Álgebra geométrica conforme

El álgebra geométrica conforme ( CGA ) es el álgebra geométrica construida sobre el espacio resultante de una función desde puntos en un espacio base n -dimensional R ^{p , q} hasta vectores nulos en R ^{p +1, q +1} . Esto permite que las operaciones en el espacio base, incluidas las reflexiones, rotaciones y traslaciones, se representen utilizando versores del álgebra geométrica; y se ha descubierto que los puntos, las líneas, los planos, los círculos y las esferas obtienen representaciones particularmente naturales y computacionalmente adecuadas.

El efecto de la aplicación es que las k -esferas generalizadas (es decir, que incluyen curvatura cero) en el espacio base se asignan a ( k + 2) - cuchillas , y de modo que el efecto de una traslación (o cualquier aplicación conforme ) del espacio base corresponde a una rotación en el espacio de dimensión superior. En el álgebra de este espacio, basada en el producto geométrico de vectores, tales transformaciones corresponden a las operaciones sándwich características del álgebra, similares al uso de cuaterniones para la rotación espacial en 3D , que se combinan de manera muy eficiente. Una consecuencia de los rotores que representan transformaciones es que las representaciones de esferas, planos, círculos y otros objetos geométricos, y las ecuaciones que los conectan, se transforman todas de manera covariante. Un objeto geométrico (una k -esfera) puede sintetizarse como el producto de cuña de k + 2 vectores linealmente independientes que representan puntos en el objeto; a la inversa, el objeto puede descomponerse como el producto de cuña repetido de vectores que representan k + 2 puntos distintos en su superficie. Algunas operaciones de intersección también adquieren una forma algebraica ordenada: por ejemplo, para el espacio base euclidiano R ³ , la aplicación del producto de cuña al dual de los tetravectores que representan dos esferas produce el dual de la representación trivectorial de su círculo de intersección.

Como esta estructura algebraica se presta directamente a un cálculo efectivo, facilita la exploración de los métodos clásicos de geometría proyectiva y geometría inversa en un entorno concreto y fácil de manipular. También se ha utilizado como una estructura eficiente para representar y facilitar los cálculos en la teoría de tornillos . La CGA se ha aplicado particularmente en relación con la aplicación proyectiva del espacio euclidiano cotidiano R ³ en un espacio vectorial de cinco dimensiones R ^4,1 , que se ha investigado para aplicaciones en robótica y visión artificial. Se puede aplicar de forma general a cualquier espacio pseudoeuclidiano , por ejemplo, el espacio de Minkowski R ^3,1 al espacio R ^4,2 .

Construcción de CGA

Notación y terminología

En este artículo, el enfoque se centra en el álgebra , ya que es esta álgebra en particular la que ha sido objeto de mayor atención a lo largo del tiempo; otros casos se tratan brevemente en una sección aparte. El espacio que contiene los objetos que se modelan se denomina aquí espacio base y el espacio algebraico utilizado para modelar estos objetos se denomina espacio de representación o espacio conforme . Un subespacio homogéneo se refiere a un subespacio lineal del espacio algebraico. ${\displaystyle {\mathcal {G}}(4,1)}$

Los términos para objetos: punto , línea , círculo , esfera , cuasiesférica , etc. se utilizan para significar ya sea el objeto geométrico en el espacio base, o el subespacio homogéneo del espacio de representación que representa ese objeto, siendo este último generalmente el significado a menos que se indique lo contrario. ^[a] Algebraicamente, se utilizará cualquier elemento nulo distinto de cero del subespacio homogéneo, y se hará referencia a un elemento como normalizado por algún criterio.

Las letras latinas en negrita y minúscula se utilizan para representar vectores de posición desde el origen hasta un punto en el espacio base. Los símbolos en cursiva se utilizan para otros elementos del espacio de representación.

Espacios de base y representación

El espacio base R ³ se representa extendiendo una base para los desplazamientos desde un origen elegido y agregando dos vectores base e ₋ y e ₊ ortogonales al espacio base y entre sí, con e ₋ ² = −1 y e ₊ ² = +1 , creando el espacio de representación . ${\displaystyle {\mathcal {G}}(4,1)}$

Es conveniente utilizar dos vectores nulos n _o y n _∞ como vectores base en lugar de e ₊ y e ₋ , donde n _o = ( e ₋ − e ₊ )/2 , y n _∞ = e ₋ + e ₊ . Se puede verificar, donde x está en el espacio base, que:

${\displaystyle {\begin{array}{lllll}{n_{\text{o}}}^{2}&=0\qquad n_{\text{o}}\cdot n_{\infty }&=-1\qquad &n_{\text{o}}\cdot \mathbf {x} &=0\\{n_{\infty }}^{2}&=0\qquad n_{\text{o}}\wedge n_{\infty }&=e_{-}e_{+}\qquad &n_{\infty }\cdot \mathbf {x} &=0\end{array}}}$

Estas propiedades conducen a las siguientes fórmulas para los coeficientes del vector base de un vector general r en el espacio de representación para una base con elementos e _i ortogonales a todo otro elemento base:

El coeficiente de n _o para r es − n _∞ ⋅ r

El coeficiente de n _∞ para r es − n _o ⋅ r

El coeficiente de e _i para r es e _i ⁻¹ ⋅ r .

Mapeo entre el espacio base y el espacio de representación

La aplicación de un vector en el espacio base (siendo del origen a un punto en el espacio afín representado) viene dada por la fórmula: ^[b]

${\displaystyle g:\mathbf {x} \mapsto n_{\text{o}}+\mathbf {x} +{\tfrac {1}{2}}\mathbf {x} ^{2}n_{\infty }}$

Los puntos y otros objetos que difieren solo en un factor escalar distinto de cero se asignan todos al mismo objeto en el espacio base. Cuando se desea la normalización, como para generar una aplicación inversa simple de un punto desde el espacio de representación al espacio base o para determinar distancias, se puede utilizar la condición g ( x ) ⋅ n _∞ = −1 .

Cambio de normalización: mapeo del cono nulo del hiperplano r ⋅ ( n _∞ − n _o ) = 1 al hiperplano r ⋅ n _∞ = −1 .

El mapeo hacia adelante es equivalente a:

• primero proyectando conformemente x desde e ₁₂₃ sobre una 3-esfera unitaria en el espacio e ₊ ∧ e ₁₂₃ (en 5-D esto está en el subespacio r ⋅ (− n _o − ⁠1/2⁠ n _∞ ) = 0 );
• luego eleva esto a un espacio proyectivo, adjuntando e _– = 1 , e identificando todos los puntos en el mismo rayo desde el origen (en 5-D esto está en el subespacio r ⋅ (− n _o − ⁠1/2⁠ n _∞ ) = 1 );
• luego cambia la normalización, de modo que el plano para la proyección homogénea esté dado por la _coordenada n que tiene un valor 1 , es decir, r ⋅ n _∞ = −1 .

Mapeo inverso

Una función inversa para X en el cono nulo se da (ecuación 4.37 de Perwass) mediante

${\displaystyle X\mapsto {\mathcal {P}}_{n_{\infty }\wedge n_{\text{o}}}^{\perp }\left({\frac {X}{-X\cdot n_{\infty }}}\right)}$

Esto primero da una proyección estereográfica del cono de luz sobre el plano r ⋅ n _∞ = −1 , y luego descarta las partes n _o y n _∞ , de modo que el resultado general es mapear todos los puntos equivalentes αX = α ( n _o + x + ⁠1/2⁠ x ² n _∞ ) a x .

Origen y punto en el infinito

El punto x = 0 en R ^{p , q} se asigna a n _o en R ^{p +1, q +1} , por lo que n _o se identifica como el vector (de representación) del punto en el origen.

Un vector en R ^{p +1, q +1} con un coeficiente n _∞ distinto de cero , pero un coeficiente n _o cero, debe ser (considerando la función inversa) la imagen de un vector infinito en R ^{p , q} . La dirección n _∞ representa, por lo tanto, el punto (conforme) en el infinito . Esto motiva los subíndices _o y _∞ para identificar los vectores base nulos.

La elección del origen es arbitraria: se puede elegir cualquier otro punto, ya que la representación es de un espacio afín . El origen simplemente representa un punto de referencia y es algebraicamente equivalente a cualquier otro punto. Como en cualquier traslación, cambiar el origen corresponde a una rotación en el espacio de representación.

Objetos geométricos

Base

Junto con y , son las 32 hojas base del álgebra. El origen de punto plano se escribe como un producto externo porque el producto geométrico es de grado mixto.( ). ${\displaystyle I_{5}=e_{123}E}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle E=e_{+}e_{-}}$

Como solución de un par de ecuaciones

Dada cualquier hoja A distinta de cero del espacio que la representa, el conjunto de vectores que son soluciones de un par de ecuaciones homogéneas de la forma ^[3]

${\displaystyle X^{2}=0}$

${\displaystyle X\wedge A=0}$

es la unión de subespacios homogéneos 1-d de vectores nulos y, por lo tanto, es una representación de un conjunto de puntos en el espacio base. Esto lleva a la elección de una cuchilla A como una forma útil de representar una clase particular de objetos geométricos. Los casos específicos para la cuchilla A (independientemente del número de dimensiones del espacio) cuando el espacio base es el espacio euclidiano son:

• un escalar: el conjunto vacío
• un vector: un solo punto
• un bivector: un par de puntos
• un trivector: un círculo generalizado
• un 4-vector: una esfera generalizada
• etc.

Cada uno de ellos puede dividirse en tres casos según si A ² es positivo, cero o negativo, correspondiente (en orden inverso en algunos casos) al objeto tal como se enumera, un caso degenerado de un solo punto o ningún punto (donde las soluciones distintas de cero de X ∧ A excluyen los vectores nulos).

Los objetos geométricos enumerados ( n -esferas generalizadas ) se convierten en cuasiesferas en el caso más general del espacio base que es pseudoeuclidiano. ^[4]

Los objetos planos pueden identificarse por la inclusión del punto en el infinito en las soluciones. Así, si n _∞ ∧ A = 0 , el objeto será una línea, un plano, etc., siendo la hoja A respectivamente de grado 3, 4, etc.

Como se deriva de los puntos del objeto

Una hoja A que representa un objeto de esta clase puede encontrarse como el producto externo de vectores linealmente independientes que representan puntos sobre el objeto. En el espacio base, esta independencia lineal se manifiesta como cada punto que se encuentra fuera del objeto definido por los otros puntos. Así, por ejemplo, un cuarto punto que se encuentra sobre el círculo generalizado definido por tres puntos distintos no puede usarse como cuarto punto para definir una esfera.

impares

Los puntos en e ₁₂₃ se asignan al cono nulo (la parábola nula si establecemos ). ${\displaystyle r\cdot n_{\infty }=-1}$

Podemos considerar el lugar geométrico de los puntos en e ₁₂₃ st en el espacio conforme , para varios tipos de objetos geométricos A. ${\displaystyle g(\mathbf {x} )\cdot A=0}$

Comenzamos observando que ${\displaystyle g(\mathbf {a} )\cdot g(\mathbf {b} )=-{\tfrac {1}{2}}\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \|^{2}}$

comparar:

• x.a = 0 => x perp a; x.(a∧b) = 0 => x perp a y x perp b
• x∧a = 0 => x paralela a a; x∧(a∧b) = 0 => x paralela a a o a b (o a alguna combinación lineal)

Las representaciones del producto interno y del producto externo están relacionadas por dualización.

x∧A = 0 <=> x . A* = 0 ( verificar : funciona si x es 1-dim, A es n-1 dim)

g(x) . A = 0

• Un punto : el lugar geométrico de x en R ³ es un punto si A en R ^4,1 es un vector en el cono nulo.

(NB que debido a que es un espacio proyectivo homogéneo, los vectores de cualquier longitud en un rayo que pasa por el origen son equivalentes, por lo que g(x).A = 0 es equivalente a g(x).g(a) = 0).

• Una esfera : el lugar geométrico de x es una esfera si A = S, un vector del cono nulo.

Si entonces S . X = 0 => $${\displaystyle \mathbf {S} =g(\mathbf {a} )-{\tfrac {1}{2}}\rho ^{2}\mathbf {e} _{\infty }}$$ ${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}(\mathbf {a} -\mathbf {x} )^{2}+{\tfrac {1}{2}}\rho ^{2}=0}$

Estos son los puntos correspondientes a una esfera

Para un vector S fuera del cono nulo, ¿qué direcciones son hiperbólicamente ortogonales? (cf. transformación de Lorentz pix)

en 2+1 D, si S es (1,a,b), (usando las coordenadas e-, {e+, e _i }), los puntos hiperbólicamente ortogonales a S son aquellos euclidianamente ortogonales a (-1,a,b)—es decir, un plano; o en n dimensiones, un hiperplano que pasa por el origen. Esto cortaría otro plano que no pasa por el origen en una línea (una hipersuperficie en una superficie n -2), y luego el cono en dos puntos (resp. algún tipo de superficie cónica n -3). Así que probablemente se verá como algún tipo de cónica. Esta es la superficie que es la imagen de una esfera bajo g .

• Un plano : el lugar geométrico de x es un plano si A = P , un vector con componente n _o cero . En un espacio proyectivo homogéneo, un vector P representa un vector en el plano n _o = 1 que estaría infinitamente lejos del origen (es decir, infinitamente lejos fuera del cono nulo), por lo que g(x).P = 0 corresponde a x en una esfera de radio infinito, un plano.

En particular:

• ${\displaystyle \mathbf {P} ={\hat {\mathbf {a} }}+\alpha \mathbf {e} _{\infty }}$corresponde a x en un plano con normal a una distancia ortogonal α desde el origen. ${\displaystyle {\hat {\mathbf {a} }}}$
• ${\displaystyle \mathbf {P} =g(\mathbf {a} )-g(\mathbf {b} )}$corresponde a un plano a medio camino entre a y b , con normal a - b

• círculos
• planos tangentes
• pauta
• lineas en el infinito
• pares de puntos

Transformaciones

• Reflexiones

Se puede verificar que al formar P g( x ) P se obtiene una nueva dirección en el cono nulo, g( x' ), donde x' corresponde a una reflexión en el plano de puntos p en R ³ que satisfacen g( p ) . P = 0.

g( x ) . A = 0 => P g( x ) . A P = 0 => P g( x ) P . P A P (y de manera similar para el producto cuña), por lo que el efecto de aplicar P en forma de sándwich a cualquiera de las cantidades A en la sección anterior es, de manera similar, reflejar el lugar geométrico correspondiente de los puntos x , por lo que los círculos, esferas, líneas y planos correspondientes a tipos particulares de A se reflejan exactamente de la misma manera que la aplicación de P a g( x ) refleja un punto x .

Esta operación de reflexión se puede utilizar para crear traslaciones y rotaciones generales:

• traducciones

La reflexión en dos planos paralelos produce una traslación,

${\displaystyle g(\mathbf {x} ^{\prime })=\mathbf {P} _{\beta }\mathbf {P} _{\alpha }\;g(\mathbf {x} )\;\mathbf {P} _{\alpha }\mathbf {P} _{\beta }}$

Si y entonces ${\displaystyle \mathbf {P} _{\alpha }={\hat {\mathbf {a} }}+\alpha \mathbf {e} _{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{\beta }={\hat {\mathbf {a} }}+\beta \mathbf {e} _{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\prime }=\mathbf {x} +2(\beta -\alpha ){\hat {\mathbf {a} }}}$

• rotaciones

${\displaystyle g(\mathbf {x} ^{\prime })={\hat {\mathbf {b} }}{\hat {\mathbf {a} }}\;g(\mathbf {x} )\;{\hat {\mathbf {a} }}{\hat {\mathbf {b} }}}$corresponde a un x' que gira alrededor del origen un ángulo 2 θ donde θ es el ángulo entre a y b - el mismo efecto que tendría este rotor si se aplicara directamente a x .

• rotaciones generales

Las rotaciones sobre un punto general se pueden lograr trasladando primero el punto al origen, luego rotando alrededor del origen y luego trasladando el punto nuevamente a su posición original, es decir, un sándwich realizado por el operador . ${\displaystyle \mathbf {TR{\tilde {T}}} }$

${\displaystyle g({\mathcal {G}}x)=\mathbf {TR{\tilde {T}}} \;g(\mathbf {x} )\;\mathbf {T{\tilde {R}}{\tilde {T}}} }$

• tornillos

El efecto de un tornillo o motor (una rotación alrededor de un punto general, seguida de una traslación paralela al eje de rotación) se puede lograr intercalando g( x ) con el operador . ${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {T_{2}T_{1}R{\tilde {T_{1}}}} }$

M también puede parametrizarse ( teorema de Chasles ) ${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {T^{\prime }R^{\prime }} }$

• Inversiones

Una inversión es una reflexión en una esfera. En geometría inversa se analizan varias operaciones que se pueden lograr utilizando dichas inversiones . En particular, la combinación de la inversión junto con las transformaciones euclidianas traslación y rotación es suficiente para expresar cualquier aplicación conforme , es decir, cualquier aplicación que preserve universalmente los ángulos ( teorema de Liouville ).

• dilataciones

dos inversiones con el mismo centro producen una dilatación .

Generalizaciones

Historia

Congresos y revistas

Existe una comunidad vibrante e interdisciplinaria en torno a las álgebras de Clifford y geométricas con una amplia gama de aplicaciones. Las principales conferencias sobre este tema incluyen la Conferencia Internacional sobre Álgebras de Clifford y sus Aplicaciones en Física Matemática (ICCA) y la serie Aplicaciones del Álgebra Geométrica en Ciencias de la Computación e Ingeniería (AGACSE). Una de las principales publicaciones es la revista Springer Advances in Applied Clifford Algebras .

Notas

1. Para mayor claridad, este subespacio homogéneo incluye vectores no nulos, que no corresponden a ningún punto del espacio base.
2. La aplicación también puede escribirse F  : x → −( x − e ₊ ) n _∞ ( x − e ₊ ) , como se indica en Hestenes y Sobczyk (1984), p.303. ^[1] La equivalencia de las dos formas se señala en Lasenby y Lasenby (2000). ^[2]

Referencias

1. Hestenes, David y Garret Sobczyk (1984), Álgebra de Clifford para cálculo geométrico: un lenguaje unificado para matemáticas y física . Dordrecht: Reidel; págs. 302–303.
2. Lasenby, AN y Lasenby, J (2000), Evolución y representación de superficies mediante álgebra geométrica; en The Mathematics of Surfaces IX: la 9.ª Conferencia IMA, Cambridge, 4-7 de septiembre de 2000 , págs. 144-168
3. Chris Doran (2003), Combinación de círculos y esferas con álgebra geométrica conforme
4. Jayme Vaz, hijo; Roldão da Rocha, Jr. (2016). Introducción a las álgebras y espinores de Clifford . Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 140.ISBN​ 9780191085789.

Bibliografía

Libros

• Hestenes et al (2000), en G. Sommer (ed.), Computación geométrica con Clifford Algebra . Springer Verlag. ISBN 3-540-41198-4 (libros de Google) (https://davidhestenes.net/geocalc/html/UAFCG.html sitio web de Hestenes)  
  • Cap. 1: Nuevas herramientas algebraicas para la geometría clásica
  • Cap. 2: Coordenadas homogéneas generalizadas para geometría computacional
  • Cap. 3: Geometría esférica conforme con álgebra geométrica
  • Cap. 4: Un modelo universal para geometrías conformes de espacios euclidianos, esféricos y doblemente hiperbólicos
• Hestenes (2001), en E. Bayro-Corrochano y G. Sobczyk (eds.), Avances en álgebra geométrica con aplicaciones en ciencia e ingeniería , Springer Verlag. ISBN 0-8176-4199-8 Google books  
  • Vino viejo en odres nuevos (págs. 1–14)
• Hestenes (2010), en E. Bayro-Corrochano y G. Scheuermann (2010), Computación con álgebra geométrica en ingeniería e informática . Springer Verlag. ISBN 1-84996-107-7 (libros de Google).  
  • Nuevas herramientas para la geometría computacional y rejuvenecimiento de la teoría de tornillos
• Doran, C. y Lasenby, A. (2003), Álgebra geométrica para físicos , Cambridge University Press. ISBN 0-521-48022-1 §10.2; pág. 351 y siguientes. 
• Dorst, L. et al (2007), Álgebra geométrica para informática , Morgan-Kaufmann. ISBN 0-12-374942-5 Capítulo 13; pag. 355 y siguientes 
• Vince, J. (2008), Álgebra geométrica para gráficos por computadora , Springer Verlag. ISBN 1-84628-996-3 Capítulo 11; pág. 199 y siguientes. 
• Perwass, C. (2009), Álgebra geométrica con aplicaciones en ingeniería , Springer Verlag. ISBN 3-540-89067-X §4.3: pág. 145 y siguientes. 
• Bayro-Corrochano, E. y Scheuermann G. (2010, eds.), Computación con álgebra geométrica en ingeniería e informática . Springer Verlag. ISBN 1-84996-107-7 págs. 3–90 
• Bayro-Corrochano (2010), Cálculo geométrico para transformadas wavelet, visión, aprendizaje, control y acción de robots . Springer Verlag. ISBN 1-84882-928-0 Capítulo 6; págs. 149–183 
• Dorst, L. y Lasenby, J. (2011, eds.), Guía para el álgebra geométrica en la práctica . Springer Verlag, págs. 3–252. ISBN 978-0-85729-810-2 . 
• Dietmar Hildenbrand (2013). Fundamentos de computación en álgebra geométrica . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-31793-4.

Recursos en línea

• Wareham, R. (2006), Computer Graphics using Conformal Geometric Algebra , tesis doctoral, Universidad de Cambridge, págs. 14-26, 31-67
• Bromborsky, A. (2008), Geometría conforme a través del álgebra geométrica (diapositivas en línea)
• Dell'Acqua, A. et al (2008), Movimiento 3D a partir de estructuras de puntos, líneas y planos, Image and Vision Computing , 26 529–549
• Dorst, L. (2010), Tutorial: Representación que preserva la estructura de los movimientos euclidianos a través del álgebra geométrica conforme, en E. Bayro-Corrochano, G. Scheuermann (eds.), Computación en álgebra geométrica , Springer Verlag.
• Colapinto, P. (2011), Computación espacial VERSOR con álgebra geométrica conforme, tesis de maestría, Universidad de California en Santa Bárbara
• Macdonald, A. (2013), Un estudio del álgebra geométrica y el cálculo geométrico. (Notas en línea) §4.2: pág. 26 y siguientes.
• sobre el álgebra motora sobre R ⁿ⁺¹ :
  • Eduardo Bayro Corrochano (2001), Computación geométrica para sistemas de percepción-acción: conceptos, algoritmos y aplicaciones científicas . (Google books)