fibonacci (PDF) , Archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor , Universidad de St Andrews
11. Germano, Giuseppe (2013). "Nuevas perspectivas editoriales sobre el Liber Abaci de Fibonacci". Reti Medievali Rivista . doi :10.6092/1593-2214/400 (inactivo 2024-07-28).{{cite journal}}: CS1 maint: DOI inactive as of July 2024 (link)
12. Diccionario de biografía científica (PDF) .

Referencias generales y citadas

• Grimm, RE (1973), "La autobiografía de Leonardo Pisano" (PDF) , The Fibonacci Quarterly , 11 (1): 99–104.
• Ore, Øystein (1948), Teoría de números y su historia , McGraw HillVersión de Dover también disponible, 1988, ISBN 978-0-486-65620-5 . 
• Sigler, LE (trad.) (2002), Liber Abaci de Fibonacci , Springer-Verlag, ISBN 0-387-95419-8.

Enlaces externos

• Pisano, Leonardo (1202), Incipit liber Abbaci compositus a Lionardo filio Bonaccii Pisano en el año Mccij [Manuscrito], Museo Galileo.