índice de Atkinson

El índice de Atkinson (también conocido como medida de Atkinson o medida de desigualdad de Atkinson ) es una medida de la desigualdad de ingresos desarrollada por el economista británico Anthony Barnes Atkinson . La medida es útil para determinar qué extremo de la distribución contribuyó más a la desigualdad observada. ^[1]

Definición

El índice puede convertirse en una medida normativa imponiendo un coeficiente para ponderar los ingresos. Se puede dar mayor importancia a los cambios en una porción determinada de la distribución del ingreso eligiendo adecuadamente el nivel de "aversión a la desigualdad". El índice de Atkinson se vuelve más sensible a los cambios en el extremo inferior de la distribución del ingreso a medida que aumenta. Por el contrario, a medida que el nivel de aversión a la desigualdad cae (es decir, cuando se acerca a 0), el Atkinson se vuelve menos sensible a los cambios en el extremo inferior de la distribución. El índice de Atkinson no es altamente sensible a los ingresos más altos debido a la restricción común de que no es negativo. ^[2] ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

El parámetro de Atkinson a menudo se denomina "parámetro de aversión a la desigualdad", ya que regula la sensibilidad de las pérdidas de bienestar social implícitas de la desigualdad a la desigualdad de ingresos, medida por algún índice de entropía generalizado correspondiente. El índice de Atkinson se define en referencia a una función de bienestar social correspondiente, donde el ingreso medio multiplicado por uno menos el índice de Atkinson da el ingreso equivalente al bienestar distribuido equitativamente . Así, el índice de Atkinson da la proporción del ingreso actual que podría sacrificarse, sin reducir el bienestar social, si se instaurara una desigualdad perfecta. Para , (sin aversión a la desigualdad), el bienestar social marginal del ingreso es invariante al ingreso, es decir, los aumentos marginales del ingreso producen el mismo bienestar social ya sea que vaya a parar a un individuo pobre o rico. En este caso, el ingreso equivalente al bienestar distribuido equitativamente es igual al ingreso medio y el índice de Atkinson es cero. ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon =0}$

Porque (aversión infinita a la desigualdad) el bienestar social marginal del ingreso del individuo más pobre es infinitamente mayor que el de cualquier individuo incluso ligeramente más rico, y la función de bienestar social de Atkinson es igual al ingreso más pequeño de la muestra. En este caso, el índice de Atkinson es igual al ingreso medio menos el ingreso más pequeño, dividido por el ingreso medio. Como en las grandes distribuciones típicas de ingresos los ingresos nulos o cercanos a cero son comunes, el índice de Atkinson tenderá a ser uno o muy cercano a uno para las distribuciones muy grandes . ${\displaystyle \varepsilon =+\infty }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

El índice de Atkinson varía entonces entre 0 y 1 y es una medida de la cantidad de utilidad social que se obtendrá mediante la redistribución completa de una determinada distribución del ingreso, para un parámetro determinado. Bajo el estándar ético utilitarista y algunos supuestos restrictivos (una población homogénea y elasticidad de utilidad de sustitución constante ), es igual a la elasticidad ingreso de la utilidad marginal del ingreso. ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

El índice de Atkinson se define como:

${\displaystyle A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})={\begin{cases}1-{\frac {1}{\mu }}\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}y_{i}^{1-\varepsilon }\right)^{1/(1-\varepsilon )}&{\mbox{for}}\ 0\leq \varepsilon \neq 1\\1-{\frac {1}{\mu }}\left(\prod _{i=1}^{N}y_{i}\right)^{1/N}&{\mbox{for}}\ \varepsilon =1\\1-{\frac {1}{\mu }}\min \left(y_{1},...,y_{N}\right)&{\mbox{for}}\ \varepsilon =+\infty \end{cases}}}$

donde es el ingreso individual ( i = 1, 2, ..., N ) y es el ingreso medio . ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle \mu }$

En otras palabras, el índice de Atkinson es el complemento a 1 de la relación entre la media generalizada de Hölder del exponente 1−ε y la media aritmética de los ingresos (donde, como es habitual, la media generalizada del exponente 0 se interpreta como la media geométrica ).

El índice de Atkinson satisface las siguientes propiedades:

1. El índice es simétrico en sus argumentos: para cualquier permutación . ${\displaystyle A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})=A_{\varepsilon }(y_{\sigma (1)},\ldots ,y_{\sigma (N)})}$ ${\displaystyle \sigma }$
2. El índice no es negativo y es igual a cero sólo si todos los ingresos son iguales: si y solo para todos . ${\displaystyle A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})=0}$ ${\displaystyle y_{i}=\mu }$ ${\displaystyle i}$
3. El índice satisface el principio de transferencias : si se realiza una transferencia de un individuo con ingresos a otro con ingresos tales que , entonces el índice de desigualdad no puede aumentar. ${\displaystyle \Delta >0}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle y_{j}}$ ${\displaystyle y_{i}-\Delta >y_{j}+\Delta }$
4. El índice satisface el axioma de replicación poblacional: si se forma una nueva población replicando la población existente un número arbitrario de veces, la desigualdad sigue siendo la misma: ${\displaystyle A_{\varepsilon }(\{y_{1},\ldots ,y_{N}\},\ldots ,\{y_{1},\ldots ,y_{N}\})=A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})}$
5. El índice satisface el axioma de independencia media u homogeneidad de ingresos: si todos los ingresos se multiplican por una constante positiva, la desigualdad sigue siendo la misma: para cualquiera . ${\displaystyle A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})=A_{\varepsilon }(ky_{1},\ldots ,ky_{N})}$ ${\displaystyle k>0}$
6. El índice es descomponible en subgrupos. ^[3] Esto significa que la desigualdad general en la población se puede calcular como la suma de los índices de Atkinson correspondientes dentro de cada grupo, y el índice de Atkinson de los ingresos medios del grupo:

${\displaystyle A_{\varepsilon }(y_{gi}:g=1,\ldots ,G,i=1,\ldots ,N_{g})=\sum _{g=1}^{G}w_{g}A_{\varepsilon }(y_{g1},\ldots ,y_{gN_{g}})+A_{\varepsilon }(\mu _{1},\ldots ,\mu _{G})}$

donde los índices de grupos, individuos dentro de los grupos, son el ingreso medio en el grupo , y las ponderaciones dependen de y . La clase de los índices de desigualdad descomponibles en subgrupos es muy restrictiva. Muchos índices populares, incluido el índice de Gini , no satisfacen esta propiedad. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mu _{g}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle w_{g}}$ ${\displaystyle \mu _{g},\mu ,N}$ ${\displaystyle N_{g}}$

Ver también

• Métricas de desigualdad de ingresos
• Índice de entropía generalizada
• índice de Gini

Notas a pie de página

1. entre otras cosas "Ingresos, pobreza y cobertura de seguro médico en los Estados Unidos: 2010", Oficina del censo de EE. UU. , 2011, p.10
2. El índice de Atkinson está relacionado con la clase de índices de desigualdad de entropía generalizada (GE) por : es decir, un índice de Atkinson con alta aversión a la desigualdad se deriva de un índice GE con pequeña . Los índices GE con grandes son sensibles a la existencia de grandes ingresos superiores pero el correspondiente índice Atkinson tendría valores negativos . Para un índice de Atkinson hipotético negativo, la función de utilidad social implícita sería convexa en el ingreso y el índice de Atkinson no sería positivo. ${\displaystyle \epsilon =1-\alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \epsilon }$
3. Shorrocks, AF (1980). La clase de índices de desigualdad aditivamente descomponibles. Econométrica , 48 (3), 613–625, doi :10.2307/1913126

Referencias

• Atkinson, AB (1970) Sobre la medición de la desigualdad. Revista de Teoría Económica , 2 (3), págs. 244–263, doi :10.1016/0022-0531(70)90039-6. El artículo original que propone este índice de desigualdad.
• Allison PD (1978) Medidas de desigualdad, American Socioological Review , 43, págs. 865–880. Presenta una discusión técnica de las propiedades de la medida Atkinson. Hay un error en la fórmula del índice de Atkinson, que está corregido en Allison (1979).
• Allison, PD (1979) Respuesta a Jasso. Revista sociológica estadounidense 44(5):870–72.
• Biewen M, Jenkins SP (2003). Estimación de los índices de desigualdad de Atkinson y de entropía generalizada a partir de datos de encuestas complejas. Documento de debate de la IZA nº 763. Proporciona inferencia estadística para índices de Atkinson.
• Lambert, P. (2002). Distribución y redistribución del ingreso . 3.ª edición, Manchester Univ Press, ISBN 978-0-7190-5732-8 . 
• Sen A, Foster JE (1997) Sobre la desigualdad económica , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-828193-1 . (Secuencia de comandos de Python para una selección de fórmulas del libro) 
• Base de datos sobre desigualdad de ingresos mundial Archivada el 13 de marzo de 2011 en Wayback Machine , del Instituto Mundial de Investigación sobre Economía del Desarrollo
• Desigualdad de ingresos, 1947-1998, de la Oficina del Censo de Estados Unidos .

enlaces externos

Software:

• La calculadora en línea gratuita calcula el coeficiente de Gini, traza la curva de Lorenz y calcula muchas otras medidas de concentración para cualquier conjunto de datos.
• Calculadora gratuita: scripts en línea y descargables ( Python y Lua ) para desigualdades de Atkinson, Gini y Hoover
• Los usuarios del software de análisis de datos R pueden instalar el paquete "ineq" que permite calcular una variedad de índices de desigualdad, incluidos Gini, Atkinson y Theil.
• Un paquete de desigualdad de MATLAB Archivado el 4 de octubre de 2008 en Wayback Machine , que incluye código para calcular los índices de Gini, Atkinson y Theil y para trazar la curva de Lorenz. Hay muchos ejemplos disponibles.
• Paquetes de desigualdad Stata : ineqdeco para descomponer la desigualdad por grupos; svygei y svyatk para calcular variaciones consistentes con el diseño para la entropía generalizada y los índices de Atkinson; glcurve para obtener la curva de Lorenz generalizada. Puede escribir ssc install ineqdecoetc. en el indicador de Stata para instalar estos paquetes.